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2018-2019学年云南省玉溪一中高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)若集合Ax|x10,集合B0,1,2,则AB()A0B1C0,1D0,1,22(5分)若实数x,y满足约束条件,则zx2y的最小值为()A2BC3D43(5分)下列命题中,真命题是()Ax0R,e0BxR,2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件4(5分)有线性相关关系的变量x,y有观测数据(xi,yi)(i1,2,15),已知它们之间的线性回归方程是,若,则()A17B86C101D2555(5分)

2、若数列an是递增的等比数列,a2a520,a1+a69,则a11()A5BCD6(5分)函数,则f(log212)+f(1)()A14B15C16D177(5分)函数y2sin(2x+)(0)的图象向右平移个单位以后,到y2cos2x的图象,则()ABCD8(5分)P是直线x+y+20上任意一点,点Q在圆(x2)2+y22上运动,则|PQ|的最小值是()A2BCD9(5分)已知函数f(x)x2+2x+3,若在区间4,4上任取一个实数x0,则使f(x0)0成立的概率为()ABCD110(5分)若曲线yx2+ax+b在点(0,b)处的切线方程xy+10,则()Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1D

3、a1,b111(5分)已知点(4,0)到双曲线C:1(a0,b0)渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为()ABC2D12(5分)设A,B,C,D是球面上四点,已知,球的表面积为32,则四面体ABCD的体积的最大值为()ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13(5分)已知向量,若,则   14(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是   15(5分)阅读如图的程序框图,若,blog2e,cln2,则输出的结果是  

4、16(5分)已知函数,f(t)7,则f(t)   三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求cosA;(2)若ABC的面积为6,b+c8,求a18(12分)经销商销售某种产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润300元;未售出的产品,每1t亏损100元根据以往的销售记录,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了120t该产品用x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,y(单位:元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润(1)将y表示为x

5、的函数;(2)根据直方图估计利润y不少于32000元的概率19(12分)已知数列an,Sn是该数列的前n项和,(1)求数列an的通项公式;(2)设,已为Tnb1+b2+bn,证明20(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)求点A到面EFGH的距离21(12分)已知抛物线C:y22px过点A(1,1)直线l过点且与抛物线C交于两点M,N,过点M作x轴的垂线,该垂线分别交直线OA,ON于点P,Q,其中O为坐标原点(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)证

6、明:222(12分)已知函数f(x)(x+1)ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)xf(x)+tf'(x)+ex,存在实数x1,x20,1使得2g(x1)g(x2)成立,求实数t的取值范围2018-2019学年云南省玉溪一中高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)若集合Ax|x10,集合B0,1,2,则AB()A0B1C0,1D0,1,2【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解:ABx|x100,1,20,1故选:C【点评】此题考

7、查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2(5分)若实数x,y满足约束条件,则zx2y的最小值为()A2BC3D4【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求即可【解答】解:由zx2y得yx,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)平移直线yx,由图象可知当直线yx,过点B时,直线yx的截距最大,此时z最小,由,解得A(0,2)代入目标函数zx2y,得z0224,目标函数zx2y的最小值是:4故选:D【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法3(5分)下列命题中,真命题是()Ax0R,e0B

8、xR,2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件【分析】对于A,根据指数函数的图象与性质来分析;对于B,可举个反例说明其为假,如x2时,左边右边;对于C,因为是充要条件,所以要互相推出;对于D,只要能从左边推到右边即可【解答】解:A,根据指数函数的图象与性质可知ex0恒成立,故A假;B,举个反例说明其不成立即可,如x2时,左边右边,故B假;C,当a+b0且b0时,才能推出,所以不是充分条件,故C假;D,显然当a1且b1时,必有ab1成立,故D为真命题故选:D【点评】这道题主要考查了充分必要性、特称命题与全称命题的真假判断,要在准确把握判断方法的基础上解决此类问题4(5分)有

9、线性相关关系的变量x,y有观测数据(xi,yi)(i1,2,15),已知它们之间的线性回归方程是,若,则()A17B86C101D255【分析】根据条件求出,的值,即可得到结论【解答】解:,则5+115+116+1117,则151517255,故选:D【点评】本题主要考查线性回归方程的应用,根据直线过样本中心(,)是解决本题的关键5(5分)若数列an是递增的等比数列,a2a520,a1+a69,则a11()A5BCD【分析】推导出a1a6a2a520,从而a1,a6是一元二次函数x29x+200的两个根,且a1a6,求出a14,a65,从而,由此能求出a11【解答】解:数列an是递增的等比数列

10、,a2a520,a1+a69,a1a6a2a520,a1,a6是一元二次函数x29x+200的两个根,且a1a6,解得a14,a65,a11a1q104故选:C【点评】本题考查等比数列的第11项的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(5分)函数,则f(log212)+f(1)()A14B15C16D17【分析】利用分段函数,转化求解函数值即可【解答】解:函数,则f(log212)+f(1)+log24+112+2+115故选:B【点评】本题考查分段函数的应用,考查计算能力7(5分)函数y2sin(2x+)(0)的图象向右平移个单位以后,到y2cos2x的图象,则()

11、ABCD【分析】由题意利用诱导公式,函数yAsin(x+)的图象变换规律,可得2sin(2x+)2sin(2x+),由此求得的值【解答】解:把函数y2sin(2x+)(0)的图象向右平移个单位以后,可得y2sin(2x+)的图象,又因为得到y2cos2x2sin(2x+) 的图象,2sin(2x+)2sin(2x+),+2k+,kZ,故可取,故选:B【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数yAsin(x+)的图象变换规律,统一这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题8(5分)P是直线x+y+20上任意一点,点Q在圆(x2)2+y22上运动,则|PQ|的最小值是()A2BCD【分析】问题转

12、化为圆心到直线的距离减去圆的半径【解答】解:依题意问题转化为圆心到直线的距离减去圆的半径,|PQ|min故选:D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题9(5分)已知函数f(x)x2+2x+3,若在区间4,4上任取一个实数x0,则使f(x0)0成立的概率为()ABCD1【分析】由题意,本题符合几何概型的特点,只要求出区间长度,由公式解答【解答】解:已知区间4,4长度为8,满足f(x0)0,f(x)x02+2x0+30,解得1x03,对应区间长度为4,由几何概型公式可得,使f(x0)0成立的概率是故选:B【点评】本题考查了几何概型的运用;根据是明确几何测度,是利用区域的长度、面积函数体积表

13、示,然后利用公式解答10(5分)若曲线yx2+ax+b在点(0,b)处的切线方程xy+10,则()Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1Da1,b1【分析】求出函数的导数,运用导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,可得切线的斜率,由切线方程可得a1,b1【解答】解:yx2+ax+b的导数为y2x+a,可得在点(0,b)处的切线斜率为a,由点(0,b)处的切线方程为xy+10,可得a1,b1,故选:A【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义,以及直线方程的运用,属于基础题11(5分)已知点(4,0)到双曲线C:1(a0,b0)渐近线的距离为,则该双曲线

14、的离心率为()ABC2D【分析】根据点到直线的距离公式可得,化简整理可得a,c关系,即可求出双曲线的离心率【解答】解:双曲线C:1(a0,b0)渐近线方程为yx,即bxay0,点(4,0)到双曲线C:1(a0,b0)渐近线的距离为,a2+b28b2,a27b27(c2a2)8a27c2,e,故选:B【点评】本题考查了双曲线的简单性质,以及离心率和渐近线方程,属于基础题12(5分)设A,B,C,D是球面上四点,已知,球的表面积为32,则四面体ABCD的体积的最大值为()ABCD【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的内接四面体高的最大值,则答案可求【解答】解:根据题

15、意知,ABC是一个直角三角形,其面积为6,其所在球的小圆的圆心在斜边BC的中点上,设小圆的圆心为G,球的表面积为32,球的半径为r,则4R232,R,若四面体ABCD的体积的最大值,底面积SABC不变,则高最大,就是D到底面ABC距离最大值时,hR+四面体ABCD的体积的最大值为故选:A【点评】本题考查球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值,是解答的关键,是中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13(5分)已知向量,若,则2【分析】可求出,然后根据即可得出2(4+)40,解出即可【解答】解:;2(4+)40;2故答案为:2【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算

16、,以及平行向量的坐标关系14(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是分层抽样【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解【解答】解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是分层抽样故答案为:分层抽样【点评】本题考查抽样方法的判断,考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,

17、考查函数与方程思想,是基础题15(5分)阅读如图的程序框图,若,blog2e,cln2,则输出的结果是a【分析】模拟程序的运行过程知该程序框图的功能是输出三个数中最大的数,比较a、b、c的大小即可【解答】解:模拟程序的运行过程,可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数,alog23log2e1ln2c,blog2e,abc故答案为:a【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题,是基础题16(5分)已知函数,f(t)7,则f(t)1【分析】根据f(t)7即可得出,从而得出【解答】解:;故答案为:1【点评】考查奇函数的定义,分母有理化的方法,对数的运算性质三、解答题:解答应写出文字说明

18、、证明过程或演算步骤.17(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求cosA;(2)若ABC的面积为6,b+c8,求a【分析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和同角的三角函数建立方程组,进一步求出结果(2)利用(1)的结论,进一步利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解:(1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知所以:sinA,整理得:2sinA33cosA,由于:sin2A+cos2A1由得:,当A0时,与三角形的内角和定理矛盾,故:cosA所以:sinA(2)由于:ABC的面积为6,所以:,解得:bc13,b+c8,所以:a2b2+c

19、22bccosA(b+c)22bc2bccosA28,故:a2【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18(12分)经销商销售某种产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润300元;未售出的产品,每1t亏损100元根据以往的销售记录,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了120t该产品用x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,y(单位:元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润(1)将y表示为x的函数;(2)根据直方图估计利润y不少于32000元的概

20、率【分析】()由题意先分段写出,当x100,120)时,当x120,150)时的利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可()由(I)知,利润T不少于36000元,当且仅当110x150再由直方图知需求量X120,150的频率为0.1,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于36000元的概率的估计值【解答】解:()由题意得,当x100,120)时,T300x100(120x)400x12000,当x120,150)时,T30012036000,T()由()知,利润T不少于32000元,当且仅当110x150由直方图知需求量X110,150的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润

21、T不少于57000元的概率的估计值为10.01100.9【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义,是中档题19(12分)已知数列an,Sn是该数列的前n项和,(1)求数列an的通项公式;(2)设,已为Tnb1+b2+bn,证明【分析】(1)运用数列的递推式:,当n1时,a1S1,当n2时,anSnSn1,化简整理可得所求通项公式;(2)求得(),由裂项相消求和,结合不等式的性质,即可得证【解答】解:(1)Snn2+2n,当n1时,a1S13,当n2时,anSnSn1n2+2n(n1)22(n1)2n+1,

22、上式对n1也成立,则an2n+1,nN*;(2)证明:(),Tnb1+b2+bn(+)(),由0,可得【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简运算能力,属于基础题20(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)求点A到面EFGH的距离【分析】(1)证明四边形EFGH是平行四边形,EFHG,即可证明四边形EFGH是矩形(2)利用已知条件,转化求解距离即可;【解答】(1)证明:BC平面EFGH,平面EFGH平面B

23、DCFG,平面EFGH平面ABCEH,BCFG,BCEH,FGEH同理EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形(2)由题意可知AD平面EFGH,所以点A到面EFGH的距离就是点D到面EFGH的距离,也就是D到BC距离的一半BDC是等腰三角形,DB2,所以D到BC距离为,可得:点A到面EFGH的距离:【点评】本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题21(12分)已知抛物线C:y22px过点A(1,1)直线l过点且与抛物线C交于两点M,N,过点M作x轴的垂线,该垂线分别交直线OA,ON

24、于点P,Q,其中O为坐标原点(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)证明:2【分析】(1)根据抛物线过点A代值求出p,可求出抛物线C的方程,焦点坐标和准线方程;(2)设过点(0,)的直线方程为ykx+,点M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立,利用根与系数的关系式表示出x1+x2与x1x2,根据定义证明P为MQ的中点,即可得出结论成立【解答】解:(1)抛物线C:y22px过点A(1,1),则12pp;抛物线方程为:y2x;焦点坐标为F(,0),准线方程为x;(2)证明:根据题意画出图形,如图所示;设过点(0,)的直线方程为ykx+,点M(x1,y1),N(x2,y

25、2),直线OA的方程为yx,直线ON为:yx,由题意知P(x1,x1),Q(x1,),由,消去y整理得k2x2+(k1)x+0,x1+x2,x1x2y1+(kx1+)+2kx1+2kx1+2kx1+(1k)2x12x1,P 为线段QM的中点,即2【点评】本题考查了抛物线的简单性质,以及直线和抛物线的关系,灵活利用韦达定理和中点的定义,是中档题22(12分)已知函数f(x)(x+1)ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)xf(x)+tf'(x)+ex,存在实数x1,x20,1使得2g(x1)g(x2)成立,求实数t的取值范围【分析】(1)先求出函数

26、的导数,得当x0时,f'(x)0,当x0时,f'(x)0从而有f(x)在(,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减(2)假设存在x1,x20,1,使得2g(x1)g(x2)成立,则2g(x)ming(x)max,根据函数的单调性,分别讨论当t1时,当t0时,当0t1时的情况,从而求出t的范围【解答】解:(1)函数的定义域为R,f(x),当x0时,f(x)0,当x0时,f(x)0f(x)增区间为(,0),减区间为(0,+)(2)假设存在x1,x20,1,使得2g(x1)g(x2)成立,则2g(x)ming(x)maxg(x)xf(x)+tf(x)+ex,g(x),当t1时,g(x)0,g(x)在0,1上单调递减,2g(1)g(0),即t31;当t0时,g(x)0,g(x)在0,1上单调递增,2g(0)g(1),即t32e0;当0t1时,在x0,t,g(x)0,g(x)在0,t上单调递减在x(t,1,g(x)0,g(x)在t,1上单调递增所以2g(t)maxg(0),g(1),即2max1,(*)由(1)知,g(t)2 在0,1上单调递减,故22,而,所以不等式(*)无解综上所述,存在t(,32e)(3,+),使得命题成立