2019-2020学年四川省遂宁市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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资源描述

1、2019-2020学年四川省遂宁市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为()Ay1Bx1CyxDyx+12(5分)空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A、B两点间距离为()A2BCD63(5分)若方程x2+y2+2a0表示圆,则实数a的取值范围为()Aa0Ba0Ca0Da04(5分)直线l1:axy30和直线l2:x+(a+2)y+20平行,则实数a的值为()A3B1C2D3或15(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1

2、C1D1中,异面直线AC与BD1所成的角为()ABCD6(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列四个命题为假命题的是()A若m,n,则mnB若面,面,l,则l面C若mnA,m,m,n,n,则D若,a,则a7(5分)若实数x,y满足,则zx+2y的最小值是()A0BC5D18(5分)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y2sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图),其中阴影部分小圆的周长均为4,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影

3、部分的概率为()ABCD9(5分)如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()AA,M,O三点共线BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面DB,B1,O,M共面10(5分)若直线l1:ykxk+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点()A(3,1)B(2,1)C(5,5)D(0,1)11(5分)已知长方形ABCD的长AB为8,宽AD为6,沿对角线AC折起,形成四面体DABC,则该四面体外接球的表面积为()A25BCD10012(5分)坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P,

4、若点Q(1,1),那么|PQ|的取值范围为()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)直线yx+1与直线ykx1垂直,则实数k的值为 14(5分)如图,这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩(满分100分)的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差是 15(5分)两个男生一个女生并列站成一排,其中两男生相邻的概率为 16(5分)已知点P是直线上一动点,PA,PB是圆C:(x1)2+y21的两条切线,A,B为切点,则弦AB长的最小值为 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA平面A

5、BCD,PAAB,E是PD的中点(1)求证:PB平面EAC;(2)求证:平面PDC平面PAD18(12分)“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”,维护社会稳定和和平发展扫黑除恶期间,大量违法分子主动投案,某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计,y表示第x天主动投案的人数,得到统计表格如下:x1234567y3455567(1)若y与x具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(2)判定变量x与y之间是正相关还是负相关(写出正确答案,不用说明理由)(3)预测第八天的主动投案的人数(按四舍五入取到整数)参考公式:,19(12分)已知动点M与两个定点O(0

6、,0),A(3,0)的距离之比为;(1)求动点M的轨迹方程;(2)过点M所代表的曲线外一点P(3,3)作该曲线的两条切线,切点分别为B,C,求BPC的正弦值;(3)若点M所代表的曲线内有一点Q(0,1),求过点Q且倾斜角为的直线与此曲线所截得的弦长20(12分)每当我心永恒这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影泰坦尼克号中一暮暮感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”为了推动我市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”我市某地将按“泰坦尼克号”原型1:1比例重新修建为了了解该旅游开发在大众中的熟知度,随机从本市2070岁的人群中抽取了a人,得到各年龄段

7、人数的频率分布直方图如图所示,现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成?”,统计结果如表所示:组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组20,30)100.5第2组30,40)x0.9第3组40,50)54m第4组50,60)n0.36第5组60,70)y0.2(1)求出m(x+y+n)的值;(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组抽取的人数;(3)在(2)中抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有年龄在30,40)段的概率21(12分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,ABACAA12,E是BC的中点,F是

8、A1E上一点,且A1F2FE()证明:AF平面A1BC;()求三棱锥C1A1FC的体积22(12分)已知过定点(1,1)且与直线yx垂直的直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点满足|CA|CB|(1)若以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点,求圆E的轨迹方程;(2)求能覆盖ABC的最小圆的面积;(3)在(1)的条件下,点P(x0,y0)在直线3x+2y40上,圆E上总存在两个不同的点M、N使得(O为坐标原点),求x0的取值范围2019-2020学年四川省遂宁市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

9、合题目要求的1(5分)过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为()Ay1Bx1CyxDyx+1【分析】根据题意,斜率不存在的直线与x轴垂直,据此分析可得答案【解答】解:根据题意,斜率不存在的直线与x轴垂直,倾斜角为90,又由要求直线经过点(1,1),则其方程为x1;故选:B【点评】本题考查直线的方程,注意直线的斜率不存在的情况,属于基础题2(5分)空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A、B两点间距离为()A2BCD6【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解【解答】解:空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4),A、B两点间距离为:|AB|故

10、选:C【点评】本题考查两点间距离的求法,考查空间中两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题3(5分)若方程x2+y2+2a0表示圆,则实数a的取值范围为()Aa0Ba0Ca0Da0【分析】利用圆的一般式方程,D2+E24F0即可求出a的范围【解答】解:方程x2+y2+2a0表示圆,所以D2+E24F0即8a0,a0,解得a的取值范围是(,0)故选:A【点评】本题考查圆的一般式方程的应用,不等式的解法,考查计算能力4(5分)直线l1:axy30和直线l2:x+(a+2)y+20平行,则实数a的值为()A3B1C2D3或1【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【解答】解:直线l1:a

11、xy30和直线l2:x+(a+2)y+20平行,解得a1,实数a的值为1故选:B【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AC与BD1所成的角为()ABCD【分析】可连接BD,B1D1,从而可说明ACB1D1,ACBB1,从而得出AC平面BB1D1,进而得出ACBD1,从而可得出异面直线AC与BD1所成的角【解答】解:如图,连接BD,B1D1,则ACBD,又B1D1BD,ACB1D1,又ACBB1,且B1D1平面BB1D1,BB1平面BB1D1,B1D1BB1B1,AC平面BB1D

12、1,且BD1平面BB1D1,ACBD1,异面直线AC与BD1所成的角为故选:C【点评】本题考查了异面直线所成角的定义,线面垂直的判定定理,向量垂直的定义,考查了推理能力,属于基础题6(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列四个命题为假命题的是()A若m,n,则mnB若面,面,l,则l面C若mnA,m,m,n,n,则D若,a,则a【分析】由线面平行,垂直的判定性质定理,逐个判断,即可得出结论【解答】解:对于选项A,若n,则在平面内存在直线l与直线n平行,又m,则直线m垂直于平面内的任何直线,所以ml,所以mn故A正确对于选项B,若面,面,l,设m,n,因为平面a平面l,所以在直线

13、l任意取一点P,过点P在平面内作PAm,因为,m,所以PA,过P在平面作PBn,因为,n,所以PB,所以PA,PB重合即为l,所以l故B正确对于选项C,若mnA,m,m,n,n,可得m,n确定的平面与平面,都平行,则故C正确对于选项D,若,a,则a与相交,平行或a,故D错误故选:D【点评】本题考查直线与平面位置关系,属于中档题7(5分)若实数x,y满足,则zx+2y的最小值是()A0BC5D1【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图看出使目标函数取得最小值的点,求出点的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作可行域如图,由zx+2y,得要使z最小,则直线的截距最

14、小,由图看出,当直线过可行域内的点O(0,0)时直线在y轴上的截距最小,zx+2y的最小值是z0+200故选:A【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题8(5分)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y2sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图),其中阴影部分小圆的周长均为4,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()ABCD【分析】由题意知用几何概型求概率,从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为:

15、【解答】解:因为函数y2sinx的周期为T,所以大圆的半径为8,故大圆的面积为:64;阴影部分小圆阴影部分小圆的周长均为4,则小圆的半径为2,故小圆的面积为:248;由几何概型可知现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为:故选:D【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关解决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P求解9(5分)如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M

16、,则下列结论正确的是()AA,M,O三点共线BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面DB,B1,O,M共面【分析】本题利用直接法进行判断先观察图形判断A,M,O三点共线,为了要证明A,M,O三点共线,先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,从而证明三点共线【解答】解:连接A1C1,AC,则A1C1AC,A1、C1、C、A四点共面,A1C平面ACC1A1,MA1C,M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,A

17、、M、O三点共线故选:A【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力,属于基础题10(5分)若直线l1:ykxk+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点()A(3,1)B(2,1)C(5,5)D(0,1)【分析】先找出直线l1恒过定点(1,1),其关于点(3,3)对称点(5,5)在直线l2上,可得直线l2恒过定点【解答】解:由于直线l1:yk(x1)+1恒过定点(1,1),其关于点(3,3)对称的点为(5,5),又由于直线l1:yk(x1)+1与直线l2关于点(3,3)对称,直线l2恒过定点(5,5)故选:C【点评】本题考查直线过定点问题,由于直线l1和直

18、线l2关于点(3,3)对称,故有直线l1上的定点关于点(3,3)对称点一定在直线l2上11(5分)已知长方形ABCD的长AB为8,宽AD为6,沿对角线AC折起,形成四面体DABC,则该四面体外接球的表面积为()A25BCD100【分析】利用“直角三角形斜边的中线是斜边的一半”可知:RAC,由此即可求解【解答】解:根据题意可知,直角三角形斜边的中线是斜边的一半;长宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角得到四面体DABC,则其外接球的半径为:R;四面体外接球的表面积:S4R2100故选:D【点评】本题考查了球的表面积,考查了学生的分析能力,计算能力;属于中档题12(5分)坐标原点O(

19、0,0)在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P,若点Q(1,1),那么|PQ|的取值范围为()ABCD【分析】求出直线的定点M,则P在以OM为直径的圆上,圆的圆心为(1,1),半径为,结合圆的性质,求出|PQ|的范围【解答】解:直线mx+ny2m2n0,可化为m(x2)+n(y2)0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P,故OPM90,所以P在以OM为直径的圆上,圆的圆心为(1,1),半径为,根据点与圆的关系,|OQ|,故2|PQ|,故选:A【点评】考查定点问题,直线与圆,点与圆的位置关系,中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共

20、20分13(5分)直线yx+1与直线ykx1垂直,则实数k的值为1【分析】利用直线yx+1与直线ykx1垂直的性质,能求出实数k的值【解答】解:直线yx+1与直线ykx1垂直,k11,解得k1,实数k的值为1故答案为:1【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)如图,这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩(满分100分)的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差是5.6或【分析】根据茎叶图和平均数、方差的定义,计算即可【解答】解:根据茎叶图知,去掉一个最高分96和一个最低分78后,所剩的数据为82,84,84,86,89

21、;计算这5个数据的平均数是(82+84+84+86+89)85,方差是s2(8285)2+(8485)2+(8485)2+(8685)2+(8985)25.6故答案为:5.6或【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数和方差的问题,是基础题15(5分)两个男生一个女生并列站成一排,其中两男生相邻的概率为【分析】两个男生一个女生并列站成一排,基本事件总数n6,其中两男生相邻包含的基本事件个数m4,由此能求出其中两男生相邻的概率【解答】解:两个男生一个女生并列站成一排,基本事件总数n6,其中两男生相邻包含的基本事件个数m4,其中两男生相邻的概率p故答案为:【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列

22、组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题16(5分)已知点P是直线上一动点,PA,PB是圆C:(x1)2+y21的两条切线,A,B为切点,则弦AB长的最小值为【分析】利用弦AB长最小等价于ACB最小,等价于PC最小,求出PC的最小值,代入利用三角函数求出AB长度【解答】解:弦AB长最小等价于ACB最小,等价于PC最小,PC的最小值为圆心C(1,0)到直线的距离d,此时cosACP,所以sinACP,故AB,故答案为:【点评】考查直线与圆的位置关系,中档题三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PAAB,

23、E是PD的中点(1)求证:PB平面EAC;(2)求证:平面PDC平面PAD【分析】(1)证明线与面平行,可运用线与面平行的判定定理,转化为证线与平面内的线平行来证,结合题目中的中点条件,可运用中位线的性质得证;(2)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,即:化为线与面的垂直来证,由题条件可发现CD平面PAD,则可证得【解答】证明:(1)连结BD交AC于O,连结EO,则EO是PBD的中位线,EOPB,又PB平面EAC,EO平面EAC,PB平面EAC;(2)PA平面ABCD,CD平面ABC,PACDABCD是矩形,ADCD而PAADA,CD平面PAD,又CD平面PDC,平面PDC平面PAD【点评

24、】本题考查线面平行与面面垂直的判断,考查空间想象能力和思维能力,是中档题18(12分)“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”,维护社会稳定和和平发展扫黑除恶期间,大量违法分子主动投案,某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计,y表示第x天主动投案的人数,得到统计表格如下:x1234567y3455567(1)若y与x具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(2)判定变量x与y之间是正相关还是负相关(写出正确答案,不用说明理由)(3)预测第八天的主动投案的人数(按四舍五入取到整数)参考公式:,【分析】(1)由已知表格中的数据求得与的值,则线性回归方程可

25、求;(2)由(1)中求得的线性回归方程可知变量x与y之间是正相关;(3)在(1)中求得的线性回归方程中取x8求得y值得答案【解答】解:(1)根据表中的数据,可得,则,又由,故所求回归直线方程为;(2)变量x与y之间是正相关;(3)当x8时,根据方程得,故预测第八天有7人【点评】本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题19(12分)已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为;(1)求动点M的轨迹方程;(2)过点M所代表的曲线外一点P(3,3)作该曲线的两条切线,切点分别为B,C,求BPC的正弦值;(3)若点M所代表的曲线内有一点Q(0,1),求过点Q且倾斜角为的直线与此

26、曲线所截得的弦长【分析】(1)设M(x,y),由题意列出方程,化简求解即可(2)求出点P(3,3)到圆心(1,0)的距离,令圆心为G,在RtPBG中,转化求解即可(3)求出过点Q(0,1)倾斜角为的直线方程为xy+10,直线恰好过圆心,然后求解写出即可【解答】(1)解:设M(x,y),由题意有:,化简得:(x+1)2+y24(2)因为点P(3,3)到圆心(1,0)的距离,令圆心为G,所以在RtPBG中,则(3)过点Q(0,1)倾斜角为的直线方程为xy+10,该直线恰好过圆心,所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径,即弦长d4【点评】本题考查关键分析的求法,直线与圆的位置关系的综合应用,考查转化思想

27、以及计算能力;是中档题20(12分)每当我心永恒这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影泰坦尼克号中一暮暮感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”为了推动我市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”我市某地将按“泰坦尼克号”原型1:1比例重新修建为了了解该旅游开发在大众中的熟知度,随机从本市2070岁的人群中抽取了a人,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成?”,统计结果如表所示:组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组20,30)100.5第2组30,40)x0.9第3组40,50)54

28、m第4组50,60)n0.36第5组60,70)y0.2(1)求出m(x+y+n)的值;(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组抽取的人数;(3)在(2)中抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有年龄在30,40)段的概率【分析】(1)根据频率直方图求出人数和频率,可计算出(2)通过分层抽样可计算出,(3)计算出抽取的6人中随机抽取2人的所有事件,再求出符合题意得事件,再算出概率【解答】解:(1)第1组的人数为:人,第1组的频率为:0.01100.1,x2000.20.936,y2000.20.156,故m(x+y+n)0.9(36+6+18)

29、54(2)抽样比为:人第2组抽取的人数为:人;第3组抽取的人数为:人;第4组抽取的人数为:人(3)记30,40)中2人为A1,A2,40,50)中3人为B1,B2,B3,50,60)中1人为C,则在抽取的6人中随机抽取2人的所有事件为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1C,A2B1,A2B2,A2B3,A2C,B1B2,B1B3,B1C,B2B3,B2C,B3C共15个,其中不含A1,A2的有6个,所抽取的人中恰好没有年龄段在30,40)的概率:【点评】本题考查频率直方图,计算人数,计算频率,计算概率21(12分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,ABACAA12,E是

30、BC的中点,F是A1E上一点,且A1F2FE()证明:AF平面A1BC;()求三棱锥C1A1FC的体积【分析】()连接AE,AF,在ABC中,由题意可知ABC为等腰三角形,且AEBC,求得AE在直角三角形A1AE中,求解EF由,得AFA1E,由线面垂直的判定可得BC平面A1AE,则BCAF,进一步得到AF平面A1BC;()过E作EDAC,连接A1D,交AC于D,过F作FGED,交A1D于点G,由AA1ED,EDAC,得ED平面AA1C,故FG平面AA1C然后利用等积法求三棱锥C1A1FC的体积【解答】()证明:连接AE,AF,在ABC中,由题意可知ABC为等腰三角形,且AEBC,由面积相等得,

31、求得AE又由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,A1A平面ABC,则A1AAE,A1ABC,在直角三角形A1AE中,A1A2,AE,则EF又,AFE为直角,即AFA1EAEBC,AA1BC,AA1AEA,BC平面A1AE,则BCAF,而BCA1EE,故AF平面A1BC;()解:过E作EDAC,连接A1D,交AC于D,过F作FGED,交A1D于点G,AA1平面ABC,AA1ED,又EDAC,ACAA1A,ED平面AA1C,故FG平面AA1C,【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题22(12分)已知过定点(1,1)且与直线yx垂直

32、的直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点满足|CA|CB|(1)若以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点,求圆E的轨迹方程;(2)求能覆盖ABC的最小圆的面积;(3)在(1)的条件下,点P(x0,y0)在直线3x+2y40上,圆E上总存在两个不同的点M、N使得(O为坐标原点),求x0的取值范围【分析】(1)通过|CA|CB|,求解m,判断以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点,然后求解圆E的方程(2)判断三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边,求出,得到该圆的半径为,然后求解最小圆面积(3)圆心到直线MN的距离小于1结合,3x0+2y040,求解实数x0的取值范围即可【解答】解:(1)因为|CA|CB|,所以C在线段AB的垂直平分线上,即在直线yx上,故,以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点,此时圆的半径,故圆E的方程为x2+y21(2)由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边,故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆,由于点A(2,0),B(0,2),所以,故该圆的半径为,所以能覆盖该三角形的最小圆面积S2(3)(O为坐标原点),则有OP与MN互相垂直平分,所以圆心到直线MN的距离小于1即又,又3x0+2y040,代入(1)得,所以实数x0的取值范围为【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,轨迹方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题

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