1、2017-2018学年陕西省咸阳市武功县高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1（5分）复数的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i2（5分）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a+b+c0”，求证a”索的因应是（）Aab0Bac0C（ab）（ac）0D（ab）（ac）03（5分）函数y（sinx2）3的导数是（）Ay3xsinx2sin2x2By3（sinx2）2Cy3（sinx2）2cosx2Dy6sinx2cosx24（5分）已知复数z12i，那么等于（）ABCD5（5分）
2、已知函数f（x）x3的切线的斜率等于3，则切线有（）A1条B2条C3条D不确定6（5分）函数f（x）xex的一个单调递增区间是（）A1，0B2，8C1，2D0，27（5分）设函数f（x）xex，则（）Ax1为f（x）的极大值点Bx1为f（x）的极小值点Cx1为f（x）的极大值点Dx1为f（x）的极小值点8（5分）由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图形的面积为（）AB1CD9（5分）用数学归纳法证明不等式1+n（nN*，且n1）时，第一步应证明下述哪个不等式成立（）A12B1+2C1+2D1+210（5分）利用数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中，由nk变到nk+1时，左边增加了（）
3、A1项Bk项C2k1项D2k项11（5分）已知yx3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b212（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a 14（5分）已知a，那么a4 15（5分）设O是原点，向量、对应的复数分别为23i
4、，3+2i，那么，向量对应的复数是 16（5分）曲线y在点（4，e2）处的切线的斜率为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）物体按规律x4t2（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x0到x2阻力所做的功的积分表达式18（12分）实数m取什么值时，复数z（m25m+6）+（m23m）i是（）实数？（）虚数？（）纯虚数？（）表示复数z的点是否会在第二象限？19（12分）已知nN*，求证：122232+（2n1）（2n）22n（2n+1）2n（n+1）（4n+3）20（12分）已知实数a
5、，b满足|a|2，|b|2，证明：2|a+b|4+ab|21（12分）设yf（x）是二次函数，方程f（x）0有两个相等的实根，且f（x）2x+2（1）求yf（x）的表达式；（2）求yf（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积22（12分）已知函数f（x）（ax2+bx+c）ex的图象过点（0，2a），且在该点处切线的倾斜角为45（1）用a表示b，c；（2）若f（x）在2，+）上为单调递增函数，求a的取值范围2017-2018学年陕西省咸阳市武功县高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求
6、的）1（5分）复数的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数【解答】解：复数2i，共轭复数是2+i故选：D【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是一定要得分的题目2（5分）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a+b+c0”，求证a”索的因应是（）Aab0Bac0C（ab）（ac）0D（ab）（ac）0【分析】由题意可得，要证a，经过分析，只要证（ac）（ab）0，从而得出结论【解答】解：由abc，且a+b+c0可得
7、 bac，a0，c0要证a，只要证 （ac）2ac3a2，即证 a2ac+a2c20，即证a（ac）+（a+c）（ac）0，即证 a（ac）b（ac）0，即证（ac）（ab）0故求证“a”索的因应是 （ac）（ab）0，故选：C【点评】本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题3（5分）函数y（sinx2）3的导数是（）Ay3xsinx2sin2x2By3（sinx2）2Cy3（sinx2）2cosx2Dy6sinx2cosx2【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）3（sinx2）2（sinx2）3（sinx2）2cosx2（x2）23（sinx2）2cosx
8、26（sinx2）2cosx23xsinx2sin2x2，故选：A【点评】本题主要考查函数的导数计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键考查学生的计算能力4（5分）已知复数z12i，那么等于（）ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z12i，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题5（5分）已知函数f（x）x3的切线的斜率等于3，则切线有（）A1条B2条C3条D不确定【分析】求函数的导数，令其为3，可得切点横坐标，有几个切点就有几条切线【解答】解：f（x）3x23，解得x1，故有两个切点（1，1）和（1，1），所以有两条切线故选：B【点评】考查
9、曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率6（5分）函数f（x）xex的一个单调递增区间是（）A1，0B2，8C1，2D0，2【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间【解答】解：由函数f（x）xex，则，从而解得x1，故选：A【点评】该题考查利用函数的求导求函数的单调性，属于基础题7（5分）设函数f（x）xex，则（）Ax1为f（x）的极大值点Bx1为f（x）的极小值点Cx1为f（x）的极大值点Dx1为f（x）的极小值点【分析】由题意，可先求出f（x）（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）xex，可得f
10、（x）（x+1）ex，令f（x）（x+1）ex0可得x1令f（x）（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x1为f（x）的极小值点故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8（5分）由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图形的面积为（）AB1CD【分析】由图形，利用定积分表示阴影部分的面积，然后计算即可【解答】解：由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图形的面积为：（）+1；故选：B【点评】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积；关键是明确被积函数以及积
11、分上限和下限9（5分）用数学归纳法证明不等式1+n（nN*，且n1）时，第一步应证明下述哪个不等式成立（）A12B1+2C1+2D1+2【分析】直接利用数学归纳法写出n2时左边的表达式即可【解答】解：用数学归纳法证明1+n（nN+，且n1）时，第一步应验证不等式为：1+2；故选：B【点评】在数学归纳法中，第一步是论证nn0时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误10（5分）利用数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中，由nk变到nk+1时，左边增加了（）A1项Bk项C2k1项D2k项【分析】依题意，由nk递推到nk+1时，不等式左边为1+，与n
12、k时不等式的左边比较即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，假设nk时不等式成立，左边1+，则当nk+1时，左边1+，由nk递推到nk+1时不等式左边增加了：+，共（2k+11）2k+12k项，故选：D【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题11（5分）已知yx3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b2【分析】三次函数yx3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【解答】解：已知yx3+bx2+（b+2）
13、x+3yx2+2bx+b+2，yx3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，x2+2bx+b+20恒成立，0，即b2b20，则b的取值是1b2故选：D【点评】本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题12（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点关系，结合图象判断【解答】解：根据f（x）0，f（x）0，可以确定函数的增区间，
14、减区间，切线斜率的正负由导函数yf（x）的图象，可判断，f（x）0，x3x1，3的左边负右边正，两边互为异号，所以可判断f（x）单调性在（，3）为上减函数，（3，1）为增函数，由上述条件可判断：3是yf（x）的极值点；yf（x）在区间（3，1）上单调递增两个结论正确1函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；两个结论错误故选：B【点评】本题考查了导数的图象在判断极值，单调区间中的运用，导数的几何意义的理解二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a【分析】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方
15、程，由此可求a的值【解答】解：由题意，曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为，a2，a故答案为：【点评】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键14（5分）已知a，那么a44【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：a1+i，a2（1+i）22i，则a4（2i）24故答案为：4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题15（5分）设O是原点，向量、对应的复数分别为23i，3+2i，那么，向量对应的复数是55i【分析】根据向量、对应的复数分别为23i，3+2i，得到向量，代入所给的数据作出向量对应的结果【解答】解：向量、对应的复数分别为23i，3
16、+2i，向量23i+32i55i故答案为：55i【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是根据两个向量对应的复数用向量的减法，得到结果16（5分）曲线y在点（4，e2）处的切线的斜率为【分析】运用复合函数的导数运算法则，可得y的导数，再由导数的几何意义，代入x4，即可得到所求斜率【解答】解：y的导数为y，可得曲线y在点（4，e2）处的切线斜率为ke2，故答案为：e2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）物体按规律x4t2（m
17、）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x0到x2阻力所做的功的积分表达式【分析】先根据导数求出速速的表达式，再根据物理中物体做功的公式，求出F（x），再根据定积分的物理意义即可求出【解答】解：变力作功公式中，F（x）是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将F表示出来依题意得：Fkv，但这不是x的函数，应将v用x表示vx8t，而t，当v10时，F（x）2，k，F（x）此题F是与物体运动方向相反的，Wdx【点评】本题主要考查了定积分在物理中的应用，属于中档题18（12分）实数m取什么值时，复数z（m25m+6）+（m23m）i是（）实数
18、？（）虚数？（）纯虚数？（）表示复数z的点是否会在第二象限？【分析】（）当虚部等于0时，复数为实数，即 m23m0，由此求出 m 的值（）当当虚部不等于0时，复数为虚数，故 当m0，且 m3 时，复数为虚数（） 由m25m+60，且m23m0，解得 m2，故当m2 时，复数为虚数（）由 m25m+60，且m23m0，得此不等式组无解，故复数z的对应点是不会在第二象限【解答】解：（）当虚部等于0时，复数为实数，即 m23m0，故 m0，或 m3，故当 m0，或 m3时，复数为实数（）当当虚部不等于0时，复数为虚数，故 当m0，且 m3 时，复数为虚数（） 当实部等于0，且虚部不等于0时，复数为纯
19、虚数，由m25m+60，且m23m0，解得 m2故当m2 时，复数为纯虚数（）表示复数z的点在第二象限时，有 m25m+60，且m23m0，m无解，故复数z的对应点是不会在第二象限【点评】本题考查复数的基本概念，一元二次方程和一元二次不等式的解法，明确复数的概念，是解题的关键19（12分）已知nN*，求证：122232+（2n1）（2n）22n（2n+1）2n（n+1）（4n+3）【分析】直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可【解答】（本小题满分12分）证明：当n1时，左边41814（1）27右边假设当nk（kN*，k1）时成立，即122232+（2k1）（2k）22k（2k+1）2k（k+1）
20、（4k+3）当nk+1时，122232+（2k1）（2k）22k（2k+1）2+（2k+1）（2k+2）2（2k+2）（2k+3）2k（k+1）（4k+3）+（2k+2）（2k+1）（2k+2）（2k+3）2k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（6k7）（k+1）（k+2）（4k+7）（k+1）（k+1）+14（k+1）+3，即当nk+1时成立综上所述，对一切nN*结论成立【点评】本题考查数学归纳法证明等式的应用，是基本知识的考查20（12分）已知实数a，b满足|a|2，|b|2，证明：2|a+b|4+ab|【分析】证法一，利用综合法；证法二，利用分析法证明【解答】证明：证法一：|a|2，|
21、b|2，a24，b24，4a20，4b20（2分）（4a2）（4b2）0，即164a24b2+a2b20，（4分）4a2+4b216+a2b2，4a2+8ab+4b216+8ab+a2b2，（6分）即（2a+2b）2（4+ab）2，2|a+b|4+ab|（8分）证法二：要证2|a+b|4+ab|，只需证4a2+4b2+8ab16+a2b2+8ab，（2分）只需证4a2+4b216+a2b2，只需证16+a2b24a24b20，（4分）即（4a2）（4b2）0（6分）|a|2，|b|2，a24，b24，（4a2）（4b2）0成立要证明的不等式成立（8分）【点评】本题考查不等式的证明，综合法、分析
22、法的应用，考查分析问题解决问题的能力21（12分）设yf（x）是二次函数，方程f（x）0有两个相等的实根，且f（x）2x+2（1）求yf（x）的表达式；（2）求yf（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案（2）根据定积分的定义可得答案【解答】解：（1）f（x）2x+2 设f（x）x2+2x+c，根据f（x）0有两等根，得44c0解得c1，即f（x）x2+2x+1；（2）S【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用属基础题22（12分）已知函数f（x）（ax2+bx+c）ex的图象过点（0，2a），且
23、在该点处切线的倾斜角为45（1）用a表示b，c；（2）若f（x）在2，+）上为单调递增函数，求a的取值范围【分析】（1）先求导函数，再利用条件图象过点（0，2a），且在该点处切线的倾斜角为45，可得，从而问题得解（2）解决单调性用导数，函数f（x）在2，+）上为单调递增函数，即f（x）0在2，+）上恒成立【解答】解：（1）f（x）ax2+（b2a）x+cbex由已知得：，（2）由（1）得f（x）（ax2+x1）exf（x）在2，+）上为单调递增函数，则f（x）0在2，+）上恒成立即ax2+x10对x2，+）恒成立即对x2，+）恒成立令，x2，y的最小值为，故a的取值范围【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的处理等知识，考查运算求解能力，属于中档题