1、2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x12（5分）复数（）A1iB1+iC1+iD1i3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D904（5分）设xR，则“”是“x31”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平
2、均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（）A2B4C6D86（5分）函数ycos2（x+）是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数7（5分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+8（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D329（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A等于（）A30B60C120D15010（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（）AB
3、CD11（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D2412（5分）已知双曲1（ab0）的渐近线与圆x22x+y2+0相切，则此双曲线的离心率等于（）ABCD2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为 14（5分）已知x，yR+，且4x+y1，则的最小值是 15（5分）若实数x，y满足条件，则的最大值为 16（5分）已
4、知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）f（x），当x0，1时，f（x）ex1，则f（2017）+f（2018） 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）c（sinCsinB）（1）求A（2）若a4，求ABC面积S的最大值18（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从
5、美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占（）请根据以上调查结果将下面22列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率附：，其中na+b+c+dP（k2k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246
6、.63510.82819（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求三棱锥FBCE的体积20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值21（12分）已知函数f（x）xalnx（aR）（1）当a2时，求曲线yf（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第
7、一题计分22（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（t为参数）（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值23已知f（x）|xa2|+|x+2a+3|（1）证明：f（x）2；（2）若f（）3，求实数a的取值范围2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22
8、x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x1【分析】解不等式得出集合B，根据并集的定义写出AB【解答】解：Ax|x1，Bx|x22x30x|1x3，则ABx|x1故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）复数（）A1iB1+iC1+iD1i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D90【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a4+a6
9、10，S945故选：C【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）设xR，则“”是“x31”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出【解答】解：由可得，解得x1，由x31，解得x1，故“”是“x31”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件的判定，属于基础题5（5分）甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差
10、为（）A2B4C6D8【分析】根据平均数相同求出x的值，再根据方差的定义计算即可【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即（87+89+90+91+93）（88+89+90+91+90+x），解得x2，所以平均数为90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩的方差为s2（8890）2+（8990）2+（9090）2+（9190）2+（9290）22故选：A【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题6（5分）函数ycos2（x+）是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数【分析】利用诱导公式化简函
11、数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论【解答】解：函数ycos2（x+）sin2x，故它是奇函数，且它的最小正周期为，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的周期性，属于基础题7（5分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（+），故选：A【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题8（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【分析】空间几何体是一个
12、组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长是4，圆锥的侧面积是248，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是22+22420空间组合体的表面积是28，故选：C【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端9（5分
13、）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A等于（）A30B60C120D150【分析】先利用正弦定理化简得 c2b，再由 可得 a27b2，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值【解答】解：由及正弦定理可得 c2b，再由 可得 a27b2再由余弦定理可得 cosA，故A30，故选：A【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题10（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是
14、（）ABCD【分析】根据题意，由函数导函数的图象分析导数的符号，由导数与函数单调性的关系，分析可得函数f（x）的单调性，即可得答案【解答】解：由导函数f（x）的图象得：在（，2）上，f（x）的图象在x轴下方，即f（x）0，则f（x）递减，在（2，1）上，f（x）的图象在x轴上方，即f（x）0，则f（x）递增，在（1，+）上，f（x）的图象在x轴下方，即f（x）0，则f（x）递减，故选：B【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意所给的函数图象为函数的导函数图象11（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥
15、PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D24【分析】求解底面长方形的外接圆，PA平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可【解答】解：由题意，PA平面ABC，PAAB2，平面ABC是直角三角形，补形底面为长方形球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆rR2r2+1，即R球O的表面积S4R212故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养12（5分）已知双曲1（ab0）的渐近线与圆x22x+y2+0相切，则此双曲线的离心率等于（）ABC
16、D2【分析】求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可【解答】解：圆x22x+y2+0的圆心（1，0），半径为：，双曲线的渐近线方程为：yx，可得：，解得，即，可得e故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为【分析】由，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率【解答】解：，2x0，在区间3，5上随机取一个实数x，由几何概型概率计算公式得：事件“”发生的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查几
17、何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知x，yR+，且4x+y1，则的最小值是9【分析】直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值【解答】解：由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为9，故答案为：9【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑是解决本题的关键，属于中等题15（5分）若实数x，y满足条件，则的最大值为1【分析】作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率求解最大值即可【解答】解：作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大解方程组得A（
18、1，2）z的最大值为1故答案为：1【点评】本题考查了简单的线性规划，作出平面区域，找到目标函数的几何意义是关键，属于中档题16（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）f（x），当x0，1时，f（x）ex1，则f（2017）+f（2018）e1【分析】根据f（x）是偶函数即可得出f（2017）f（2017），而由f（x+2）f（x）即可知f（x）的周期为2，再根据当x0，1时，f（x）ex1即可求出f（2017）e1，f（2018）0【解答】解：f（x）是R上的偶函数；f（2017）f（2017）；f（x+2）f（x）；f（x）的周期为2；又x0，1时，f（x）ex1；f（201
19、7）f（1+21008）f（1）e1，f（2018）f（0+21009）f（0）110；f（2017）+f（2018）f（2017）+f（2018）e1故答案为：e1【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）c（sinCsinB）（1）求A（2）若a4，求ABC面积S的最大值【分析】（1）由已知根据正弦定理得a2b2c
20、2bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0A，可求A的值（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc16，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据正弦定理得（a+b）（ab）c（cb），即a2b2c2bc，则，即，由于0A，所以（6分）（2）根据余弦定理，由于a22bcbcbc，即bc16，所以ABC面积，当且仅当bc4时等号成立故ABC面积S的最大值为（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最
21、幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占（）请根据以上调查结果将下面22列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率附：，其中na+b+c+dP（
22、k2k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828【分析】（）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（）根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）由已知得，在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100，有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3
23、，b），n6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，A（a1，b），（a2，b），（a3，b），m3；则所求的概率为【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题19（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求三棱锥FBCE的体积【分析】（1）证明DEACACBD，推出AC平面BDE，然后证明平面ACE平面BDE（2）利用VFBCEVBCEF转化求解即可【解答】（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCDDEAC又底面ABCD是
24、正方形，ACBD，又BDDED，AC平面BDE，又AC平面ACE，平面ACE平面BDE （4分）（2）解：VFBCEVBCEF（6分）DE平面ABCD，又底面ABCD是正方形，BC平面CDEF，BE与平面ABCD所成的角为450，底面ABCD是边长为3，DEDB3，DE3CF，CF，（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值【分析】（）根据椭圆一个顶点为A
25、 （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（）直线yk（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k240，从而可求|MN|，A（2，0）到直线yk（x1）的距离，利用AMN的面积为，可求k的值【解答】解：（）椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，b椭圆C的方程为；（）直线yk（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k240设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，|MN|A（2，0）到直线yk（x1）的距离为AMN的面积SAMN的面积为，k1【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的
26、关键是正确求出|MN|21（12分）已知函数f（x）xalnx（aR）（1）当a2时，求曲线yf（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值【分析】（1）把a2代入原函数解析式中，求出函数在x1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），（1）当a2时，f（x）x2lnx，因而f（1）1，f（1）1，所以曲线yf（x）在点A（1，f
27、（1）处的切线方程为y1（x1），即x+y20（2）由，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）0，解得xa又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在xa处取得极小值，且极小值为f（a）aalna，无极大值综上，当a0时，函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）在xa处取得极小值aalna，无极大值【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一
28、题计分22（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（t为参数）（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值【分析】（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x2）2+y22，代入圆
29、C得：（cos2）2+2sin22化简得圆C的极坐标方程：24cos+20（3分）由得x+y1，l的极坐标方程为cos+sin1（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），直线l的参数的标准方程可写成（6分）代入圆C得：化简得：，t10，t20（8分）（10分）【点评】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题23已知f（x）|xa2|+|x+2a+3|（1）证明：f（x）2；（2）若f（）3，求实数a的取值范围【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】（1）证明：f（x）|xa2|+|x+2a+3|xa2x2a3|a2+2a+3|（a+1）2+22；（2）解：若f（）3，则|a2|+|+2a+3|3，故a2+|2a+|3，故或，解得：1a0【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明以及分类讨论思想，是一道中档题
