1、第 1 页 共 11 页 中考中考冲刺冲刺：创新、开放与探究型问题创新、开放与探究型问题巩固练习巩固练习（提高提高） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有 1 个平行四 边形，第个图形中一共有 5 个平行四边形，第个图形中一共有 11 个平行四边形，则第个图形 中平行四边形的个数为（ ） A、55 B、42 C、41 D、29 2如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1
2、，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1重合，折痕与 AD 交 于点 P2；设 P2D1的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2重合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn1Dn2的中点为 Dn1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn1重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2） ，则 AP6 的长为（ ） A 5 12 5 3 2 B 6 9 3 5 2 C 6 14 5 3 2 D 7 11 3 5 2 3下面两个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为 一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在
3、第 2 位对第 2 位数字再进行如上操 作得到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是( ) A495 B497 C501 D503 二、填空题二、填空题 4. 如图所示，一个 42 的矩形可以用 3 种不同的方式分割成 2 或 5 或 8 个小正方形，那么一个 53 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是_ _ 第 2 页 共 11 页 5. 一园林设计师要使用长度为 4L 的材料建造如图 1 所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样 的扇环面组成，每个扇环
4、面如图 2 所示，它是以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过 O 点的两条直 线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大 (1)使图花圃面积为最大时 Rr 的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中 R、r 分别为大圆和小圆的半径； (2)若 L160 m，r10 m，使图面积为最大时的 值为 6如图所示，已知ABC 的面积1 ABC S ， 在图(a)中，若 111 1 2 AABBCC ABBCCA ，则 1 1 1 1 4 A B C S ； 在图(b)中，若 222 1 3 AABBCC ABBCCA ，则 222 A B C 1 3 S ； 在图(c)，若 333 1 4 AA
5、BBCC ABBCCA ，则 333 7 16 A B C S 按此规律，若 888 1 9 AABBCC ABBCCA ，则 888 A B C S _ 三、解答题三、解答题 7如图所示，ABM 为直角，C 为线段 BA 的中点，D 是射线 BM 上的一个动点(不与点 B 重合)，连接 AD， 作 BEAD，垂足为 E，连接 CE，过点 E 作 EFCE，交 BD 于 F (1)求证：BFFD； (2)A 在什么范围内变化时，四边形 ACFE 是梯形?并说明理由； 第 3 页 共 11 页 (3)A 在什么范围内变化时，线段 DE 上存在点 G，满足条件 1 4 DGDA？并说明理由 8.如
6、图(a)、(b)、(c)，在ABC 中，分别以 AB，AC 为边，向ABC 外作正三角形、正四边形、正五边 形，BE，CD 相交于点 O (1)如图(a)，求证：ADCABE； 探究： 图(a)中，BOC_； 图(b)中，BOC_； 图(c)中，BOC_； (2)如图(d)，已知：AB，AD 是以 AB 为边向ABC 外所作正 n 边形的一组邻边；AC，AE 是以 AC 为边 向ABC 外所作正 n 边形的一组邻边BE，CD 的延长相交于点 O 猜想：图(d)中，BOC_；(用含 n 的式子表示) 根据图(d)证明你的猜想 9. 如图(a)，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90， AD9，
7、BC12，ABa，在线段 BC 上任取一点 P(P 不与 B，C 重合)，连接 DP，作射线PEDP，PE 与直线 AB 交于点 E (1)试确定 CP3 时，点 E 的位置； (2)若设 CPx(x0)，BEy(y0)，试写出 y 关于自变量 x 的函数关系式； (3)若在线段 BC 上能找到不同的两点 P1，P2，使按上述作法得到的点 E 都与点 A 重合，试求出此时 a 的取值范围 第 4 页 共 11 页 10. 点 A，B 分别是两条平行线 m，n 上任意两点，在直线 n 上找一点 C，使 BCkAB连接 AC，在直 线 AC 上任取一点 E，作BEFABC，EF 交直线 m 于点
8、F (1)如图(a)，当 k1 时，探究线段 EF 与 EB 的关系，并加以说明； 说明： 如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)； 在完成之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为ABC 为特殊角)，在图(b)中补全图形，完 成证明 (2)如图(c)，若ABC90，kl，探究线段 EF 与 EB 的关系，并说明理由 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】C； 【解析】找出规律：图平行四边形有 5 个=1+2+2，图平行四边形有 11 个=1+2+3+2+3， 图平行四边形有 19=1+2+3+4+2+3+4，图的平行四边形的个数为 1+2+3+4
9、+5+6+2+3+4+5+6=41. 故选 C. 2.【答案】A； 【解析】由题意得，AD= 1 2 BC= 5 2 ，AD1=ADDD1=15 8 ，AD2= 2 5 5 3 2 ，AD3= 3 7 5 3 2 ，ADn= 21 5 3 2 n n ， 故 AP1= 5 4 ，AP2= 15 16 ，AP3= 2 6 5 3 2 APn= 1 2 5 3 2 n n ， 故可得 AP6= 5 12 5 3 2 . 第 5 页 共 11 页 故选 A. 3.【答案】A； 【解析】根据题意，当第 1 位数字是 3 时，按操作要求得到的数字是 3624862486248，从第 2 位数 字起每隔四
10、位数重复一次 6248，因为(100-1)被 4 整除得 24 余 3，所以这个多位数前 100 位的所有数字 之间和是 3+(6+2+4)+(6+2+4+8)24495，答案选 A 二、填空题二、填空题 4.【答案】4 或 7 或 9 或 12 或 15； 【解析】 一个 53 的矩形可以有下面几种分割方式，如图所示 5.【答案】 （1）Rr 的值为 4 L ，以及此时花圃面积为 2 4 L ； （2） 值为 240 【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大 设扇环的圆心角为 ，面积为 S，根据题意得： 2() 180180 Rr LRr () 2() 180 Rr Rr ， 180
11、2() () LRr Rr 22 22 () 360360360 Rr SRr 22 1802() () 360() LRr Rr Rr 1 2()() 2 LRrRr 2 1 ()() 2 RrL Rr 2 2 () 416 LL Rr 第 6 页 共 11 页 0 2 L Rr， S 在 4 L Rr时取最大值为 2 16 L 花圃面积最大时 Rr 的值为 4 L ，最大面积为 22 4 164 LL (2)当 4 L Rr时，S 取大值， 160 40 44 L Rr(m)， 4040 1050Rr (m)， 1802()180(1602 40)240 ()60 LRr Rr 6.【答案
12、】 19 27 【解析】 1 1 1 111 1-3= 224 A B C S 222 A B C 211 1-3= 333 S 333 317 1-3= 4416 A B C S 888 815719 1-3= 998127 A B C S 2 13 1-3=1 11(1) AnBnCn nn S nnn 三、解答题三、解答题 7 【答案与解析】 解：(1)RtAEB 中，ACBC，CE 1 2 AB CBCECEBCBE CEFCBF90， 第 7 页 共 11 页 BEFEBF EFBF BEF+FED90， EBD+EDB90 FEDEDF EFFD BFFD (2)由(1)得 BFF
13、D，而 BCCA， CFAD，即 AECF 若 ACEF，则 ACEF，BCBF BABD，A45 当 0A45或 45A90时，四边形 ACFE 为梯形 (3)作 GHBD，垂足为 H，则 GHAB DG 1 4 DA，DH 1 4 DB 又 F 为 BD 的中点，H 为 DF 的中点 GH 为 DF 的中垂线 GDFGFD 点 G 在 ED 上，EFDGFD EFD+FDE+DEF180， GFD+FDE+DEF180 3EDF180 EDF60 又A+EDF90， 30A90 30A90时，DE 上存在点 G，满足条件 DG 1 4 DA， 8 【答案与解析】 (1)证法一： ABD 与
14、ACE 均为等边三角形， ADAB，ACAE，且BADCAE60 BAD+BACCAE+BAC， 即DACBAE ADCABE 证法二：ABD 与ACE 均为等边三角形， ADAB，ACAE， 且BADCAE60 ADC 可由ABE 绕着点 A 按顺时针方向旋转 60得到 第 8 页 共 11 页 ABEADC 120，90，72 (2) 360 n 证法一：依题意，知BAD 和CAE 都是正 n 边形的内角，ABAD，AEAC， BADCAE (2)180n n BADDAECAEDAE， 即BAEDAC ABEADC ABEADC ADC+ODA180， ABO+ODA180 ABO+OD
15、A+DAB+BOC360 BOC+DAB180 BOC180DAB (2)180360 180 n nn 证法二：延长 BA 交 CO 于 F，证BOCDAF180-BAD 证法三：连接 CE证BOC180CAE 9 【答案与解析】 解：(1)作 DFBC，F 为垂足 当 CP3 时，四边形 ADFB 是矩形，则 CF3 点 P 与点 F 重合 又BFFD， 此时点 E 与点 B 重合 (2)(i)当点 P 在 BF 上(不与 B，F 重合)时，(见图(a) EPB+DPF90，EPB+PEB90， DPFPEB RtPEBARtDPF BEFP BPFD 又 BEy，BP12-x，FPx-3
16、，FDa，代入式，得 3 12 yx xa 1 (12)(3)yx x a ，整理， 得 2 1 (1536)(312)yxxx a (ii)当点 P 在 CF 上（不与 C，F 重合）时， （见上图(b)同理可求得 BEFP BPFD 由 FP3-x 得 2 1 (1536)(03)yxxx a 第 9 页 共 11 页 2 2 1 (1536)(03) 1 (1536)(312). xxx a y xx a (3)解法一：当点 E 与 A 重合时，yEBa，此时点 P 在线段 BF 上 由式得 2 1 (1536)axx a 整理得 22 15360xxa 在线段 BC 上能找到两个不同的
17、点 P1与 P2满足条件， 方程有两个不相等的正实根 (-15) 24(36+a2)0 解得 2 81 4 a 又a0， 9 0 2 a 解法二：当点 E 与 A 重合时， APD90， 点 P 在以 AD 为直径的圆上设圆心为 M，则 M 为 AD 的中点 在线段 BC 上能找到两个不同的点 P1与 P2满足条件， 线段 BC 与M 相交即圆心 M 到 BC 的距离 d 满足0 2 AD d 又ADBC， da 由式得 9 0 2 a 10 【答案与解析】 解：(1)EFEB 证明：如图(d)，以 E 为圆心，EA 为半径画弧交直线 m 于点 M，连接 EM EMEA，EMAEAM BCkA
18、B，k1， BCAB CABACB mn，MACACB，FABABC 第 10 页 共 11 页 MACCAB CABEMA BEFABC， BEFFAB AHFEHB， AFEABE AEBMEF EFEB 探索思路：如上图(a)，BCkAB，k1， BCAB CABACB mn，MACACB 添加条件：ABC90 证明：如图(e)，在直线 m 上截取 AMAB，连接 ME BCkAB，k1， BCAB ABC90， CABACB45 mn， MAEACBCAB45，FAB90 AEAE，MAEBAE EMEB，AMEABE BEFABC90， FAB+BEF180 又 ABE+EFA180， EMFEFA EMEF EFEB (2)EF 1 k EB 说明：如图(f)，过点 E 作 EMm，ENAB，垂足为 M，N EMFENAENB90 mn，ABC90， MAB90 四边形 MENA 为矩形 MENA，MEN90 第 11 页 共 11 页 BEFABC90 MEFNEB MEFNEB MEEF ENEB ， ANEF ENEB 在 RtANE 和 RtABC 中， tan ENBC BACk ANAB ， 1 EFEB k
