1、+简单计数问题编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.知识与技能（1）在两个基本计数原理的基础上，进一步理解组合与排列的联系与区别；（2）能利用排列组合知识解决一些实际的计数问题.2.过程与方法通过再体验组合与排列的联系与区别，加深对两个计数原理的认识，提高分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观（1）培养在排列、组合思想指导下处理解决有关计数问题的能力，充分理解排列与组合之间的辩证统一。（2）通过对有限条件下技术问题的处理，提高学生分析问题、解决实际问题的能力。【要点梳理】要点一：排列计数问题有限制条件的排列问题常见命题形式： （1）“在”与“不在”的问题：“（不）在”指的是（不）
2、存在特殊元素或特殊位置，如“甲在乙的左边”、“甲必须入选”等.（2）“邻”与“不邻”的问题：“邻”指若干元素必须相邻；“不邻”指若干元素不能相邻.要点诠释：“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.“不邻”问题在解题时最常用的是“插空法”，即将其他剩余元素排列，然后用互不相邻的元素插空.“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.排列问题的解题方法：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）优限法：特殊
3、元素优先考虑；特殊位置，优先考虑。对有附加条件的排列组合问题，一般采用该方法。（3）捆绑法：对相邻问题可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：对不相邻问题先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）直排法：分排问题直排处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.流程图：首先认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题。若是，直接运用排列数公式解决问题.注意弄清这里n个不同元素指的是什么，以及从n个不同元素总任取m个元素的
4、每一种排列相应的是什么事情.无限制条件的排列问题直接解法与间接解法排列问题有特殊元素或特殊位置元素必须相邻元素不相邻元素有顺序限制常见限制条件无限制条件的排列问题优先排列集团排列顺序排列不相邻排列间隔排列常用策略要点二：组合计数问题有限制条件的组合问题常见命题形式：(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 要点诠释：1.对
5、“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.要点三：排列组合混合题型解答排列、组合问题的思维模式：（1）是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； （2）是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.要点诠释：（1）排列与组合问题的区别：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.（2）两个计数原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无
6、论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 解答排列、组合问题的一般策略：解决简单计数问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏解排列组合的应用题的一般步骤(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；(2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的
7、排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决.(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同.要点诠释：排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准. 【典型例题】类型一、排列计数问题例1. 六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站
8、左端，乙不站右端 【思路点拨】本题是排列问题.【解析】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有种站法法二：若对甲没有限制条件，共有种站法，甲在两端共有2种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有2480种站法(2)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有240种站法法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有种站法，最后让甲、乙全排列，有种方法 ，共有240种站法(
9、3)法一：因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有种站法，故共有480种站法法二：“间接法”：6个人全排列有种站法，由(2)知甲、乙相邻有240种站法，所以不相邻的站法有720240480种(4)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，然后将甲、乙按条件插入站队，有3种站法，故共有3144种站法法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有种站法；最后对甲、乙进行排列，有种站法，故共有144种站法(5)
10、首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有48种站法(6)法一：间接法。甲在左端的站法有种站法，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种站法，共有2504种站法法二：直接法。以元素甲分类，可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，有种站法，故共有504种站法【总结升华】针对特殊的元素或特殊的位置合理地优先考虑当有两个特殊位置时，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素时，应分类讨论举一反三：【变式1】从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（ ）种
11、.A. B. C. D.【答案】A捆绑法.从中选个（有顺序），有种方法；再把看成一个整体，个元素全排列，有种方法，共计种排法.【变式2】6个人坐在一排10个座位上,问：(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?【答案】6个人排有种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有种插法，故空位不相邻的坐法有种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有种坐法
12、;4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；4个空位分两组,每组都有2个相邻,有种坐法.综上所述,应有种坐法.【变式3】(1)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ）A12B24 C36 D48【答案】D.若选甲，则有种排法；若不选甲，则有A种排法，则共有48种例2. 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成四位数.（1）可组成多少不同的五位数？（2）可组成多少个无重复数字的五位数？（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？（4）可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？【思路点拨】五位数的首位不得为0，故0是特殊元素，首位是特殊位置：（1）分步进行，数字可重复；（2）
13、分步进行，数字不可重复；（3）“五位奇数”要求末尾是1，3或5，应优先考虑.（4）“被五整除的五位数”要求末尾为0或5，对0的要求较高，应优先考虑.【解析】（1）先安排首位，有5种不同排法；其他各位没有限制都有6种不同排法，故有种不同的五位数.（2）先安排首位，有种不同排法；再从剩下的5个数字中选出4个安排剩下的四位数，有种，故有个不同的五位数.（3）分三步：先安排末位，从1，3，5中选取1个，有种；再安排首位，从剩下的元素（除0外）中选取1个，有种；最后安排中间3位，从剩下的元素中选取3个，有种.故共有=288个不同的五位数.（4）分两类：个位数为0时，只要从1，2，3，4，5这5个元素中选
14、择4个安排五位数的前4位数即可，有种；当个位数为5时，分两步进行：先安排首位，从1，2，3，4中选取1个，有种；再安排中间三位，从剩下的4元素中选取3个，有种.则有个不同的五位数.所以，共有个不同的五位数.【总结升华】在数字问题中注意组成的自然数是有重复数字的、还是无重复数字的，注意分类加法计算原理与分部乘法计数原理的应用.举一反三：【变式1】【高清视频：总复习：排列组合、计数原理411575】用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的自然数。（1）可组成多少个四位偶数？（2）可组成多少个被25整除的四位数？（3）将组成的所有四位数按大小、从小到大排队，第1010个数是
15、哪个四位数？（4）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数是多少.【答案】（1）=2296；（2）=174；（3）3014；（4）.【变式2】小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数的不同个数为（ ）A. B. C. D.【答案】B例3. 四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。【解析】依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）与同色、与同色，则有；（2）与同色、与同色，则有；（3）与同色、与同色，则有；（4）与同色、与同色，则有；（5）与同色、与同色，则有；所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120.【总结升华】染
16、色问题是排列计数问题中的特殊问题，它的解题方法特殊性强、抽象性强、思维方法新颖，要善于对染色问题的解题规律和解题方法作归纳总结，从千差万别的实际问题中探究出数学模型，以更好的解决此类问题.举一反三：【变式1】某地区人口普查办公室制作了如图所示的宣传画.分为A、B、C、D四块区域现有四种颜色：红、黄、绿、蓝作为底色涂在上面，每块区域只涂一种颜色，且相邻区域不同色，共有_种涂色方案 【答案】48方法一：第一步，涂D区有4种方法 第二步，涂A区有3种方法 第三步，涂B区有2种方法 第四步，涂C区有2种方法由分步计数原理可得432248(种)，即共有48种涂色方案 方法二：分为两类：A、C同色与A、C
17、不同色后再分步进行 若A、C同色，则从4种颜色中选择3种涂A、B、D，共有种；若A、C不同色，则对四种颜色全排列，有种不同，根据分类加法原理，共有+=48种不同的涂色方案.【变式2】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？【答案】解法一：利用加法原理分类讨论满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的
18、四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。解法二：设想染色按SABCD的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，按SABCD的顺序进行染色，解法与解法二相同. SCDAB类型二、组合计数问题例4.在7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？ (1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B
19、不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)男生人数不少于女生人数【思路点拨】(1)5人中含A，B再另选3人； (2)从其余的10人选5人；(3)可用间接法； (4)“至少”包含2名，3名，4名，5名可用间接法 (5)“男生人数不少于女生人数”可分为三类：男5 人女0人；男4人女1人,男3人女2人.【解析】(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，所以共有 种不同的选法(2)从除去A，B两人的10人中选5人即可，所以有 种不同的选法(3)全部选法有种，A，B全当选有种，故A，B不全当选有 种不同的选法(4)“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生.从12名学生中选取5人
20、，共有种选法，选取1名女生4名男生，有种选法，不选女生，全部选男生，有种选法，所以“至少有2名女生”的选法有596种(5) 可分为三类：男5 人女0人；男4人女1人,男3人女2人所以选法总种数为：【总结升华】当计数问题中含有 “至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“不”等次时，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，正难则反，考虑逆向思维.用直接法时，谨防重复与漏解.举一反三：【变式1】某球队有2名队长和10名队员，先派6人上场比赛.如果球场上最少有1名队长，那么共有多少种不同的选法.【答案】714.直接法：；间接法：.【变式2】4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有
21、2人选修课程甲的不同选法共有() A12种 B24种 C30种 D36种 【答案】B.分三步：第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也有2种不同的选法，故共有N2224种不同的选法例5. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒【思路点拨】（1）将6个小球按2：2：1：1或3：1：1：1分成四组，再全排.（2）将6个小球按2：2：2、3：2：1和4：1：1分成三组，再排列.
22、【解析】（1）若将6个小球按2：2：1：1分成四组，有种；若将6个小球按3：1：1：1分成四组，有种.所以，按要求将6个小球分成四组，放法总数为：+.再将四组放入4个盒子，共有=1 560种不同的放法.（2）若将6个小球按2：2：2分成三组，有种；若将6个小球按3：2：1分成三组，有种；若将6个小球按4：1：1分成三组，有种；故将6个小球分成三组，放法总数为：；最后从4个盒子中选择3个放置这三组，共有种不同的放法.【总结升华】（1）对于均分有对象的问题，一般采用先分再排的方法.（2）一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为，那么针对下列情况，不同的分组方法是：若，有；若各不相同，有
23、.举一反三：【变式1】若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ ） A.20 B. 19 C.10 D.69 【答案】B.由字母“e，r，r，o，r”组成的不同单词共有个，故出现错误的种数为20-1=19个.【变式2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 .【答案】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种.所以满足条件的分配方案有种.类型三、排列、组合混合题型例6. 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本
24、，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本 【思路点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏【解析】(1)无序不均匀分组问题从6本中先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选作为一组，有种方法，故共有60(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三
25、人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有360(种)(3)无序均匀分组问题将6本书平分为3份，共有15 种不同的分法(4)有序均匀分组问题在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式90(种)(5)无序部分均匀分组问题。方法一：共有种分法；方法二：先选4本的那一份，有，剩下的两本平分成2份，有1种分法，所以共有=15种分法. (6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式1590(种)(7)直接分配问题甲从6本书中选1本，有种方法，乙从余下5本中选1本有种方法，余下4本留给丙有种方法，共有30(种)【总结升华】均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的
26、常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数举一反三：【变式1】同室A，B，C，D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A，B不选修同一门课，则不同的选法有多少种？【答案】10.五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是25，故分配方案的总数是25150种当仅仅两名女医生一组时，分组数是；当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是，故两名女医生在一个医院的分配方案是636.所以，符合要求的分配方法总数是15036114.【变式2】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520 C600 D720【答案】若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为种
