1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若集合Ax|x10，集合B0，1，2，则AB（）A0B1C0，1D0，1，22（5分）若实数x，y满足约束条件，则zx2y的最小值为（）A2BC3D43（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件4（5分）有线性相关关系的变量x，y有观测数据（xi，yi）（i1，2，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A17B86C101D2555（5分）
2、若数列an是递增的等比数列，a2a520，a1+a69，则a11（）A5BCD6（5分）函数，则f（log212）+f（1）（）A14B15C16D177（5分）函数y2sin（2x+）（0）的图象向右平移个单位以后，到y2cos2x的图象，则（）ABCD8（5分）P是直线x+y+20上任意一点，点Q在圆（x2）2+y22上运动，则|PQ|的最小值是（）A2BCD9（5分）已知函数f（x）x2+2x+3，若在区间4，4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD110（5分）若曲线yx2+ax+b在点（0，b）处的切线方程xy+10，则（）Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1D
3、a1，b111（5分）已知点（4，0）到双曲线C：1（a0，b0）渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）设A，B，C，D是球面上四点，已知，球的表面积为32，则四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）已知向量，若，则 14（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 15（5分）阅读如图的程序框图，若，blog2e，cln2，则输出的结果是
4、16（5分）已知函数，f（t）7，则f（t） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求cosA；（2）若ABC的面积为6，b+c8，求a18（12分）经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润300元；未售出的产品，每1t亏损100元根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了120t该产品用x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润（1）将y表示为x
5、的函数；（2）根据直方图估计利润y不少于32000元的概率19（12分）已知数列an，Sn是该数列的前n项和，（1）求数列an的通项公式；（2）设，已为Tnb1+b2+bn，证明20（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）求点A到面EFGH的距离21（12分）已知抛物线C：y22px过点A（1，1）直线l过点且与抛物线C交于两点M，N，过点M作x轴的垂线，该垂线分别交直线OA，ON于点P，Q，其中O为坐标原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）证
6、明：222（12分）已知函数f（x）（x+1）ex（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）xf（x）+tf'（x）+ex，存在实数x1，x20，1使得2g（x1）g（x2）成立，求实数t的取值范围2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若集合Ax|x10，集合B0，1，2，则AB（）A0B1C0，1D0，1，2【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：ABx|x100，1，20，1故选：C【点评】此题考
7、查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若实数x，y满足约束条件，则zx2y的最小值为（）A2BC3D4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可【解答】解：由zx2y得yx，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线yx，由图象可知当直线yx，过点B时，直线yx的截距最大，此时z最小，由，解得A（0，2）代入目标函数zx2y，得z0224，目标函数zx2y的最小值是：4故选：D【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法3（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0B
8、xR，2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质来分析；对于B，可举个反例说明其为假，如x2时，左边右边；对于C，因为是充要条件，所以要互相推出；对于D，只要能从左边推到右边即可【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知ex0恒成立，故A假；B，举个反例说明其不成立即可，如x2时，左边右边，故B假；C，当a+b0且b0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；D，显然当a1且b1时，必有ab1成立，故D为真命题故选：D【点评】这道题主要考查了充分必要性、特称命题与全称命题的真假判断，要在准确把握判断方法的基础上解决此类问题4（5分）有
9、线性相关关系的变量x，y有观测数据（xi，yi）（i1，2，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A17B86C101D255【分析】根据条件求出，的值，即可得到结论【解答】解：，则5+115+116+1117，则151517255，故选：D【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（，）是解决本题的关键5（5分）若数列an是递增的等比数列，a2a520，a1+a69，则a11（）A5BCD【分析】推导出a1a6a2a520，从而a1，a6是一元二次函数x29x+200的两个根，且a1a6，求出a14，a65，从而，由此能求出a11【解答】解：数列an是递增的等比数列
10、，a2a520，a1+a69，a1a6a2a520，a1，a6是一元二次函数x29x+200的两个根，且a1a6，解得a14，a65，a11a1q104故选：C【点评】本题考查等比数列的第11项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）函数，则f（log212）+f（1）（）A14B15C16D17【分析】利用分段函数，转化求解函数值即可【解答】解：函数，则f（log212）+f（1）+log24+112+2+115故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，考查计算能力7（5分）函数y2sin（2x+）（0）的图象向右平移个单位以后，到y2cos2x的图象，则（）
11、ABCD【分析】由题意利用诱导公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得2sin（2x+）2sin（2x+），由此求得的值【解答】解：把函数y2sin（2x+）（0）的图象向右平移个单位以后，可得y2sin（2x+）的图象，又因为得到y2cos2x2sin（2x+） 的图象，2sin（2x+）2sin（2x+），+2k+，kZ，故可取，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAsin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题8（5分）P是直线x+y+20上任意一点，点Q在圆（x2）2+y22上运动，则|PQ|的最小值是（）A2BCD【分析】问题转
12、化为圆心到直线的距离减去圆的半径【解答】解：依题意问题转化为圆心到直线的距离减去圆的半径，|PQ|min故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题9（5分）已知函数f（x）x2+2x+3，若在区间4，4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD1【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答【解答】解：已知区间4，4长度为8，满足f（x0）0，f（x）x02+2x0+30，解得1x03，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）0成立的概率是故选：B【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表
13、示，然后利用公式解答10（5分）若曲线yx2+ax+b在点（0，b）处的切线方程xy+10，则（）Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a1，b1【解答】解：yx2+ax+b的导数为y2x+a，可得在点（0，b）处的切线斜率为a，由点（0，b）处的切线方程为xy+10，可得a1，b1，故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，属于基础题11（5分）已知点（4，0）到双曲线C：1（a0，b0）渐近线的距离为，则该双曲线
14、的离心率为（）ABC2D【分析】根据点到直线的距离公式可得，化简整理可得a，c关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）渐近线方程为yx，即bxay0，点（4，0）到双曲线C：1（a0，b0）渐近线的距离为，a2+b28b2，a27b27（c2a2）8a27c2，e，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，以及离心率和渐近线方程，属于基础题12（5分）设A，B，C，D是球面上四点，已知，球的表面积为32，则四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的内接四面体高的最大值，则答案可求【解答】解：根据题
15、意知，ABC是一个直角三角形，其面积为6，其所在球的小圆的圆心在斜边BC的中点上，设小圆的圆心为G，球的表面积为32，球的半径为r，则4R232，R，若四面体ABCD的体积的最大值，底面积SABC不变，则高最大，就是D到底面ABC距离最大值时，hR+四面体ABCD的体积的最大值为故选：A【点评】本题考查球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）已知向量，若，则2【分析】可求出，然后根据即可得出2（4+）40，解出即可【解答】解：；2（4+）40；2故答案为：2【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算
16、，以及平行向量的坐标关系14（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样故答案为：分层抽样【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，
17、考查函数与方程思想，是基础题15（5分）阅读如图的程序框图，若，blog2e，cln2，则输出的结果是a【分析】模拟程序的运行过程知该程序框图的功能是输出三个数中最大的数，比较a、b、c的大小即可【解答】解：模拟程序的运行过程，可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数，alog23log2e1ln2c，blog2e，abc故答案为：a【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题16（5分）已知函数，f（t）7，则f（t）1【分析】根据f（t）7即可得出，从而得出【解答】解：；故答案为：1【点评】考查奇函数的定义，分母有理化的方法，对数的运算性质三、解答题：解答应写出文字说明
18、、证明过程或演算步骤.17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求cosA；（2）若ABC的面积为6，b+c8，求a【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和同角的三角函数建立方程组，进一步求出结果（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知所以：sinA，整理得：2sinA33cosA，由于：sin2A+cos2A1由得：，当A0时，与三角形的内角和定理矛盾，故：cosA所以：sinA（2）由于：ABC的面积为6，所以：，解得：bc13，b+c8，所以：a2b2+c
19、22bccosA（b+c）22bc2bccosA28，故：a2【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（12分）经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润300元；未售出的产品，每1t亏损100元根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了120t该产品用x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润（1）将y表示为x的函数；（2）根据直方图估计利润y不少于32000元的概
20、率【分析】（）由题意先分段写出，当x100，120）时，当x120，150）时的利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可（）由（I）知，利润T不少于36000元，当且仅当110x150再由直方图知需求量X120，150的频率为0.1，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于36000元的概率的估计值【解答】解：（）由题意得，当x100，120）时，T300x100（120x）400x12000，当x120，150）时，T30012036000，T（）由（）知，利润T不少于32000元，当且仅当110x150由直方图知需求量X110，150的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润
21、T不少于57000元的概率的估计值为10.01100.9【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题19（12分）已知数列an，Sn是该数列的前n项和，（1）求数列an的通项公式；（2）设，已为Tnb1+b2+bn，证明【分析】（1）运用数列的递推式：，当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1，化简整理可得所求通项公式；（2）求得（），由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）Snn2+2n，当n1时，a1S13，当n2时，anSnSn1n2+2n（n1）22（n1）2n+1，
22、上式对n1也成立，则an2n+1，nN*；（2）证明：（），Tnb1+b2+bn（+）（），由0，可得【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题20（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）求点A到面EFGH的距离【分析】（1）证明四边形EFGH是平行四边形，EFHG，即可证明四边形EFGH是矩形（2）利用已知条件，转化求解距离即可；【解答】（1）证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面B
23、DCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形（2）由题意可知AD平面EFGH，所以点A到面EFGH的距离就是点D到面EFGH的距离，也就是D到BC距离的一半BDC是等腰三角形，DB2，所以D到BC距离为，可得：点A到面EFGH的距离：【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）已知抛物线C：y22px过点A（1，1）直线l过点且与抛物线C交于两点M，N，过点M作x轴的垂线，该垂线分别交直线OA，ON
24、于点P，Q，其中O为坐标原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）证明：2【分析】（1）根据抛物线过点A代值求出p，可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为ykx+，点M（x1，y1），N（x2，y2），与抛物线方程联立，利用根与系数的关系式表示出x1+x2与x1x2，根据定义证明P为MQ的中点，即可得出结论成立【解答】解：（1）抛物线C：y22px过点A（1，1），则12pp；抛物线方程为：y2x；焦点坐标为F（，0），准线方程为x；（2）证明：根据题意画出图形，如图所示；设过点（0，）的直线方程为ykx+，点M（x1，y1），N（x2，y
25、2），直线OA的方程为yx，直线ON为：yx，由题意知P（x1，x1），Q（x1，），由，消去y整理得k2x2+（k1）x+0，x1+x2，x1x2y1+（kx1+）+2kx1+2kx1+2kx1+（1k）2x12x1，P 为线段QM的中点，即2【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，是中档题22（12分）已知函数f（x）（x+1）ex（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）xf（x）+tf'（x）+ex，存在实数x1，x20，1使得2g（x1）g（x2）成立，求实数t的取值范围【分析】（1）先求出函数
26、的导数，得当x0时，f'（x）0，当x0时，f'（x）0从而有f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（2）假设存在x1，x20，1，使得2g（x1）g（x2）成立，则2g（x）ming（x）max，根据函数的单调性，分别讨论当t1时，当t0时，当0t1时的情况，从而求出t的范围【解答】解：（1）函数的定义域为R，f（x），当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0f（x）增区间为（，0），减区间为（0，+）（2）假设存在x1，x20，1，使得2g（x1）g（x2）成立，则2g（x）ming（x）maxg（x）xf（x）+tf（x）+ex，g（x），当t1时，g（x）0，g（x）在0，1上单调递减，2g（1）g（0），即t31；当t0时，g（x）0，g（x）在0，1上单调递增，2g（0）g（1），即t32e0；当0t1时，在x0，t，g（x）0，g（x）在0，t上单调递减在x（t，1，g（x）0，g（x）在t，1上单调递增所以2g（t）maxg（0），g（1），即2max1，（*）由（1）知，g（t）2 在0，1上单调递减，故22，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在t（，32e）（3，+），使得命题成立
