2017-2018学年陕西省咸阳市武功县高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2017-2018学年陕西省咸阳市武功县高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的)1(5分)复数的共轭复数是()A2iB2iC2+iD2+i2(5分)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c0”,求证a”索的因应是()Aab0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)03(5分)函数y(sinx2)3的导数是()Ay3xsinx2sin2x2By3(sinx2)2Cy3(sinx2)2cosx2Dy6sinx2cosx24(5分)已知复数z12i,那么等于()ABCD5(5分)

2、已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3,则切线有()A1条B2条C3条D不确定6(5分)函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1,0B2,8C1,2D0,27(5分)设函数f(x)xex,则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点8(5分)由抛物线yx2x,直线x1及x轴围成的图形的面积为()AB1CD9(5分)用数学归纳法证明不等式1+n(nN*,且n1)时,第一步应证明下述哪个不等式成立()A12B1+2C1+2D1+210(5分)利用数学归纳法证明:不等式(n2,nN)的过程中,由nk变到nk+1时,左边增加了()

3、A1项Bk项C2k1项D2k项11(5分)已知yx3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是()Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b212(5分)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,给出下列命题:3是函数yf(x)的极值点;1是函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处切线的斜率小于零;yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()ABCD二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13(5分)设a0,若曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,则a 14(5分)已知a,那么a4 15(5分)设O是原点,向量、对应的复数分别为23i

4、,3+2i,那么,向量对应的复数是 16(5分)曲线y在点(4,e2)处的切线的斜率为 三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)物体按规律x4t2(m)作直线运动,设介质的阻力与速度成正比,且速度等于10(m/s)时阻力为2(N),求物体从x0到x2阻力所做的功的积分表达式18(12分)实数m取什么值时,复数z(m25m+6)+(m23m)i是()实数?()虚数?()纯虚数?()表示复数z的点是否会在第二象限?19(12分)已知nN*,求证:122232+(2n1)(2n)22n(2n+1)2n(n+1)(4n+3)20(12分)已知实数a

5、,b满足|a|2,|b|2,证明:2|a+b|4+ab|21(12分)设yf(x)是二次函数,方程f(x)0有两个相等的实根,且f(x)2x+2(1)求yf(x)的表达式;(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积22(12分)已知函数f(x)(ax2+bx+c)ex的图象过点(0,2a),且在该点处切线的倾斜角为45(1)用a表示b,c;(2)若f(x)在2,+)上为单调递增函数,求a的取值范围2017-2018学年陕西省咸阳市武功县高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求

6、的)1(5分)复数的共轭复数是()A2iB2iC2+iD2+i【分析】首先要对所给的复数进行整理,分子和分母同乘以分母的共轭复数,化简到最简形式,把得到的复数虚部变为相反数,得到要求的共轭复数【解答】解:复数2i,共轭复数是2+i故选:D【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是一定要得分的题目2(5分)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c0”,求证a”索的因应是()Aab0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0【分析】由题意可得,要证a,经过分析,只要证(ac)(ab)0,从而得出结论【解答】解:由abc,且a+b+c0可得

7、 bac,a0,c0要证a,只要证 (ac)2ac3a2,即证 a2ac+a2c20,即证a(ac)+(a+c)(ac)0,即证 a(ac)b(ac)0,即证(ac)(ab)0故求证“a”索的因应是 (ac)(ab)0,故选:C【点评】本题主要考查用分析法证明不等式,属于中档题3(5分)函数y(sinx2)3的导数是()Ay3xsinx2sin2x2By3(sinx2)2Cy3(sinx2)2cosx2Dy6sinx2cosx2【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可【解答】解:函数的导数f(x)3(sinx2)2(sinx2)3(sinx2)2cosx2(x2)23(sinx2)2cosx

8、26(sinx2)2cosx23xsinx2sin2x2,故选:A【点评】本题主要考查函数的导数计算,根据复合函数的导数公式是解决本题的关键考查学生的计算能力4(5分)已知复数z12i,那么等于()ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:z12i,故选:C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题5(5分)已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3,则切线有()A1条B2条C3条D不确定【分析】求函数的导数,令其为3,可得切点横坐标,有几个切点就有几条切线【解答】解:f(x)3x23,解得x1,故有两个切点(1,1)和(1,1),所以有两条切线故选:B【点评】考查

9、曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率6(5分)函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1,0B2,8C1,2D0,2【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数,根据导数大于0,求函数的单调增区间【解答】解:由函数f(x)xex,则,从而解得x1,故选:A【点评】该题考查利用函数的求导求函数的单调性,属于基础题7(5分)设函数f(x)xex,则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点【分析】由题意,可先求出f(x)(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)xex,可得f

10、(x)(x+1)ex,令f(x)(x+1)ex0可得x1令f(x)(x+1)ex0可得x1,即函数在(1,+)上是增函数令f(x)(x+1)ex0可得x1,即函数在(,1)上是减函数所以x1为f(x)的极小值点故选:D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤,本题是基础题,8(5分)由抛物线yx2x,直线x1及x轴围成的图形的面积为()AB1CD【分析】由图形,利用定积分表示阴影部分的面积,然后计算即可【解答】解:由抛物线yx2x,直线x1及x轴围成的图形的面积为:()+1;故选:B【点评】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积;关键是明确被积函数以及积

11、分上限和下限9(5分)用数学归纳法证明不等式1+n(nN*,且n1)时,第一步应证明下述哪个不等式成立()A12B1+2C1+2D1+2【分析】直接利用数学归纳法写出n2时左边的表达式即可【解答】解:用数学归纳法证明1+n(nN+,且n1)时,第一步应验证不等式为:1+2;故选:B【点评】在数学归纳法中,第一步是论证nn0时结论是否成立,此时一定要分析不等式左边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误10(5分)利用数学归纳法证明:不等式(n2,nN)的过程中,由nk变到nk+1时,左边增加了()A1项Bk项C2k1项D2k项【分析】依题意,由nk递推到nk+1时,不等式左边为1+,与n

12、k时不等式的左边比较即可得到答案【解答】解:用数学归纳法证明等式1+f(n)(n2,nN*)的过程中,假设nk时不等式成立,左边1+,则当nk+1时,左边1+,由nk递推到nk+1时不等式左边增加了:+,共(2k+11)2k+12k项,故选:D【点评】本题考查数学归纳法,考查观察、推理与运算能力,属于中档题11(5分)已知yx3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是()Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b2【分析】三次函数yx3+bx2+(b+2)x+3的单调性,通过其导数进行研究,故先求出导数,利用其导数恒大于0即可解决问题【解答】解:已知yx3+bx2+(b+2)

13、x+3yx2+2bx+b+2,yx3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,x2+2bx+b+20恒成立,0,即b2b20,则b的取值是1b2故选:D【点评】本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题,属于基础题12(5分)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,给出下列命题:3是函数yf(x)的极值点;1是函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处切线的斜率小于零;yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()ABCD【分析】根据导数的几何意义,与函数的单调性,极值点关系,结合图象判断【解答】解:根据f(x)0,f(x)0,可以确定函数的增区间,

14、减区间,切线斜率的正负由导函数yf(x)的图象,可判断,f(x)0,x3x1,3的左边负右边正,两边互为异号,所以可判断f(x)单调性在(,3)为上减函数,(3,1)为增函数,由上述条件可判断:3是yf(x)的极值点;yf(x)在区间(3,1)上单调递增两个结论正确1函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处切线的斜率小于零;两个结论错误故选:B【点评】本题考查了导数的图象在判断极值,单调区间中的运用,导数的几何意义的理解二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13(5分)设a0,若曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,则a【分析】利用定积分表示图形的面积,从而可建立方

15、程,由此可求a的值【解答】解:由题意,曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为,a2,a故答案为:【点评】本题考查利用定积分求面积,确定被积区间与被积函数是解题的关键14(5分)已知a,那么a44【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:a1+i,a2(1+i)22i,则a4(2i)24故答案为:4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题15(5分)设O是原点,向量、对应的复数分别为23i,3+2i,那么,向量对应的复数是55i【分析】根据向量、对应的复数分别为23i,3+2i,得到向量,代入所给的数据作出向量对应的结果【解答】解:向量、对应的复数分别为23i,3

16、+2i,向量23i+32i55i故答案为:55i【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,本题解题的关键是根据两个向量对应的复数用向量的减法,得到结果16(5分)曲线y在点(4,e2)处的切线的斜率为【分析】运用复合函数的导数运算法则,可得y的导数,再由导数的几何意义,代入x4,即可得到所求斜率【解答】解:y的导数为y,可得曲线y在点(4,e2)处的切线斜率为ke2,故答案为:e2【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,注意复合函数的导数的运算法则,考查运算能力,属于基础题三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)物体按规律x4t2(m

17、)作直线运动,设介质的阻力与速度成正比,且速度等于10(m/s)时阻力为2(N),求物体从x0到x2阻力所做的功的积分表达式【分析】先根据导数求出速速的表达式,再根据物理中物体做功的公式,求出F(x),再根据定积分的物理意义即可求出【解答】解:变力作功公式中,F(x)是用x表示的,而此题中只有x对t的关系式,故首先将F表示出来依题意得:Fkv,但这不是x的函数,应将v用x表示vx8t,而t,当v10时,F(x)2,k,F(x)此题F是与物体运动方向相反的,Wdx【点评】本题主要考查了定积分在物理中的应用,属于中档题18(12分)实数m取什么值时,复数z(m25m+6)+(m23m)i是()实数

18、?()虚数?()纯虚数?()表示复数z的点是否会在第二象限?【分析】()当虚部等于0时,复数为实数,即 m23m0,由此求出 m 的值()当当虚部不等于0时,复数为虚数,故 当m0,且 m3 时,复数为虚数() 由m25m+60,且m23m0,解得 m2,故当m2 时,复数为虚数()由 m25m+60,且m23m0,得此不等式组无解,故复数z的对应点是不会在第二象限【解答】解:()当虚部等于0时,复数为实数,即 m23m0,故 m0,或 m3,故当 m0,或 m3时,复数为实数()当当虚部不等于0时,复数为虚数,故 当m0,且 m3 时,复数为虚数() 当实部等于0,且虚部不等于0时,复数为纯

19、虚数,由m25m+60,且m23m0,解得 m2故当m2 时,复数为纯虚数()表示复数z的点在第二象限时,有 m25m+60,且m23m0,m无解,故复数z的对应点是不会在第二象限【点评】本题考查复数的基本概念,一元二次方程和一元二次不等式的解法,明确复数的概念,是解题的关键19(12分)已知nN*,求证:122232+(2n1)(2n)22n(2n+1)2n(n+1)(4n+3)【分析】直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可【解答】(本小题满分12分)证明:当n1时,左边41814(1)27右边假设当nk(kN*,k1)时成立,即122232+(2k1)(2k)22k(2k+1)2k(k+1)

20、(4k+3)当nk+1时,122232+(2k1)(2k)22k(2k+1)2+(2k+1)(2k+2)2(2k+2)(2k+3)2k(k+1)(4k+3)+(2k+2)(2k+1)(2k+2)(2k+3)2k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(6k7)(k+1)(k+2)(4k+7)(k+1)(k+1)+14(k+1)+3,即当nk+1时成立综上所述,对一切nN*结论成立【点评】本题考查数学归纳法证明等式的应用,是基本知识的考查20(12分)已知实数a,b满足|a|2,|b|2,证明:2|a+b|4+ab|【分析】证法一,利用综合法;证法二,利用分析法证明【解答】证明:证法一:|a|2,|

21、b|2,a24,b24,4a20,4b20(2分)(4a2)(4b2)0,即164a24b2+a2b20,(4分)4a2+4b216+a2b2,4a2+8ab+4b216+8ab+a2b2,(6分)即(2a+2b)2(4+ab)2,2|a+b|4+ab|(8分)证法二:要证2|a+b|4+ab|,只需证4a2+4b2+8ab16+a2b2+8ab,(2分)只需证4a2+4b216+a2b2,只需证16+a2b24a24b20,(4分)即(4a2)(4b2)0(6分)|a|2,|b|2,a24,b24,(4a2)(4b2)0成立要证明的不等式成立(8分)【点评】本题考查不等式的证明,综合法、分析

22、法的应用,考查分析问题解决问题的能力21(12分)设yf(x)是二次函数,方程f(x)0有两个相等的实根,且f(x)2x+2(1)求yf(x)的表达式;(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【分析】(1)根据导函数的解析式设出原函数的解析式,根据有两个相等的实根可得答案(2)根据定积分的定义可得答案【解答】解:(1)f(x)2x+2 设f(x)x2+2x+c,根据f(x)0有两等根,得44c0解得c1,即f(x)x2+2x+1;(2)S【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用属基础题22(12分)已知函数f(x)(ax2+bx+c)ex的图象过点(0,2a),且

23、在该点处切线的倾斜角为45(1)用a表示b,c;(2)若f(x)在2,+)上为单调递增函数,求a的取值范围【分析】(1)先求导函数,再利用条件图象过点(0,2a),且在该点处切线的倾斜角为45,可得,从而问题得解(2)解决单调性用导数,函数f(x)在2,+)上为单调递增函数,即f(x)0在2,+)上恒成立【解答】解:(1)f(x)ax2+(b2a)x+cbex由已知得:,(2)由(1)得f(x)(ax2+x1)exf(x)在2,+)上为单调递增函数,则f(x)0在2,+)上恒成立即ax2+x10对x2,+)恒成立即对x2,+)恒成立令,x2,y的最小值为,故a的取值范围【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的处理等知识,考查运算求解能力,属于中档题

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