1、专题23 多边形内角和问题 专题知识回顾 1多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。3多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。4多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。5正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。6多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）1807多边形的外角和：多边形的内角和为360。8.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。（2）n边形共有条对角线
2、。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360B540C630D720【答案】C【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A108B120C135D140【答案】D【解析】先根据多边形内角和定理：180（n2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数该正九边形内角和180（92）
3、1260，则每个内角的度数【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080，则这个多边形是（）A五边形B六边形C七边形D八边形【答案】D 【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。多边形的内角和可以表示成（n2）180，列方程可求解设所求多边形边数为n，则（n2）1801080，解得n8【例题4】（2019海南）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角BOD的大小为 度【答案】144【解析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出AO
4、C，然后根据圆弧长公式即可解决问题五边形ABCDE是正五边形，EA108AB、DE与O相切，OBAODE90，BOD（52）1809010810890144。 专题典型训练题 一、选择题1（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540，则该正多边形的一个外角为（）A45B60C72D90【答案】C 【解析】根据多边形的内角和公式（n2）180求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360，依此可以求出多边形的一个外角正多边形的内角和是540，多边形的边数为540180+25，多边形的外角和都是360，多边形的每个外角3605722（2019内蒙古巴彦卓尔）下列命题：若x2+kx+是完全平
5、方式，则k1；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m5；等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形其中真命题个数是（）A1B2C3D4【答案】B 【解析】利用完全平方公式对进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据多边形的内角和和外角和对进行判断若x2+kx+是完全平方式，则k1，所以错误；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为yx+4，则x1时，m5，所以正确；等腰三角形底边上的中线所在的直线是它
6、的对称轴，所以错误；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以正确3（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE则图中阴影部分的面积是（）A6B6C12D12【答案】B【解析】正六边形ABCDEF的边长为2，正六边形ABCDEF的面积是：66，FABEDC120，图中阴影部分的面积是：6，4.（2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（）A 27 B 35 C 44 D 54【答案】C 【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边
7、数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答设这个内角度数为x，边数为n，（n2）180x=1510，180n=1870+x，n为正整数，n=11，=445.（2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60，则这个多边形的边数是（）A3 B，4 C.5 D.6【答案】D 【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60，且多边形的外角和等于360，即可求得这个多边形的边数一个多边形的每一个外角都等于60，且多边形的外角和等于360，这个多边形的边数是：36060=66.（2018武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（）A 27 B 3
8、5 C 44 D 54【答案】C 【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答设这个内角度数为x，边数为n，（n2）180x=1510，180n=1870+x，n为正整数，n=11，=447.（2018大连）如图，在ABC中，A=40，D点是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC=【答案】110【解析】由D点是ABC和ACB角平分线的交点可推出DBC+DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出BDC的度数D点是ABC和ACB角平分线的交点，有CBD=ABD=ABC，BCD=ACD=ACB，ABC+ACB=1
9、8040=140，OBC+OCB=70，BOC=18070=1108.（2018沈阳）若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（）A6 B12 C16 D18【答案】B 【解析】根据多边形的内角和，可得答案设多边形为n边形，由题意，得（n2）180=150n，解得n=129（2018山东临沂）内角和为540的多边形是（）ABCD【答案】C 【解析】根据多边形的内角和公式（n2）180列式进行计算即可求解设多边形的边数是n，则（n2）180=540，解得n=510.（2018江苏镇江）已知n边形的内角和=（n-2）180.（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630.甲、乙的说
10、法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x.【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.试题解析：(1)甲对，乙不对.=360，（n-2）180=360，解得n=4.=630，（n-2）180=630，解得n=.n为整数，不能取630.(2) 由题意得，（n-2）180+360=（n+x-2）180，解得x=2.11（2018湖南岳阳）已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（）A6 B7 C8 D9【答案】D 【
11、解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，则这个正多边形的边数是：36040=912.（2018四川绵阳）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080，那么原多边形的边数为（）A7 B7或8 C8或9 D7或8或9【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变首先求得内角和为1080的多边形的边数，即可确定原多边形的边数设内角和为1080的多边形的边数是n，则（n2）180=1080，解得：n=8则原多边形的边数为7或8或913.（2019大庆模拟题）将一矩形
12、纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A360 B540 C720 D900【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180+180=360将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180+360=540将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360+360=72014.（2019长沙模拟题）若一个正n边形的每个内角为144，
13、则正n边形的所有对角线的条数是（）A7 B10 C35 D70【答案】C【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键由正n边形的每个内角为144结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论一个正n边形的每个内角为144，144n=180（n2），解得：n=10这个正n边形的所有对角线的条数是： =3515. （2018江西）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE的度数
14、为何？（）A115B120C125D130【答案】C 【解析】根据全等三角形的判定和性质得出ABC与AED全等，进而得出B=E，利用多边形的内角和解答即可正三角形ACD，AC=AD，ACD=ADC=CAD=60，AB=DE，BC=AE，ABCAED，B=E=115，ACB=EAD，BAC=ADE，ACB+BAC=BAC+DAE=180115=65，BAE=BAC+DAE+CAD=65+60=125二、填空题16（2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是540，则该多边形的边数是 【答案】5 【解析】n边形的内角和公式为（n2）180，由此列方程求n设这个多边形的边数是n，则（n2）180540
15、，解得n517.（2019陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为 【答案】6 【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，AOB，COD为两个边长相等的等边三角形，AD=2AB=6，故答案为618（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40的正多边形的顶点若O为正多边形的中心，则OAD 【答案】140【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可多边形的每个外角相等，且其和为360，据此可得多边形的边数为：，OAD19.（经典题）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_. 【答案】8 【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360，根据题意列出方程，解之即可.设这个多边形边数为n，（n-2）180=3603，n=8.
