1、2019-2020学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（）Ay1Bx1CyxDyx+12（5分）空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为（2，3，5）、（3，1，4）则A、B两点间距离为（）A2BCD63（5分）若方程x2+y2+2a0表示圆，则实数a的取值范围为（）Aa0Ba0Ca0Da04（5分）直线l1：axy30和直线l2：x+（a+2）y+20平行，则实数a的值为（）A3B1C2D3或15（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1
2、C1D1中，异面直线AC与BD1所成的角为（）ABCD6（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A若m，n，则mnB若面，面，l，则l面C若mnA，m，m，n，n，则D若，a，则a7（5分）若实数x，y满足，则zx+2y的最小值是（）A0BC5D18（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y2sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图），其中阴影部分小圆的周长均为4，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影
3、部分的概率为（）ABCD9（5分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面10（5分）若直线l1：ykxk+1与直线l2关于点（3，3）对称，则直线l2一定过定点（）A（3，1）B（2，1）C（5，5）D（0，1）11（5分）已知长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，沿对角线AC折起，形成四面体DABC，则该四面体外接球的表面积为（）A25BCD10012（5分）坐标原点O（0，0）在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P，
4、若点Q（1，1），那么|PQ|的取值范围为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）直线yx+1与直线ykx1垂直，则实数k的值为 14（5分）如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 15（5分）两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为 16（5分）已知点P是直线上一动点，PA，PB是圆C：（x1）2+y21的两条切线，A，B为切点，则弦AB长的最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面A
5、BCD，PAAB，E是PD的中点（1）求证：PB平面EAC；（2）求证：平面PDC平面PAD18（12分）“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，y表示第x天主动投案的人数，得到统计表格如下：x1234567y3455567（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）判定变量x与y之间是正相关还是负相关（写出正确答案，不用说明理由）（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）参考公式：，19（12分）已知动点M与两个定点O（0
6、，0），A（3，0）的距离之比为；（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M所代表的曲线外一点P（3，3）作该曲线的两条切线，切点分别为B，C，求BPC的正弦值；（3）若点M所代表的曲线内有一点Q（0，1），求过点Q且倾斜角为的直线与此曲线所截得的弦长20（12分）每当我心永恒这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影泰坦尼克号中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”我市某地将按“泰坦尼克号”原型1：1比例重新修建为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市2070岁的人群中抽取了a人，得到各年龄段
7、人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组20，30）100.5第2组30，40）x0.9第3组40，50）54m第4组50，60）n0.36第5组60，70）y0.2（1）求出m（x+y+n）的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄在30，40）段的概率21（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA12，E是BC的中点，F是
8、A1E上一点，且A1F2FE（）证明：AF平面A1BC；（）求三棱锥C1A1FC的体积22（12分）已知过定点（1，1）且与直线yx垂直的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点满足|CA|CB|（1）若以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点，求圆E的轨迹方程；（2）求能覆盖ABC的最小圆的面积；（3）在（1）的条件下，点P（x0，y0）在直线3x+2y40上，圆E上总存在两个不同的点M、N使得（O为坐标原点），求x0的取值范围2019-2020学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
9、合题目要求的1（5分）过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（）Ay1Bx1CyxDyx+1【分析】根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，倾斜角为90，又由要求直线经过点（1，1），则其方程为x1；故选：B【点评】本题考查直线的方程，注意直线的斜率不存在的情况，属于基础题2（5分）空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为（2，3，5）、（3，1，4）则A、B两点间距离为（）A2BCD6【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解【解答】解：空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为（2，3，5）、（3，1，4），A、B两点间距离为：|AB|故
10、选：C【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）若方程x2+y2+2a0表示圆，则实数a的取值范围为（）Aa0Ba0Ca0Da0【分析】利用圆的一般式方程，D2+E24F0即可求出a的范围【解答】解：方程x2+y2+2a0表示圆，所以D2+E24F0即8a0，a0，解得a的取值范围是（，0）故选：A【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力4（5分）直线l1：axy30和直线l2：x+（a+2）y+20平行，则实数a的值为（）A3B1C2D3或1【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【解答】解：直线l1：a
11、xy30和直线l2：x+（a+2）y+20平行，解得a1，实数a的值为1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BD1所成的角为（）ABCD【分析】可连接BD，B1D1，从而可说明ACB1D1，ACBB1，从而得出AC平面BB1D1，进而得出ACBD1，从而可得出异面直线AC与BD1所成的角【解答】解：如图，连接BD，B1D1，则ACBD，又B1D1BD，ACB1D1，又ACBB1，且B1D1平面BB1D1，BB1平面BB1D1，B1D1BB1B1，AC平面BB1D
12、1，且BD1平面BB1D1，ACBD1，异面直线AC与BD1所成的角为故选：C【点评】本题考查了异面直线所成角的定义，线面垂直的判定定理，向量垂直的定义，考查了推理能力，属于基础题6（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A若m，n，则mnB若面，面，l，则l面C若mnA，m，m，n，n，则D若，a，则a【分析】由线面平行，垂直的判定性质定理，逐个判断，即可得出结论【解答】解：对于选项A，若n，则在平面内存在直线l与直线n平行，又m，则直线m垂直于平面内的任何直线，所以ml，所以mn故A正确对于选项B，若面，面，l，设m，n，因为平面a平面l，所以在直线
13、l任意取一点P，过点P在平面内作PAm，因为，m，所以PA，过P在平面作PBn，因为，n，所以PB，所以PA，PB重合即为l，所以l故B正确对于选项C，若mnA，m，m，n，n，可得m，n确定的平面与平面，都平行，则故C正确对于选项D，若，a，则a与相交，平行或a，故D错误故选：D【点评】本题考查直线与平面位置关系，属于中档题7（5分）若实数x，y满足，则zx+2y的最小值是（）A0BC5D1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，由zx+2y，得要使z最小，则直线的截距最
14、小，由图看出，当直线过可行域内的点O（0，0）时直线在y轴上的截距最小，zx+2y的最小值是z0+200故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y2sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图），其中阴影部分小圆的周长均为4，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）ABCD【分析】由题意知用几何概型求概率，从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：
15、【解答】解：因为函数y2sinx的周期为T，所以大圆的半径为8，故大圆的面积为：64；阴影部分小圆阴影部分小圆的周长均为4，则小圆的半径为2，故小圆的面积为：248；由几何概型可知现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：故选：D【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解9（5分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M
16、，则下列结论正确的是（）AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面【分析】本题利用直接法进行判断先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线【解答】解：连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1、C1、C、A四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，A
17、、M、O三点共线故选：A【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力，属于基础题10（5分）若直线l1：ykxk+1与直线l2关于点（3，3）对称，则直线l2一定过定点（）A（3，1）B（2，1）C（5，5）D（0，1）【分析】先找出直线l1恒过定点（1，1），其关于点（3，3）对称点（5，5）在直线l2上，可得直线l2恒过定点【解答】解：由于直线l1：yk（x1）+1恒过定点（1，1），其关于点（3，3）对称的点为（5，5），又由于直线l1：yk（x1）+1与直线l2关于点（3，3）对称，直线l2恒过定点（5，5）故选：C【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直
18、线l2关于点（3，3）对称，故有直线l1上的定点关于点（3，3）对称点一定在直线l2上11（5分）已知长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，沿对角线AC折起，形成四面体DABC，则该四面体外接球的表面积为（）A25BCD100【分析】利用“直角三角形斜边的中线是斜边的一半”可知：RAC，由此即可求解【解答】解：根据题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半；长宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角得到四面体DABC，则其外接球的半径为：R；四面体外接球的表面积：S4R2100故选：D【点评】本题考查了球的表面积，考查了学生的分析能力，计算能力；属于中档题12（5分）坐标原点O（
19、0，0）在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P，若点Q（1，1），那么|PQ|的取值范围为（）ABCD【分析】求出直线的定点M，则P在以OM为直径的圆上，圆的圆心为（1，1），半径为，结合圆的性质，求出|PQ|的范围【解答】解：直线mx+ny2m2n0，可化为m（x2）+n（y2）0，故直线过定点M（2，2），坐标原点O（0，0）在动直线mx+ny2m2n0上的投影为点P，故OPM90，所以P在以OM为直径的圆上，圆的圆心为（1，1），半径为，根据点与圆的关系，|OQ|，故2|PQ|，故选：A【点评】考查定点问题，直线与圆，点与圆的位置关系，中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共
20、20分13（5分）直线yx+1与直线ykx1垂直，则实数k的值为1【分析】利用直线yx+1与直线ykx1垂直的性质，能求出实数k的值【解答】解：直线yx+1与直线ykx1垂直，k11，解得k1，实数k的值为1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是5.6或【分析】根据茎叶图和平均数、方差的定义，计算即可【解答】解：根据茎叶图知，去掉一个最高分96和一个最低分78后，所剩的数据为82，84，84，86，89
21、；计算这5个数据的平均数是（82+84+84+86+89）85，方差是s2（8285）2+（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8985）25.6故答案为：5.6或【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数和方差的问题，是基础题15（5分）两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为【分析】两个男生一个女生并列站成一排，基本事件总数n6，其中两男生相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出其中两男生相邻的概率【解答】解：两个男生一个女生并列站成一排，基本事件总数n6，其中两男生相邻包含的基本事件个数m4，其中两男生相邻的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列
22、组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）已知点P是直线上一动点，PA，PB是圆C：（x1）2+y21的两条切线，A，B为切点，则弦AB长的最小值为【分析】利用弦AB长最小等价于ACB最小，等价于PC最小，求出PC的最小值，代入利用三角函数求出AB长度【解答】解：弦AB长最小等价于ACB最小，等价于PC最小，PC的最小值为圆心C（1，0）到直线的距离d，此时cosACP，所以sinACP，故AB，故答案为：【点评】考查直线与圆的位置关系，中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB，
23、E是PD的中点（1）求证：PB平面EAC；（2）求证：平面PDC平面PAD【分析】（1）证明线与面平行，可运用线与面平行的判定定理，转化为证线与平面内的线平行来证，结合题目中的中点条件，可运用中位线的性质得证；（2）证明面面垂直，可利用面面垂直的判定定理，即：化为线与面的垂直来证，由题条件可发现CD平面PAD，则可证得【解答】证明：（1）连结BD交AC于O，连结EO，则EO是PBD的中位线，EOPB，又PB平面EAC，EO平面EAC，PB平面EAC；（2）PA平面ABCD，CD平面ABC，PACDABCD是矩形，ADCD而PAADA，CD平面PAD，又CD平面PDC，平面PDC平面PAD【点评
24、】本题考查线面平行与面面垂直的判断，考查空间想象能力和思维能力，是中档题18（12分）“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，y表示第x天主动投案的人数，得到统计表格如下：x1234567y3455567（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）判定变量x与y之间是正相关还是负相关（写出正确答案，不用说明理由）（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）参考公式：，【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可
25、求；（2）由（1）中求得的线性回归方程可知变量x与y之间是正相关；（3）在（1）中求得的线性回归方程中取x8求得y值得答案【解答】解：（1）根据表中的数据，可得，则，又由，故所求回归直线方程为；（2）变量x与y之间是正相关；（3）当x8时，根据方程得，故预测第八天有7人【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题19（12分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为；（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M所代表的曲线外一点P（3，3）作该曲线的两条切线，切点分别为B，C，求BPC的正弦值；（3）若点M所代表的曲线内有一点Q（0，1），求过点Q且倾斜角为的直线与此
26、曲线所截得的弦长【分析】（1）设M（x，y），由题意列出方程，化简求解即可（2）求出点P（3，3）到圆心（1，0）的距离，令圆心为G，在RtPBG中，转化求解即可（3）求出过点Q（0，1）倾斜角为的直线方程为xy+10，直线恰好过圆心，然后求解写出即可【解答】（1）解：设M（x，y），由题意有：，化简得：（x+1）2+y24（2）因为点P（3，3）到圆心（1，0）的距离，令圆心为G，所以在RtPBG中，则（3）过点Q（0，1）倾斜角为的直线方程为xy+10，该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径，即弦长d4【点评】本题考查关键分析的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想
27、以及计算能力；是中档题20（12分）每当我心永恒这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影泰坦尼克号中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”我市某地将按“泰坦尼克号”原型1：1比例重新修建为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市2070岁的人群中抽取了a人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组20，30）100.5第2组30，40）x0.9第3组40，50）54
28、m第4组50，60）n0.36第5组60，70）y0.2（1）求出m（x+y+n）的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄在30，40）段的概率【分析】（1）根据频率直方图求出人数和频率，可计算出（2）通过分层抽样可计算出，（3）计算出抽取的6人中随机抽取2人的所有事件，再求出符合题意得事件，再算出概率【解答】解：（1）第1组的人数为：人，第1组的频率为：0.01100.1，x2000.20.936，y2000.20.156，故m（x+y+n）0.9（36+6+18）
29、54（2）抽样比为：人第2组抽取的人数为：人；第3组抽取的人数为：人；第4组抽取的人数为：人（3）记30，40）中2人为A1，A2，40，50）中3人为B1，B2，B3，50，60）中1人为C，则在抽取的6人中随机抽取2人的所有事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C共15个，其中不含A1，A2的有6个，所抽取的人中恰好没有年龄段在30，40）的概率：【点评】本题考查频率直方图，计算人数，计算频率，计算概率21（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA12，E是
30、BC的中点，F是A1E上一点，且A1F2FE（）证明：AF平面A1BC；（）求三棱锥C1A1FC的体积【分析】（）连接AE，AF，在ABC中，由题意可知ABC为等腰三角形，且AEBC，求得AE在直角三角形A1AE中，求解EF由，得AFA1E，由线面垂直的判定可得BC平面A1AE，则BCAF，进一步得到AF平面A1BC；（）过E作EDAC，连接A1D，交AC于D，过F作FGED，交A1D于点G，由AA1ED，EDAC，得ED平面AA1C，故FG平面AA1C然后利用等积法求三棱锥C1A1FC的体积【解答】（）证明：连接AE，AF，在ABC中，由题意可知ABC为等腰三角形，且AEBC，由面积相等得，
31、求得AE又由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，A1A平面ABC，则A1AAE，A1ABC，在直角三角形A1AE中，A1A2，AE，则EF又，AFE为直角，即AFA1EAEBC，AA1BC，AA1AEA，BC平面A1AE，则BCAF，而BCA1EE，故AF平面A1BC；（）解：过E作EDAC，连接A1D，交AC于D，过F作FGED，交A1D于点G，AA1平面ABC，AA1ED，又EDAC，ACAA1A，ED平面AA1C，故FG平面AA1C，【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题22（12分）已知过定点（1，1）且与直线yx垂直
32、的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点满足|CA|CB|（1）若以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点，求圆E的轨迹方程；（2）求能覆盖ABC的最小圆的面积；（3）在（1）的条件下，点P（x0，y0）在直线3x+2y40上，圆E上总存在两个不同的点M、N使得（O为坐标原点），求x0的取值范围【分析】（1）通过|CA|CB|，求解m，判断以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点，然后求解圆E的方程（2）判断三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边，求出，得到该圆的半径为，然后求解最小圆面积（3）圆心到直线MN的距离小于1结合，3x0+2y040，求解实数x0的取值范围即可【解答】解：（1）因为|CA|CB|，所以C在线段AB的垂直平分线上，即在直线yx上，故，以原点为圆心的圆E与ABC有唯一公共点，此时圆的半径，故圆E的方程为x2+y21（2）由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边，故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆，由于点A（2，0），B（0，2），所以，故该圆的半径为，所以能覆盖该三角形的最小圆面积S2（3）（O为坐标原点），则有OP与MN互相垂直平分，所以圆心到直线MN的距离小于1即又，又3x0+2y040，代入（1）得，所以实数x0的取值范围为【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题