2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程

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资源描述

1、9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主,直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现,有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则d(A,B)|AB|.(2)中点公式:已知平面直角坐

2、标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x,y.2.直线的倾斜角(1)定义:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,我们规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围:0,180).3.直线的斜率(1)定义:通常,我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率,垂直于x轴的直线,人们常说它的斜率不存在;(2)计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k (x1x2).若直线的倾斜角为,则ktan .4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不

3、含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角,是不是都有斜率?倾斜角越大,斜率k就越大吗?提示倾斜角0,),当时,斜率k不存在;因为ktan .当时,越大,斜率k就越大,同样时也是如此,但当(0,)且时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别?当截距相等时应注意什么?提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请

4、在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()题组二教材改编2.若过点M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案A解析由题意得1,解得m1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .答案3x2y0或xy50解析当截距为0时,直线方程为3x2y0;当截距不为0时,设直

5、线方程为1,则1,解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为,又10,所以倾斜角的取值范围是.5.如果AC0且BC0,在y轴上的截距0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.6.过直线l:yx上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为 .答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;若直线m的斜率k0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;若直线m的斜率k0,

6、设其方程为y2k(x2),令y0,得x2,依题意有22,即1,解得k,所以直线m的方程为y2(x2),即x2y20.综上可知,直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ,因为,所以cos ,因此k2cos 1, .设直线的倾斜角为,则有tan 1, .又0,),所以,即倾斜角的取值范围是.(2) (2018抚顺调研)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .答案(,1,)解析如图,kAP1,

7、kBP,k(, 1,).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.解P(1,0),A(2,1),B(0,),kAP,kBP.如图可知,直线l斜率的取值范围为.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2,1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.解如图,直线PA的倾斜角为45,直线PB的倾斜角为135,由图象知l的倾斜角的范围为0,45135,180).思维升华 (1)倾斜角与斜率k的关系当时,k0,).当时,斜率k不存在.当时,k(,0).(2)斜率的两种求法定义法:若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据ktan 求斜率.公式法:若

8、已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时,要充分利用ytan 的单调性.跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于()A.1或0 B.或0C. D.或0答案A解析平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,kABkAC,即,即a(a22a1)0,解得a0或a1.故选A.(2)直线l经过A(3,1),B(2,m2)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是 .答案解析直线l的斜率k1m21,所以ktan 1.又ytan 在上是增函数,因此0,b0,直线

9、l的方程为1,所以1.|(a2,1)(2,b1)2(a2)b12ab5(2ab)54,当且仅当ab3时取等号,此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题例4 已知直线l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,当0a0,b0),因为直线l经过点P(4,1),所以1.(1)12 ,所以ab16,当且仅当a8,b2时等号成立,所以当a8,b2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为1,即x4y80.(2)因为1,a0,b0,所以|OA|OB|ab(ab)552 9,当且仅当a6,b3时等号成立,所以当|OA|OB|取最小值时,直线l的方程为1,即x2y60.一、选择题1.直线x

10、ya0(a为常数)的倾斜角为()A.30 B.60 C.150 D.120答案B解析设直线的倾斜角为,斜率为k,化直线方程为yxa,ktan .0180,60.2.(2018大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()A.x2 B.y1 C.x1 D.y2答案A解析直线yx1的斜率为1,则倾斜角为,依题意,所求直线的倾斜角为,斜率不存在,过点(2,1)的直线方程为x2.3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为()A.150 B.135 C.120 D.不存在答案A解析由y,得x2y22(y0

11、),它表示以原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,其图象如图所示.显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l为yk(x2),则圆心到此直线的距离d,弦长|AB|2 2 ,所以SAOB2 1,当且仅当(2k)222k2,即k2时等号成立,由图可得k,故直线l的倾斜角为150.4.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角,故k13,所以0k3k2,因此k1k30,c0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则的最小值为 .答案解析动直线l0:axb

12、yc30(a0,c0)恒过点P(1,m),abmc30.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,3,解得m0.ac3.则(ac),当且仅当c2a2时取等号.三、解答题15.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2xy20与l2:xy30之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.解设点A(x,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.由题意知则点B(6x,y),解方程组得则所求直线的斜率k8,故所求的直线方程为y8(x3),即8xy240.16.已知直线l:kxy12k0(kR).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为yk(x2)1,故无论k取何值,直线l总过定点(2,1).(2)解直线l的方程可化为ykx2k1,则直线l在y轴上的截距为2k1,要使直线l不经过第四象限,则故k的取值范围是k0.(3)解依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为12k,且k0,所以A,B(0,12k),故S|OA|OB|(12k)(44)4,当且仅当4k,即k时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x2y40.

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