1、2018-2019学年陕西省铜川市王益区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“若x1，则x22x+20”的逆否命题是（）A若x1，则x22x+20B若x22x+20，则x1C若x1，则x22x+20D若x22x+20，则x12（5分）a（，0）（0，+），方程x2+ay21所表示的曲线不可能是（）A双曲线B圆C椭圆D抛物线3（5分）在空间直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别是（1，2，0），（2，2，1），则向量为（）A（1，4，1）B（1，0，1）C（1，4，1）D（3，0，1）4（5
2、分）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（）5（5分）双曲线1的渐近线方程为（）AyxBy5xCyxDyx6（5分）已知命题p：“x1，+），2x+xm0”；命题q：“x01，10，lgx0+m0”，若“pq”为真命题，则实数m的取值范围为（）A（，3）B（1，+）C（1，3）D1，37（5分）已知F1，F2分别为椭圆+1（ab0）的左、右焦点，|F1F2|2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|（）A8B6C5D8（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线y21的右支交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程
3、为（）Ayx+ByxCyxDyx+9（5分）已知空间向量（1，2，m），（0，1，2），若2与垂直，则（）ABCD10（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若直线PF1与直线PF2斜率的乘积为2，则（）ABCD11（5分）如图，在三棱锥COAB中，OAOB，OC平面OAB，OA6，OBOC8，CECB，D，F分别为AB，BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF13F1Q，若PF2垂直于x轴，
4、则椭圆C的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分13（5分）若“x3”是“0xm”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 14（5分）已知曲线l1：xy+30，直线l2：x3，则抛物线上一个动点P到直线l1的距离与它到直线l2的距离之和的最小值为 15（5分）在ABC中，A（1，1，2），B（2，1，1），C（1，2，3），若向量与平面ABC垂直，且|15，则n的坐标为 16（5分）已知向量（4，5，12），（3，t，），若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：“方程：表示焦点在x轴上
5、的双曲线”；命题q：“关于x的不等式x2+2ax+10在R上恒成立”（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围18（12分）在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，点M是A1B1的中点（1）证明：MC1AB1（2）求直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值19（12分）已知曲线上一动点P（x，y）（x0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若M是曲线E上的一个动点，直线l：yx+4，求点M到直线l的距离的最小值20（12分
6、）已知抛物线x22py（p0），焦点到准线的距离为4（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两点关于直线y2x+m对称，且两点的横坐标之积为2，求m的值21（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，PAAD2，点E，F，G分别为AB，AD，PC的中点（1）求证：PC平面EFG；（2）求二面角EPCF的余弦值22（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，焦距为6（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于M，N点试问直线MN是否过某定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由2018-2019
7、学年陕西省铜川市王益区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“若x1，则x22x+20”的逆否命题是（）A若x1，则x22x+20B若x22x+20，则x1C若x1，则x22x+20D若x22x+20，则x1【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出它的逆否命题即可【解答】解：根据命题与逆否命题之间的关系，得；命题“若x1，则x22x+20”的逆否命题是“若x22x+20，则x1”故选：D【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题目2（5分）
8、a（，0）（0，+），方程x2+ay21所表示的曲线不可能是（）A双曲线B圆C椭圆D抛物线【分析】利用方程的特征，判断曲线的形状即可【解答】解：a（，0）（0，+），方程x2+ay21中含有x2，y2项，没有一次项，所以曲线不表示抛物线故选：D【点评】本题考查圆锥曲线的特征，曲线的判断，是基本知识的考查，基础题3（5分）在空间直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别是（1，2，0），（2，2，1），则向量为（）A（1，4，1）B（1，0，1）C（1，4，1）D（3，0，1）【分析】根据点的坐标求向量坐标的方法即可得出的坐标【解答】解：A（1，2，0），B（2，2，1），故选：A【点评】本题考查空
9、间向量坐标的定义，由空间点的坐标求向量坐标的方法，考查计算能力，属于基础题4（5分）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（）ABCD【分析】利用E是边BC的中点，可得，代入即可求解【解答】解：E是边BC的中点，；故选：B【点评】本题考查平面向量基本定理，考查学生的分析能力；属于基础题5（5分）双曲线1的渐近线方程为（）AyxBy5xCyxDyx【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线1，它的a，b，焦点在x轴上，而双曲线1的渐近线方程为yx，故选：D【点评】本题考查
10、了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想6（5分）已知命题p：“x1，+），2x+xm0”；命题q：“x01，10，lgx0+m0”，若“pq”为真命题，则实数m的取值范围为（）A（，3）B（1，+）C（1，3）D1，3【分析】根据“pq”为真命题判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：因为“pq”为真命题，则p和q都是真命题，当p是真命题时，“x1，+），2x+xm0”；即m2x+x，对于x1，+）恒成立，令f（x）2x+x，x1，+），f（x）2xln2+10，x1，+），所以函数f（x）在x1，+）上
11、单调递增，f（x）minf（1）3，所以m3，当q是真命题时，“x01，10，lgx0+m0”，只需要mlgx0，即m1，综上可得1m3；故选：C【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据“pq”为真命题判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础7（5分）已知F1，F2分别为椭圆+1（ab0）的左、右焦点，|F1F2|2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|（）A8B6C5D【分析】通过三角形的面积以及弦长公式，转化求解即可【解答】解：因为4，所以4，|yAyB|4，过椭圆左焦点且斜率为，|AB|8故选：A【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及直线与椭圆的位
12、置关系的应用，属中档题8（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线y21的右支交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为（）Ayx+ByxCyxDyx+【分析】设斜率为1的直线l的方程为yx+t，联立双曲线的方程可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得t，检验t0，可得所求直线方程【解答】解：设斜率为1的直线l的方程为yx+t，联立双曲线方程y21，可得3x2+8tx+4t2+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，则|AB|8，解得t，由于直线l与双曲线的右支交于两点，可得t，则直线l的方程为yx故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线方程
13、和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题9（5分）已知空间向量（1，2，m），（0，1，2），若2与垂直，则（）ABCD【分析】利用2与垂直（2）0，即可得出m，进而求出结论【解答】解：（1，2，m），（0，1，2），2（2，5，2m2）；因为：2与垂直（2）0，即5+4m40m；02+故选：D【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为010（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若直线PF1与直线PF2斜率的乘积为2，则（）ABCD【分析】求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点的坐标，设P（m，n），代入椭圆
14、方程，由直线的斜率公式可得m，n的方程，解方程可得|n|，再由三角形的面积公式计算可得所求值【解答】解：椭圆的a2，b2，c2，左、右焦点为F1（2，0），F2（2，0），设P（m，n），可得m2+2n28，直线PF1与直线PF2斜率的乘积为2，解得n2，即|n|，则|F1F2|n|c|n|2故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，方程思想和运算能力，属于基础题11（5分）如图，在三棱锥COAB中，OAOB，OC平面OAB，OA6，OBOC8，CECB，D，F分别为AB，BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值为（）ABCD【分析】根据题意，可分别以直线OA，
15、OB，OC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件即可求出D，F，O，E的坐标，从而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线DF与OE所成角的余弦值【解答】解：由题意知，三直线OA，OB，OC两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（6，0，0），B（0，8，0），D（3，4，0），C（0，0，8），F（0，4，4），E（0，2，6），故选：B【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标解决异面直线所成角的问题，能求空间点的坐标，向量夹角的余弦公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题12（5分）如图，在平
16、面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF13F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为（）ABCD【分析】求得椭圆的左右焦点，设P（m，n），由题意可得mc，代入椭圆方程求得n，再由向量共线的坐标表示可得Q的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值【解答】解：设椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），设P（m，n），n0，由PF2垂直于x轴可得mc，由n2b2（1），可得n，设Q（s，t），由3，可得cc3（s+c），3t，解得sc，t，将Q（c
17、，）代入椭圆方程可得+1，即25c2+a2c29a2，即有a23c2，则e，故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用向量共线定理，考查化简运算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分13（5分）若“x3”是“0xm”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是3，+）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：若“x3”是“0xm”的充分不必要条件，则“x3”能推出“0xm”成立，“0xm”不能推出“x3”成立，所以由题意可设Ax|x3，Bx|0xm；AB即3m，则实数m的取值范围是3，+），故答案为：3，+）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的
18、判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键14（5分）已知曲线l1：xy+30，直线l2：x3，则抛物线上一个动点P到直线l1的距离与它到直线l2的距离之和的最小值为+1【分析】抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值，用到到直线距离转化到准线的距离，进而转化到焦点的距离【解答】解：抛物线的标准方程为：y28x，准线方程：x2，如图所示：平行移动xy+30与抛物线相切时的切点到直线：xy+30的距离最小d1，切点到x3距离d2等于切点到准线x2的距离加1，切点到准线的距离等于切点到焦点的距离，要使距离之和d1+d2最小，即是焦点到直线xy+30的距离加1，而焦点到直线xy+30距离d，
19、所以所求的最小距离为：+1【点评】考查抛物线的性质，属于中档题15（5分）在ABC中，A（1，1，2），B（2，1，1），C（1，2，3），若向量与平面ABC垂直，且|15，则n的坐标为（5，7）或（5，7）【分析】求出（1，2，1），（2，3，1），设（x，y，z），向量与平面ABC垂直，|15，列出方程组能求出结果【解答】解：在ABC中，A（1，1，2），B（2，1，1），C（1，2，3），（1，2，1），（2，3，1），设（x，y，z），向量与平面ABC垂直，解得，|15，15，解得y，x5，z7或y，x5，z7，（5，7）或（5，7）故答案为：（5，7）或（5，7）【点评】本题考查向量
20、的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（5分）已知向量（4，5，12），（3，t，），若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为（，4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t的取值范围【解答】解：向量（4，5，12），（3，t，），若与的夹角为锐角，0，且与 不共线，即 435t+120，且 不成立，求得t4，则实数t的取值范为（，4），故答案为：（，4）【点评】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：“方程：表示焦点在
21、x轴上的双曲线”；命题q：“关于x的不等式x2+2ax+10在R上恒成立”（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【分析】（1）由题意可得关于a的不等式组，求解得答案；（2）求出命题q为真命题的a的取值范围，由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可得p真q假，或p假q真然后利用交、并、补集的混合运算求解【解答】解：（1）方程：表示焦点在x轴上的双曲线，解得2a0或0a2实数a的取值范围为（2，0）（0，2）；（2）当命题q为真时，4a240，解得1a1“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，p真q假，或p假q真若p真
22、q假，则，解得2a1或1a2；若p假q真，则，解得a0实数a的取值范围为（2，1）（1，2）0【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查计算能力，是中档题18（12分）在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，点M是A1B1的中点（1）证明：MC1AB1（2）求直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值【分析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MC1AB1（2）求出侧面BB1C1C的法向量，利用向量法能求出直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值【解答】解：（1
23、）证明：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，2a），C1（，2a），M（0，2a），B1（0，a，2a），C（a，0），（，0，0），（0，a，2a），0，MC1AB1（2）解：（，0），（0，0，2a），（，2a），设侧面BB1C1C的法向量（x，y，z），则，取xa，得（a，0），设直线AC1与侧面BB1C1C所成角为，则直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值为：sin【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
24、考查运算求解能力，是中档题19（12分）已知曲线上一动点P（x，y）（x0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若M是曲线E上的一个动点，直线l：yx+4，求点M到直线l的距离的最小值【分析】（1）由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）设M（x，y），过M与直线l且与双曲线相切的直线l1：yx+m，联立双曲线的方程，由相切的条件：判别式为0，可得m，注意检验，再由两平行直线的距离公式可得所求最小值【解答】解：（1）曲线上一动点P（x，y）（x0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是，可得，两边平方可得y
25、21，令y0可得x，则动点P的轨迹E的方程为y21（x）；（2）设M（x，y），过M与直线l且与双曲线相切的直线l1：yx+m，由可得x2+4mx+2m2+20，16m28（m2+1）0，解得m1，当m1时，x2+4x+40，解得x2，由x0可得x2舍去；当m1时，x24x+40，解得x2，符合题意；直线l1：yx1，l1和l的距离为，可得点M到直线l的距离的最小值为【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线联立，运用相切的条件：判别式为0，以及两平行直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题20（12分）已知抛物线x22py（p0），焦点到准线的距离为4（1）求抛物线的
26、方程；（2）若抛物线上存在两点关于直线y2x+m对称，且两点的横坐标之积为2，求m的值【分析】（1）由抛物线的性质直接求出p的值，即求出抛物线方程；（2）设关于直线对称的两点的直线方程（两直线互相垂直），联立与抛物线的方程组，可得横纵坐标之和，再用中点坐标代入已知直线方程中，之积，整理出两个参数之间的关系可得m的值【解答】解：（1）由抛物线方程得：焦点坐标（0，），准线方程为：y，由焦点到准线的距离为4得：p4，所以抛物线方程为：x28y；（2）由题意设A（x，y），B（x，y）两点关于直线y2x+m对称的直线方程AB为：yx+t，与抛物线联立：整理得：x2+4x8t0，x+x4，xx8t，两
27、点的横坐标之积为28t2，t，代入AB中：y+y（x+x）+2t2+2t，AB的中点M（，）即：M（2，1+t），M在直线y2x+m上，1+t2（2）+m，m5+t，所以m的值为：【点评】考查抛物线与直线的位置关系，属于中档题21（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，PAAD2，点E，F，G分别为AB，AD，PC的中点（1）求证：PC平面EFG；（2）求二面角EPCF的余弦值【分析】（1）根据数量关系可证PCF与PCE均为等腰三角形，由三线合一可得EGPC，FGPC，由此得证；（2）由题意，EGF为所求二面角的平面角，求出EGF中各边的长度，由余弦定理即可得解【
28、解答】解：（1）证明：由题意，PCF与PCE均为等腰三角形，又点G为PC的中点，EGPC，FGPC，又EGFGG，且都在平面EFG内，PC平面EFG；（2）由（1）及二面角的定义可知，EGF为所求二面角的平面角，其中，在EGF中，由余弦定理有，即二面角EPCF的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角的求解，考查逻辑推理能力及运算求解能力，掌握立体几何中的基础知识是解题的关键，属于常规题目22（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，焦距为6（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于M，N点试问直线MN是否过某定点？若过定
29、点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）由条件c3，由离心率得到a的值，可得到b，从而可得椭圆方程（2）设出直线AM的方程与椭圆联立，得到M的坐标，同理得到N的坐标，写出直线MN的方程，得到直线MN过原点【解答】解：（1）由题意得：，解得a2；则b2a2c23；椭圆C的方程：；（2）设左顶点，根据条件直线AM，AN的斜率均不为0；设直线AM的方程为：，代入椭圆方程，得：；设M（x1，y1），则，即，即，设直线AN的斜率为k，则，即，把点M坐标中的k替换为k，得：，当M，N的横坐标不相等，即k时，直线MN的方程为：即，该直线恒过定点（0，0），当时，M，N的横坐标为0，直线MN过原点；故直线MN恒过定点（0，0）【点评】本题考查椭圆方程，直线方程，直线过定点问题，方程联立求点的坐标再解决问题，这也是一种常见的方法，属于难题
