1、中考冲刺：创新、开放与探究型问题巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有1个空心小圆圈，第个图形中一共有6个空心小圆圈，第个图形中一共有13个空心小圆圈，按此规律排列，则第个图形中空心圆圈的个数为（）A61 B63 C76 D782如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕
2、与AD交于点P3；设Pn1Dn2的中点为Dn1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6的长为（） A BC D3下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )A495 B497 C501 D503二、填空题4.（2015合肥校级三模）如图，一个32的矩形（即长为
3、3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个（1）一个52的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 个，最少是 个；（2）一个72的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个，最少是 个；（3）一个（2n+1）2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个；最少是 个（n是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大
4、(1)使图花圃面积为最大时Rr的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R、r分别为大圆和小圆的半径； (2)若L160 m，r10 m，使图面积为最大时的值为 6如图所示，已知ABC的面积，在图(a)中，若，则；在图(b)中，若，则；在图(c)，若，则按此规律，若，则_三、解答题7（2016丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），BAC=90，AB=AC，DAE=90，AD=AE，连接CE（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BDCE，CE=BCCD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当
5、点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断ACF的形状，并说明理由8.如图(a)、(b)、(c)，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O(1)如图(a)，求证：ADCABE； 探究：图(a)中，BOC_；图(b)中，BOC_；图(c)中，BOC_；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O猜想：图(d)中，BOC_；(用含n的式子表示)根据图(d
6、)证明你的猜想9. 如图(a)，梯形ABCD中，ADBC，ABC90， AD9，BC12，ABa，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E (1)试确定CP3时，点E的位置； (2)若设CPx(x0)，BEy(y0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围 10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BCkAB连接AC，在直线AC上任取一点E，作BEFABC，EF交直线m于点F(1)如图(a)，当k1时，探究线段E
7、F与EB的关系，并加以说明；说明：如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)； 在完成之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明(2)如图(c)，若ABC90，kl，探究线段EF与EB的关系，并说明理由【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】第个图形中空心小圆圈个数为：413+10=1个；第个图形中空心小圆圈个数为：424+21=6个；第个图形中空心小圆圈个数为：435+32=13个；第个图形中空心圆圈的个数为：479+76=61个；2.【答案】A；【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=ADDD1=，AD2=，AD3
8、=，ADn=，故AP1=，AP2=，AP3=APn=，故可得AP6=.故选A. 3.【答案】A；【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)24495，答案选A二、填空题4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2【解析】 （1）一个52的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；（2）一个72的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）第一个图形：
9、是一个32的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成14+2个正方形；第二个图形：是一个52的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成24+2个正方形；第三个图形：是一个72的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成34+2个正方形；第n个图形：是一个（2n+1）2的矩形，最多可分成n4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+25.【答案】（1）Rr的值为，以及此时花圃面积为； （2）值为【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大设扇环的圆心角为，面积为S，根据题意得：，S在时取最大值为花圃面积最大时Rr的值为，
10、最大面积为(2)当时，S取大值，(m)，(m)，6.【答案】【解析】三、解答题7【答案与解析】（1）证明：如图1中，BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，ABD=ACE=45，BD=CE，ACB+ACE=90ECB=90，BDCE，CE=BCCD（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BD=CE，CE=BC+CD（3）如图3中，结论：ACF是等腰三角形理由如下：BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，ABD=ACE，ABC=ACB=45，ACE=A
11、BD=135，DCE=90，又点F是DE中点，AF=CF=DE，ACF是等腰三角形8【答案与解析】 (1)证法一：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60BAD+BACCAE+BAC，即DACBAEADCABE证法二：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60得到ABEADC120，90，72(2)证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，AEAC，BADCAEBADDAECAEDAE，即BAEDACABEADCABEADCADC+ODA180，ABO+ODA180ABO+OD
12、A+DAB+BOC360BOC+DAB180BOC180DAB证法二：延长BA交CO于F，证BOCDAF180-BAD证法三：连接CE证BOC180CAE9【答案与解析】 解：(1)作DFBC，F为垂足 当CP3时，四边形ADFB是矩形，则CF3 点P与点F重合又BFFD，此时点E与点B重合 (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a)EPB+DPF90，EPB+PEB90，DPFPEB RtPEBARtDPF 又 BEy，BP12-x，FPx-3，FDa，代入式，得，整理，得 (ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b)同理可求得由FP3-x得 (3)解法一：当
13、点E与A重合时，yEBa，此时点P在线段BF上由式得整理得 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 方程有两个不相等的正实根 (-15)24(36+a2)0 解得又a0， 解法二：当点E与A重合时，APD90，点P在以AD为直径的圆上设圆心为M，则M为AD的中点 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 线段BC与M相交即圆心M到BC的距离d满足 又ADBC，da由式得10【答案与解析】解：(1)EFEB证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EMEMEA，EMAEAMBCkAB，k1，BCABCABACBmn，MACACB，FABABCMACCA
14、BCABEMABEFABC，BEFFABAHFEHB，AFEABE AEBMEF EFEB探索思路：如上图(a)，BCkAB，k1，BCABCABACBmn，MACACB添加条件：ABC90证明：如图(e)，在直线m上截取AMAB，连接ME BCkAB，k1， BCAB ABC90， CABACB45 mn， MAEACBCAB45，FAB90 AEAE，MAEBAE EMEB，AMEABE BEFABC90， FAB+BEF180又 ABE+EFA180， EMFEFA EMEF EFEB (2)EFEB说明：如图(f)，过点E作EMm，ENAB，垂足为M，N EMFENAENB90 mn，ABC90， MAB90 四边形MENA为矩形 MENA，MEN90BEFABC90MEFNEBMEFNEB，在RtANE和RtABC中，
