1、专题25 圆的问题 专题知识回顾 一、与圆有关的概念与规律1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。4推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧5圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。6在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心
2、角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半9半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径10. 点和圆的位置关系： 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外
3、接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。13若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。14圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。15.直线与圆有3种位置关系：如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。17.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线
4、。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 20设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则： 两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含 21.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.22.与圆有关的公式设圆的周长为r，则：（1）求圆的直径公式d=2r（2）求圆的周长公式 C=2r （3）
5、求圆的面积公式S=r2二、解题要领1.判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规
6、律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图
7、形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019山东省滨州市）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若BCD40，则ABD的大小为（）A60B50C40D20【例题2】（2019南京）如图，PA.PB是O的切线，A.B为切点，点C.D在O上若P102，则A+C 【例题3】（2019甘肃武威）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径【例题4】（2019江苏苏州）如图，AE为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点
8、E，F.（1）求证：；（2）求证：;（3）若，求的值. 专题典型训练题 一、选择题1(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则ASB的度数是（）A22.5B30C45D602.（2019山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE如果A70，那么DOE的度数为（）A35B38C40D423.（2019广西贵港）如图，AD是O的直径，若AOB40，则圆周角BPC的度数是（）A40B50C60D704.（2019湖北天门）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接B
9、D下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个5.（2019山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若ABC40，则ADC的度数是（）A130B140C150D1606.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD7.（2019广东广州）平面内，O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作O的切线条数为（）A0条B1条C2条D无数条8（2019山东泰安
10、）如图，ABC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）A32B31C29D619(2019湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD10. (2019湖北荆门)如图，ABC内心为I，连接AI并延长交ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）ADIDBBDIDBCDIDBD不确定二、填空题11.（2019广西北部湾）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中
11、记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.12. (2019黑龙江绥化)半径为5的O是锐角三角形ABC的外接圆,ABAC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若OBD是直角三角形,则弦BC的长为_.13. （2019山东东营）如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O 上的一个动点，且ABC=45，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是_14.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上
12、，且ADC30，则AOB的度数为_15.（2019江苏常州）如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，AOC120，则CDB 16.（2019四川省雅安市）如图，ABC内接于O，BD是O的直径，CBD=21，则 A的度数为_. 17.(2019安徽)如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，CDAB于点D，若O的半径为2，则CD的长为 18.（2019江苏泰州）如图，O的半径为5，点P在O上，点A在O内，且AP3，过点A作AP的垂线交O于点B.C设PBx，PCy，则y与x的函数表达式为 19.（2019山东省济宁市 ）如图，O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与
13、斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 20.（2019湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上，且OAOB点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为 三、解答题21.（2019南京）如图，O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且ABCD求证：PAPC22.（2019湖南株洲）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径，连结AC.BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形
14、；（2）若ACBC，PBPD，AB+CD2（+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度23.（2019广西池河）如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F（1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若OB2，ABBDDA，F45，求CF的长24.（2019甘肃）如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：AADE；（2）若AD8，DE5，求BC的长25.（2019湖北省咸宁市）如图，在RtABC中，ACB90，D为AB的中点，以CD为直径的O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FGAB于点G（1）试判断FG与O的位置关系，并说明理由（2）若AC3，CD2.5，求FG的长
