1、用函数的观点看方程与不等式 知识互联网 题型一：方程思想思路导航抛物线与轴的交点抛物线与轴必有一个交点.抛物线与轴的交点当时，抛物线与轴有两个不同的交点.当时，抛物线与轴有一个交点.当时，抛物线与轴没有交点.直线（或直线或直线）与抛物线的交点问题，可运用方程思想联立方程（或或）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线与轴的交点联立方程组为，其中的是一元二次方程的两根，则抛物线与轴交于两点.例题精讲【引例】 已知关于的二次函数探究二次函数的图象与轴的交点的个数，并写出相应的的取值范围.【解析】 令时，得：，以下分三种情况讨论：当时，方程有两个不相等的实数根，即，此时，的图象与轴有两个交点当
2、时，方程有两个相等的实数根，即，此时，的图象与轴只有一个交点当时，方程没有实数根，即，此时，的图象与轴没有交点综上所述：当时，的图象与x轴有两个交点；当时，的图象与轴只有一个交点；当时，的图象与轴没有交点典题精练【例1】 1. 抛物线与轴的交点.二次函数与轴的两个交点坐标为、，则一元二次方程的两根为 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 2. 抛物线与直线的交点.图中抛物线的解析式为，根据图象判断下列方程根的情况 方程的两根分别为 方程的两根分别为 方程的根的情况是 方程的根的情况是 3. 抛物线与直线的交点直线与抛物线只有一个交点，则 当取何值时，抛物线与直线： 有公共
3、点； 没有公共点【解析】 1.，；2. 用图象求解 ， ，直线与抛物线只有一个交点，故有两个相等实根， 直线与抛物线有两个交点，故原方程有两个不相等的实根 直线与抛物线无交点，故原方程无实根3. 或； 联立方程组即，若有公共点，解得；当时，没有公共点 【例2】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为(1) 求点坐标；(2) 直线经过点. 求直线和抛物线的解析式； 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 【解析】(1) 证明：当时，方程为，所以，
4、方程有实数根. 当时，所以，方程有实数根综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根 (2) 令，则解关于的一元二次方程，得 ， 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数， (3) 由(2)得抛物线的解析式为配方得抛物线的顶点直线OD的解析式为于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移后的抛物线解析式为当抛物线经过点C时，C（0，9），解得当h时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，得，解得此时抛物线与射线CD唯一的公共点为，符合题意综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 或h【例3】
5、已知关于m的一元二次方程=0.(1) 判定方程根的情况；(2) 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值【解析】(1) 所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根. (2) 设 的两根都在和之间， 当时，即： 当时，即： 为整数， 当时，方程，此时方程的根为无理数，不合题意当时，方程，不符合题意当时，方程，符合题意 综合可知， 题型二：函数思想思路导航 抛物线的重要结论当时，图象落在轴的上方， 无论为任何实数，都有. 当时，图象落在轴的下方， 无论为任何实数，都有当，时，则；当时，则.当，时，则；当时，则.当， 或时，则；当或时，则；当时，则.当，或
6、时，则；当或时，则；当时，则.例题精讲【引例】1. 如图，函数的图象如图所示： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于、两点 二次函数的解析式为 当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值 当自变量 时，两函数的函数值的积小于【解析】 1. 或； 或； 2. ； ； ； 典题精练【例4】 下列命题：若，则；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或若，则一元二次方程有两个不相等的实数根正确的是（ ）A B C
7、D若、（）是关于的方程的两根，且，则、的大小关系是（ ）A B C D 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实根所在的范围是（ ） A B CD 【解析】 C A B第题提示：1特殊值法2运用法则比大小3二次函数图象法方法一：与轴的交点为，把的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，此图象与轴的交点为，由图象可得方法二：分析函数 可知，当时，当时，与轴有两个交点，则图象可得点评：本题是运用函数思想讨论方程问题，既直观又简捷起到了简化解题过程和加快解题速度的作用用函数图象来解决方程问题起到了以形助数的作用在讨论一元二次方程的解的个数、解的分布情况等问题时借助
8、函数图象可获得直观简捷的解答 【例5】 已知：关于的方程有两个实数根是、（），若关于的另一个方程的两个实数根都在和之间试比较：代数式、之间的大小关系【解析】 方程、分别对应的函数为和，显然这两个函数的图象的对称轴都为，即其中一个图象可以通过上下平移得到另一个图象，示意图如图所示：，即再因为方程有根，则，【例6】 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点（1）求点，的坐标；（2）设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线的下方，求该抛物线的解析式【解析】（1）当时，.抛物线对称轴为（2）易得点关于对称轴的对称
9、点为则直线经过、.没直线的解析式为则，解得直线的解析式为（3）抛物线对称轴为抛物体在这一段与在这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线的上方在这一段位于直线的下方；抛物线与直线的交点横坐标为；当时，则抛物线过点（-1，4）当时，抛物线解析为.【例题精讲】针对例2例题精讲【探究对象】二次函数中的“数形结合”.【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交直线同抛物线相交直线同圆相交等情形的深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学
10、习目的.【探究1】若点是四边形边上的点，且P点坐标满足，试 求z的最小值.分析：很显然与函数平行，画出函数的图象，若直线 平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意，此时最小的值等于 【探究2】设二次函数的图象与 轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值.分析：设点C坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意 的直线共有三条：分别是经过点A、C的直线l1：；经过点B、C的直线l2：；经过C点与抛物线相切的直线l3：.【探究3】设抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线lx轴
11、，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答：当直线与新图象只有一个公共点P(x0，y0)且时，求b的取值范围.分析：点A的坐标为(0，)；数形结合可知，如图所示B点 为纵坐标最大时的点，最大值为7；则B点坐标为(6，7)；直线l1：经过B点时，可得；直线l2：经过A点时，可得；直线l3：与抛物线相切时，得；结合图象可知，符合题意的b的取值范围为或【探究4】二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧)，将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G
12、有公共点时，的取值范围.分析：向左平移后得到的图象G的解析式为，；此时平移后的解析式为；由图象可知，平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界的交点为B与C； 直线l1：经过B点时，可得；直线l2：经过C点时，可得；结合图象可知，符合题意的n的取值范围为.(本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n=0，与题意矛盾，故舍去)【探究5】二次函数与x轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.分析：如图所示：当直线l1经过原点O时与半圆P有两个交
13、点，即b=0；当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，如图由题意可得RtBPC与RtCOD都是等腰直角三角形，可得CP=，OD=OC=；直线l1：经过O点时，可得b=0；直线l2：与圆相切时，可得；结合图象可知，符合题意的b的取值范围为 【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常熟悉，根据给出的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，函数图象的变
14、化趋势，例如：给定一条直线解析式为：，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；(5)根据临界图形的函数解析式求出参数的取值范围。临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何知识求解；求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立方程中，利用消元后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；过一点(x0，y0)且与抛物线相切的直线的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式
15、给学生)复习巩固题型一 方程思想 巩固练习【练习1】 二次函数的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：写出为何值时，的值大于；写出为何值时，随的增大而增大；若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【解析】 当时，的值大于； 当时，随的增大而增大； 由图可知，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点为可列方程组为解得 解析式为 ， 方程有两个不相等的实数根，即解得【练习2】 如图是二次函数的图象，其顶点坐标为 求出图象与轴的交点，的坐标； 在二次函数的图象上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 将二次函数的图象在轴下方的部
16、分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围【解析】 因为是二次函数的顶点坐标，所以 令，解之得，两点的坐标分别为， 在二次函数的图象上存在点，使设，则，又，即二次函数的最小值为，当时，或故点坐标为或. 如图，当直线经过点时，可得当直线经过点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为 题型二 函数思想 巩固练习【练习3】 不论为何值时，永远是正值的条件是（ ）A，B，C，D，若抛物线位于轴上方，则的取值范围是（ ）A BC D二次函数对于的任何值都恒为负值的条件是（ ）A， B， C， D，【解析】 A； B； D【练习4】 已知关于的一元二次方程，如果，那么方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D必有一个根为【解析】 A【练习5】 方程的正根的个数为（ ）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【解析】 B.13
