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2018-2019学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求,请将其字母标号填入下表相应位置)1(3分)双曲线1的实轴长为()A1B2C2D42(3分)命题:“xR,3x0”的否定是()AxR,3x0BxR,3x0CxR,3x0DxR,3x03(3分)曲线yex+x在x0处的切线的斜率等于()AeBe+1C1D24(3分)设xR,则“lx2”是“lx3”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5(3分)抛物线x24y的焦点到准线的距离为()AB1C2D46(

2、3分)对任意实数,则方程x2+y2sin4所表示的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆7(3分)函数yx33x的单调递减区间是()A(,0)B(0,+)C(,1),(1,+)D(1,1)8(3分)已知命题“x01,1,x02+3x0+a0”为真命题,则实数a的取值范围是()A(,+)B(4,+)C(2,4)D(2,+)9(3分)函数f(x)lnx的图象大致是()ABCD10(3分)若函数f(x)kxlnx在区间(2,+)单调递增,则k的取值范围是()A(,2BC2,+)D11(3分)已知双曲线C与椭圆E:1有共同的焦点,它们的离心率之和为,则双曲线C的标准方程为()A1B1C1D112(

3、3分)函数f(x)的定义域为R,f(1)6对任意xR,f(x)2,则f(1nx)2lnx+4的解集为()A(0,e)B(e,+)C(0,1)D(1,+)二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填在横线上)13(3分)椭圆+1的焦距是 14(3分)命题“如果x+y3,那么x1且y2”的逆否命题是 15(3分)曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为 16(3分)已知双曲线E:1(a0,b0)的右顶点为A,抛物线C:y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P,使得,则双曲线E的离心率的取值范围是 三、解答题(本大题共3小题,共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(

4、10分)已知命题p:曲线yx2+(2m3)x1与x轴相交于不同的两点;命题q:椭圆1的焦点在y轴上(1)判断命题p的否定的真假;(2)若“p且q”是假命题,“p或q“是真命题,求实数m的取值范围18(10分)已知抛物线C:y22px经过点P(4,4)(1)求抛物线C的方程;(2)若A,B为抛物线C上不同的两点,且AB的中点坐标为(2,1),求直线AB的方程19(10分)若x2是函数f(x)ax33x2的极值点(1)求a的值;(2)若xn,m时,4f(x)0成立,求mn的最大值说明:请考生在20,21两个小题中任选一题解答20(10分)已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2

5、,过(1,0)点作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为4(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线AB的斜率为1,且,求的值21已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过(1,0)点作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为4(1)求椭圆C的标准方程(2)若|AB|4|F2A|,求直线AB的方程说明:请考生在22,23两个小题中任选一题解答22(12分)已知函数f(x)exax1(aR)(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)elnxax+e1,求证:当x0时,f(x)g(x)23已知函数f(x)exa

6、x1(aR)(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0对任意x0恒成立,求a的取值范围2018-2019学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求,请将其字母标号填入下表相应位置)1(3分)双曲线1的实轴长为()A1B2C2D4【分析】根据题意,由双曲线的方程求出a的值,即可得双曲线与x轴的交点,由实轴的定义计算可得答案【解答】解:根据题意,双曲线1,其中a,b2,其焦点在x轴上,则该双曲线与x轴的交点为(,0)与(,0),则实轴长2a2;故选:C【点评】

7、本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义,属于基础题2(3分)命题:“xR,3x0”的否定是()AxR,3x0BxR,3x0CxR,3x0DxR,3x0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解:提问全称命题的否定是特称命题,所以命题:“xR,3x0”的否定是xR,3x0故选:C【点评】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可3(3分)曲线yex+x在x0处的切线的斜率等于()AeBe+1C1D2【分析】求的导数,结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可【解答】解:函数的导数为f(x)ex+1,则在x0处的导数f(0)e0+11+12,即切线斜率kf(0)2,故选:

8、D【点评】本题主要考查导数的几何意义,求出函数的导数是解决本题的关键4(3分)设xR,则“lx2”是“lx3”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由lx2,可得lx3,反之不成立,则答案可求【解答】解:若lx2,则lx3,反之,若lx3,则不一定有lx2,如x2.5xR,则“lx2”是“lx3”的充分而不必要条件故选:A【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定方法,是基础题5(3分)抛物线x24y的焦点到准线的距离为()AB1C2D4【分析】直接利用抛物线方程求解即可【解答】解:抛物线x24y的焦点到准线的距离为:P2故选:C【点评】本题考查抛物线

9、的简单性质的应用,基本知识的考查6(3分)对任意实数,则方程x2+y2sin4所表示的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆【分析】根据sin的范围,可判断方程可表示圆,直线,双曲线,椭圆,故可得结论【解答】解:由题意,sin1,1sin1时,方程表示圆;sin0时,方程表示两条直线;sin1,0)时,方程表示双曲线;sin(0,1),方程表示椭圆即方程x2+y2sin4不表示抛物线故选:C【点评】本题以方程为载体,考查方程与曲线的关系,解题的关键是根据sin的范围,进行分类讨论,属于中档题7(3分)函数yx33x的单调递减区间是()A(,0)B(0,+)C(,1),(1,+)D(1,1)

10、【分析】求导,令导数小于零,解此不等式即可求得函数yx33x的单调递减区间【解答】解:令y3x230解得1x1,函数yx33x的单调递减区间是(1,1)故选:D【点评】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性8(3分)已知命题“x01,1,x02+3x0+a0”为真命题,则实数a的取值范围是()A(,+)B(4,+)C(2,4)D(2,+)【分析】命题“x01,1,x02+3x0+a0”为真命题 等价于ax23x在x1,1上有解,构造函数f(x)x23x求最大值代入极即可【解答】解:命题“x01,1,x02+3x0+a0”为真命题 等价于ax23x在x1,1上有解,令f(x)x23x,x

11、1,1,则等价于af(x)minf(1)2,a2,故选:D【点评】本题考查了存在量词和特称命题,属中档题9(3分)函数f(x)lnx的图象大致是()ABCD【分析】求函数的导数,研究函数的单调性和极值,进行判断即可【解答】解:函数的定义域为(0,+),函数的导数f(x)x,由f(x)0得x210得x1或x1(舍),此时函数为增函数,由f(x)0得x210得1x1,此时0x1,函数为减函数,即当x1时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(1)ln10,则对应的图象为A,故选:A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数单调性和导数之间的关系,研究函数的单调性是解决本题的关键10(3分)

12、若函数f(x)kxlnx在区间(2,+)单调递增,则k的取值范围是()A(,2BC2,+)D【分析】求出导函数f(x),由于函数f(x)kxlnx在区间(2,+)单调递增,可得f(x)0在区间(2,+)上恒成立解出即可【解答】解:f(x)k,函数f(x)kxlnx在区间(2,+)单调递增,f(x)0在区间(2,+)上恒成立k,而y在区间(2,+)上单调递减,kk的取值范围是:,+)故选:B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题11(3分)已知双曲线C与椭圆E:1有共同的焦点,它们的离心率之和为,则双曲线C的标准方程为()A1B1C1D1【分析】由椭圆方

13、程求出双曲线的焦点坐标,及椭圆的离心率,结合题意进一步求出双曲线的离心率,从而得到双曲线的实半轴长,再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案【解答】解:由椭圆+1,得a225,b29,则c2a2b216,双曲线与椭圆的焦点坐标为F1(0,4),F2(0,4),椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为设双曲线的实半轴长为m,则,得m2,则虚半轴长n,双曲线的方程是故选:C【点评】本题考查双曲线方程的求法,考查了椭圆与双曲线的简单性质,是中档题12(3分)函数f(x)的定义域为R,f(1)6对任意xR,f(x)2,则f(1nx)2lnx+4的解集为()A(0,e)B(e,+)C(0,1)D(1,+)【分

14、析】构造函数g(x)f(x)2x4,利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解:设g(x)f(x)2x4,则g(x)f(x)2,对任意xR,f(x)2,对任意xR,g(x)0,即函数g(x)单调递增,f(1)6,g(1)f(1)240,函数g(x)单调递增,由g(x)g(1)0得x1,lnx1,xe即f(1nx)2lnx+4的解集为(e,+),故选:B【点评】本题主要考查不等式的求解,利用条件构造函数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填在横线上)13(3分)椭圆+1的焦距是6【分析】根据题意,由椭圆的标准方程分析a、b的值,结

15、合椭圆的几何性质求出c的值,由椭圆焦距的定义分析可得答案【解答】解:根据题意,椭圆+1中,a5,b4,则c3,则该椭圆的焦距2c6;故答案为:6【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质,注意求出c的值,属于基础题14(3分)命题“如果x+y3,那么x1且y2”的逆否命题是如果x1或y2,那么x+y3【分析】根据逆否命题的定义进行期求解即可【解答】解:命题的逆否命题为:如果x1或y2,那么x+y3,故答案为:如果x1或y2,那么x+y3【点评】本题主要考查四种命题之间的关系,根据逆否命题的定义是解决本题的关键若p则q的逆否命题为若q则p15(3分)曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为y

16、2x2【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x1的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解:y2lnx,y,当x1时,y2曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为y2x2故答案为:y2x2【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力属于基础题16(3分)已知双曲线E:1(a0,b0)的右顶点为A,抛物线C:y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P,使得,则双曲线E的离心率的取值范围是(1,【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程,抛物线的焦点坐标,可设P(m,m),以及向量

17、的垂直的条件:数量积为0,再由二次方程有实根的条件:判别式大于等于0,化简整理,结合离心率公式即可得到所求范围【解答】解:双曲线E:1(a0,b0)的右顶点为A(a,0),抛物线C:y28ax的焦点为F(2a,0),双曲线的渐近线方程为yx,可设P(m,m),即有(ma,m),(m2a,m),可得0,即为(ma)(m2a)+m20,化为(1+)m23ma+2a20,由题意可得9a24(1+)2a20,即有a28b28(c2a2),即8c29a2,则e由e1,可得1e故答案为:(1,【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质,注意运用二次方程有实根的条件:判别式大

18、于等于0,考查运算能力,属于中档题三、解答题(本大题共3小题,共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知命题p:曲线yx2+(2m3)x1与x轴相交于不同的两点;命题q:椭圆1的焦点在y轴上(1)判断命题p的否定的真假;(2)若“p且q”是假命题,“p或q“是真命题,求实数m的取值范围【分析】(1)由函数的零点个数的判断:(2m3)2+40,即命题p为真命题,即命题p的否定为假命题,(2)由椭圆的性质及充分必要条件得“p且q”是假命题,“p或q“是真命题,则命题p,q一真一假,又由(1)得命题p为真命题,则命题q为假命题,运算可得解【解答】解:(1)由(2m3)2+40

19、,可得曲线yx2+(2m3)x1与x轴相交于不同的两点,即命题p为真命题,即命题p的否定为假命题;(2)由“p且q”是假命题,“p或q“是真命题,则命题p,q一真一假,又由(1)得命题p为真命题,则命题q为假命题,即m2+12,解得m1或m1,故答案为:(,11,+)【点评】本题考查了函数的零点与椭圆的性质、充分必要条件,属简单题18(10分)已知抛物线C:y22px经过点P(4,4)(1)求抛物线C的方程;(2)若A,B为抛物线C上不同的两点,且AB的中点坐标为(2,1),求直线AB的方程【分析】(1)根据抛物线的定义,利用待定系数法即可求抛物线E的方程;(2)求直线AB的方程【解答】解:(

20、1)令抛物线E的方程:y22px(p0)抛物线C:y22px经过点P(4,4)168pp2,抛物线E的方程:y24x(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y124x1,y224x2,两式相减,得(y1+y2)(y1y2)4(x2x1),即线段AB恰被M(2,1)所平分y1+y22,2,即直线的斜率k2,AB的方程为y12(x2),即2xy30【点评】本题主要考查抛物线方程的求解,以及直线和抛物线的位置关系的应用,利用点差法求出直线斜率是解决本题的关键19(10分)若x2是函数f(x)ax33x2的极值点(1)求a的值;(2)若xn,m时,4f(x)0成立,求mn的最大值【分析】(1)求

21、解导函数,结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可;(2)由题意首先讨论函数的单调性,然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可【解答】解:(1)f(x)3ax26x,由已知f(2)12a120,得a1,经检验当a1时,满足题意,故a1(2)由(1)可知a1,f(x)3x(x2),当x0时,f(x)0,f(x)递增;当0x2时,f(x)0,f(x)递减;当x2时,f(x)0,f(x)递增;因此,f(x)极大值为f(0)0,极小值为f(2)4,又由f(x)0得x0或x3,由f(x)4得x2或x1,故mn的最大值为4【点评】本题主要考查导函数研究函数的极值,导函数研究函数的单调性等知识

22、,属于中等题说明:请考生在20,21两个小题中任选一题解答20(10分)已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过(1,0)点作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为4(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线AB的斜率为1,且,求的值【分析】(1)由题意可得:2c2,4a4解得a,b即可得椭圆的方程(2)联立,解得:或,由,即可求解【解答】解:(1)由题意可得:2c2,解得c1,ABF1的周长为4解得a,b椭圆的方程为:(2)直线AB的方程为:yx1,设A(x1,y1)Bx2,y2)联立,化为3y2+2y10,解得:或,且,或3【点评】本题考查了

23、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、属中档题21已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过(1,0)点作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为4(1)求椭圆C的标准方程(2)若|AB|4|F2A|,求直线AB的方程【分析】(1)由焦距为2,ABF1的周长为4可得c1,4a4,a2b2+c2联立解出即可得出(2)设直线AB的方程为:xmy+1,A(x1,y1),B(x2,y2)与椭圆方程联立,化为:(m2+2)y2+2my10,由|AB|4|F2A|,可得|BF2|3|F2A|,y23y1,与根与系数的关系联立即可得出【解答】解:(1)焦

24、距为2,ABF1的周长为4c1,4a4,a2b2+c2解得c1b,a椭圆C的标准方程为:1(2)设直线AB的方程为:xmy+1,A(x1,y1),B(x2,y2)联立,化为:(m2+2)y2+2my10,y1+y2,y1y2,|AB|4|F2A|,|BF2|3|F2A|,y23y1联立:y1+y2,y1y2,y23y1解得:m1直线AB的方程为:xy+1【点评】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题说明:请考生在22,23两个小题中任选一题解答22(12分)已知函数f(x)exax1(aR)(1)当a0时,求函数f(x)的单调区

25、间;(2)若g(x)elnxax+e1,求证:当x0时,f(x)g(x)【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为证明exelnxe0,令h(x)exelnxe,根据函数的单调性证明即可【解答】解:(1)由f(x)exax1,f(x)exa,由f(x)0,解得:xlna,由f(x)0,解得:xlna,故f(x)在(,lna)递减,在(lna,+)递增,(2)证明:要证明f(x)g(x),即证exelnxe0,令h(x)exelnxe,则h(x)ex,令(x)ex,则(x)ex+0,故(x)即h(x)在(0,+)递增,又h(1)0,当x(0,1)

26、时,h(x)0,h(x)递减,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)递增,故h(x)minh(1)0,故h(x)0,即exelnxe0,故f(x)g(x)【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,转化思想,是一道常规题23已知函数f(x)exax1(aR)(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0对任意x0恒成立,求a的取值范围【分析】(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)求f(x)的导数,利用导数研究函数f(x)在0,+)的单调性,然后讨论a的取值,从而确定f(x)的最值,即可确定实数a的取值范围【解答】解:(1)由f(x)exax

27、1,则f(x)exa由f(x)0,得xlna;由f(x)0,得xlna,所以函数f(x)的单调增区间为(lna,+),单调减区间为(,lna);(2)由f(x)exax1,则f(x)exa当a1时,对x0,有f(x)0,所以函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,又f(0)0,即f(x)f(0)0对x0恒成立当a1时,由(1),f(x)单调递增区间为(lna,+),单调递减区间为(,lna),若f(x)0对任意x0恒成立,只需f(x)minf(lna)aalna10,令g(a)aalna1(a1),g(a)1lna1lna0,即g(a)在区间(1,+)上单调递减,又g(1)0,故g(a)0在(1,+)上恒成立,故当a1时,满足aalna10的a不存在综上所述,a的取值范围是(,1【点评】本题以函数为载体,主要考查导数的几何意义,考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用,考查恒成立问题的解决方法