1、归纳与类比 编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1 知识与技能通过对一些简单的教学实例和生活实例的分析，了解合情推理的含义；通过了解一些著名问题的发现过程体会并认识合情推理在数学发现中的作用通过实例了解归纳推理和类比推理的概念，能利用这两种推理方法进行一些简单的推理2过程与方法通过教学实例和生活中的实例，经历观察、发现、归纳的过程，理解归纳推理和类比推理，并体会归纳推理和类比推理的意义和价值，体会二者之间的联系和差异3情感、态度和价值观通过学习了解归纳推理和类比推理是常见的合理推理，了解数学不仅是成形的理论体系，其形成过程也是其中的重要部分，形成对教学完整的认识培养归纳探索能力，提高创新意识
2、，培养自尊、自信的品质；培养勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研警示【要点梳理】要点一：合情推理数学推理是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程数学推理一般包括合情推理和演绎推理本章节主要讲解合情推理概念合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式特征合情推理是一种合乎情理的似真推理，它的前提为真，结论可能为真 常用方法人们根据合情推理的特征、作用、范例和模式以及经验的积累，总结出数学中常用的合情推理方法有：观察、实验、联想、猜测、直观、归纳、类比、推广、限定、抽象等
3、其中归纳推理和类比推理和合情推理的两种主要形式推理过程： 要点诠释： （1）由合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用（2）注意合情推理和演绎推理的区别演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理演绎推理的特征是前提为真，结论必为真要点二：归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）特征 （1）归纳推理是由部分到整体、由
4、个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 （2）归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的想象，因而结论具有猜测的性质（3）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的 （4）由归纳推理的结论虽然未必可靠，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的一般步骤推广为明确表述的一般命题（猜想）检 验观察特例发现相似性一般模式已知，是类事物的对象，具有特征，具有特征，具有特征，所以类事物具有特征有关归纳的两个概念完全归纳推理：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理，
5、又叫完全归纳法由于完全归纳推理考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用不完全归纳推理：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理，又叫完全归纳法由于不完全归纳推理是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验 要点诠释：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就
6、越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的要点三：类比推理概念 两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理 特征 （1）类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果； （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能 一般步
7、骤 （1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）（3）检验猜想一般模式已知性质与性质相似或相同类事物具有性质；类事物具有性质，所以类事物也具有性质要点诠释： （1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假 【典型例题】类型一：归纳推理
8、的概念例1 下列推理是归纳推理吗？为什么？（1）金受热后体积膨胀， （2）当=0时，+11=11； 银受热后体积膨胀， 当=1时，+11=11； 铜受热后体积膨胀， 当=2时，+11=13； 铁受热后体积膨胀， 当=3时，+11=17； 锌受热后体积膨胀， 当=4时，+11=23； 金、银、铜、铁、锌都是金属， 11，11，13，17，23都是质数， 所以，所有的金属受热后都体积膨胀 所以，对于所有的自然数，+11的值都是质数 【思路点拨】根据归纳推理的概念判断，观察是否是从特殊到一般的推理，是否符合归纳推理的一般模式【解析】（1）是 对照归纳推理的定义，可知：选定的“某类事物”是金属，选定的
9、“部分对象”是金、银、铜、铁、锌，根据“部分对象金、银、铜、铁、锌受热后体积膨胀”的事实，推理出“对象的全体金属”都具有这个性质 符合归纳推理的概念，是从特殊到一半的推理 （2）是 对照归纳推理的定义，可知：选定的“某类事物”是代数式+11，选定的“部分对象”是取0，1，2，3，4后代数式的值11，11，13，17，23，根据“部分对象11，13，17，23都是质数”的事实，推理出“对象的全体代数式+11”的值都是质数 符合归纳推理的概念【总结升华】明确归纳推理的概念，熟悉归纳推理的特征和一般模式，注意归纳推理和类比推理的区别【变式】下列推理是归纳推理的是（ ）AA，B为定点，动点P满足|PA
10、|PB|2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2 y2 r2 的面积r2 ，猜想出椭圆的面积D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，故选B类型二：归纳推理的应用例2 用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式【解析】对数列的前项和分别进行计算：，观察可得，数列Sn的前五项都等于1到相应序号的连续自然数之和的平方，由此猜想数列的前
11、项和【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的举一反三：【变式1】在数列an中，a10，an12an2，猜想an是()A2n-2B2n-2C2n-11 D2n
12、-14【答案】a10212，a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2故应选B【变式2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，（21），的前项和的归纳过程【答案】对等差数列1，3，5，（21），的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：；观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想【变式3】各项均为正数的数列an，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有当，时，求通项公式an【解析】 由，得将，代入化简得 当n=3时，当n=4时，由此归纳出（nN*）（归纳猜想出的结论应予以严格证明才可，此处证明略）例3平面内的1条直
13、线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？【思路点拨】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论【解析】设平面被n条直线分成部分，则：当n=1时，S1=1+1=2；当n=2时，S2=1+1+2=4；当n=3时，S3=1+1+2+3=7；当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11据此猜想，得【总结升华】几何问题应先抽取出其中的数据，再观察这组数据的外在或内在规律本题中的前四个数的差的规律是成等差数列，故可归纳举一反三：【高清课堂：401470
14、例题2】【变式1】根据给出的数塔猜测1234569+7等于 19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111【答案】1111111根据数塔中的位数规律可得【高清课堂：401470 例题1】【变式2】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点( ) A B C n+1 D 【答案】D 第(2)个图形，中间有1个点，另外的点指向两个方向，每个方向一个点，共有个点； 第(3)个图形，中间有1个点，另外的点指向三个方向，每个方向两个点，共有个点； 第(4)个图形，中间有1个点，另外的点指向四个方向，每个方向三个点，共有个点； 第(5)个图形，中间有
15、1个点，另外的点指向五个方向，每个方向四个点，共有个点； 由上面的变化规律，可猜测，第n个图形中心有1个点，另外的点指向n个方向，每个方向n-1个点，共有n(n-1)个点 【变式3】将正ABC分割成n2（n2，nN）个全等的小正三角形（如图2-1-1-1，图2-1-1-2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=_，f（n）=_ 【答案】；当n=3时，如图2-1-13所示分别设各顶点的
16、数用小写字母表示，即由条件知，a+b+c=1，x1+x2=a+b，y1+y2=b+c，z1+z2=c+ax1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2，6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，即而，进一步可求得f（4）=5，由此归纳出， 所以=类型三：类比推理的概念例4 下面几种推理是类比推理的是（ ）A 由圆的性质可知球的有关性质B 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，推出所有三角形的内角和都是180 C 教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了D 三角形内角和是180，四边形内角和是360
17、，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n-2)180【思路点拨】根据类比推理的概念及特征解析【答案】A【解析】圆和球是两类不同的对象，且具有某些相似性（比如定义、圆的周长与球的表面积、圆的面积与球的体积等等），故球的有关性质可类比圆的性质得到，类比如下：圆的性质球的性质圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不是大圆）的圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面圆相等与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离不相等的两截面圆不等；距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径秋的切面垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的
18、直线必经过切点经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 另外可根据归纳与类比的特征选择，选项B、D是由特殊到一般的推理（归纳推理），选项A是由特殊到特殊的推理（类比推理）可，选项C的推理不合乎情理，不是合情推理，故选A【总结升华】与归纳相比，类比需要更广阔的知识与丰富的想象力，包含更多的直觉成分，运用类比推理的关键是寻找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性，因此类比推理就是在两个或两类事物间“求同存异”的过程【变式1】类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 各个面都是全等的正三角形
19、，相邻两个面所成的二面角都相等各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A B C D【答案】C【变式2】由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”； “(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxp ax”；“”类比得到“”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B 正确类型四：类比推理的应用例5 在中，若，则，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想【思路点拨】解决此类
20、问题的关键是如何用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，本题中“三角形从同一顶点出发的两条边垂直”类比“三棱锥从同一顶点出发的三个平面互相垂直”，“三角形两个直角边与底边所成的角”类比“三棱锥中三个互相垂直的面与第四个平面所成的角”再利用立体几何的知识加以证明【解析】由平面类比到空间，有如下猜想：在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则证明：设在平面的射影为，延长交于，记，由得，从而，又，即【总结升华】主要考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应
21、球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等举一反三：【变式】在ABC中，若BCAC，AC=b，BC=a，则ABC的外接圆半径将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SABC的外接球半径R=_【答案】例6 已知等差数列的公差为，前项和有如下性质：若，则若，则类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质【解析】在等比数列中，公比为，前项和为若，则若，则【总结升华】本题考查等差数列与等比数列的类比一种较本质的认识是： 等
22、差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且则）； 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且则）举一反三：【变式1】已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ； 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为_这个数列的前项和的计算公式为_【答案】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；【变式2】通过计算可得下列等式： 2212=21+1， 3222=22+1 4232=23+1， (n+1)2n
23、2=2n+1将以上各等式两边分别相加得：(n+1)212=2(1+2+n)+n，即 （1）类比上述求法，请你求出12+22+32+n2的值（2）根据上述结论试求12+32+52+992的值【答案】（1）2313=312+31+1， 3323=322+32+1， 4333=332+33+1， (n+1)3n3=3n2+3n+1将以上各式两边分别相加得(n+1)313=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n，（2）12+32+52+992 =12+22+32+1002(22+42+62+1002) =12+22+32+10024(12+22+32+502) =10010120145051101=166650
