1、2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合Ax|12x4，Bx|yln（x1），则AB（）Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x2Dx|0x22（4分）双曲线y21的离心率为（）ABCD3（4分）已知实数x，y满足约束条件，则z2xy的最大值是（）A3B1C5D64（4分）已知直线l1：ax+y+a0，l2：x+ay+a0，则“a1”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也非必要条件5（4分）已知直线l和平面，若直线l在
2、空间中任意放置，则在平面内总有直线l和l（）A垂直B平行C异面D相交6（4分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）ABCD7（4分）已知，且（0，），x1，x2是函数f（x）cos（x+）（0）的两个相邻的零点，且，则的值为（）ABCD8（4分）已知函数，则关于x的方程的实数解个数最多有（）A3个B4个C5个D6个9（4分）如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角，记二面角DEFB的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为，则（）A，B，C，D，10（4分）已知数列an对任意的nN*，都有，且a1+a2+a99，则
3、下列说法正确的是（）A数列an+1an为单调递减数列，且a51B数列an+1an为单调递增数列，且a51C数列an+1an为单调递减数列，且a51D数列an+1an为单调递增数列，且a51二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知函数f（x）log6（x+1），则f（1）+f（2） ，f（x）0的解集为 12（6分）若直线被圆C：x2+y22x30截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是 ，m 13（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm314（6分）在ABC中，ABAC，BAC120，D为线段AC的中
4、点，若，则AB ，cosBDC 15（4分）已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，POF的面积为6，则b 16（4分）实数x，y满足xy+yx2，则|x+y|的最小值为 17（4分）如图，在ABC中，ABAC，且ABAC1，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当时，求yf（x）的值域19（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且，DE平面ABCD，EF
5、BD，且，DE2（）求证：DE平面ACF；（）求直线AE与平面ACF所成角的正弦值20（15分）已知正项等比数列an和等差数列bn的首项均为1，a2是b1，b3的等差中项，且a3b3+4（）求an和bn的通项公式；（）设cnanbn，数列cn前n项和为Sn，若恒成立，求实数k的取值范围21（15分）如图，已知P（2，0）是椭圆的一个顶点，C1的短轴是圆的直径，直线l1，l2过点P且互相垂直，l1交椭圆C1于另一点D，l2交圆C2于A，B两点（）求椭圆C1的标准方程；（）求ABD面积的最大值22（15分）已知实数a0，关于x的方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根，（）当b1时，求a的值；
6、（）记函数f（x）|x2ax+1|+bx的最小值M（a，b），求M（a，b）的取值范围2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合Ax|12x4，Bx|yln（x1），则AB（）Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x2Dx|0x2【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|12x4x|0x2，Bx|yln（x1）x|x1，ABx|1x2故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力
7、，是基础题2（4分）双曲线y21的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由离心率计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：y21，则其a2，b1，故c，则其离心率e；故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值3（4分）已知实数x，y满足约束条件，则z2xy的最大值是（）A3B1C5D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z2xy得y2xz，平移直线y2xz
8、，由图象可知当直线y2xz经过点B时，直线y2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即B（2，1）将B（2，1）的坐标代入目标函数z2xy，得z22+15即z2xy的最大值为5故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4（4分）已知直线l1：ax+y+a0，l2：x+ay+a0，则“a1”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也非必要条件【分析】由l1l2求解a值，再由充分必要条件的判定得答案【解答】解：直线l1：ax+y+a0，l2：x+ay+a0，l1l2，解得a1“a1”是“l1l
9、2”的充分必要条件故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题5（4分）已知直线l和平面，若直线l在空间中任意放置，则在平面内总有直线l和l（）A垂直B平行C异面D相交【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直【解答】解：当直线l与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错当直线l与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只
10、有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错当直线a在平面内时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错不管直线l与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线l垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A正确故选：A【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力6（4分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）ABCD【分析】根据f（x）在正半轴的图象可看出，f（x）在（0，+）上有增有减，从而排除选项C，D；由图象可看出，f（x
11、）在正半轴的第一个零点在（0，1）上，而选项B的在x轴的第一个零点为，从而排除选项B，从而得出正确选项为A【解答】解：由图象看出，在x的正半轴函数f（x）有增有减，选项C，D的函数在（0，+）上都是减函数，排除选项C，D，由图象看出，f（x）在x正半轴的第一个零点在（0，1）区间上，选项B不满足，选项B的f（x）在正半轴的第一个零点为，选项A的在x轴的第一个零点为，排除选项B，选项A正确故选：A【点评】本题考查了根据函数的图象判断函数单调性的方法，反比例函数、一次函数的单调性，减函数的定义，函数零点的定义及求法，考查了推理能力和计算能力，属于难题7（4分）已知，且（0，），x1，x2是函数f（
12、x）cos（x+）（0）的两个相邻的零点，且，则的值为（）ABCD【分析】由条件x1，x2是函数f（x）cos（x+）（0）的两个相邻的零点，且，知道周期，从而求出，得到函数f（x）cos（2x+），cos（+）sin由，且（0，），利用平方关系求出sin即可得到答案【解答】解：x1，x2是函数f（x）cos（x+）（0）的两个相邻的零点，且，则T，2，函数f（x）cos（2x+），cos（+）sin，且（0，），sincos（+）sin故选：C【点评】本题考查了余弦函数图象和性质，同角三角函数基本关系，函数零点等知识，属于基础题8（4分）已知函数，则关于x的方程的实数解个数最多有（）A3个B
13、4个C5个D6个【分析】令，则f（t）a，画出函数f（x）的图象，再画出，结合图象得到实数解的个数【解答】解：令，则f（t）a，画出函数f（x）的图象如下左图，当a0时，yf（t）与ya的交点最多有3个，设三个交点的横坐标分别由左向右为m1n01p，当m2时，如右图，最多有2个交点，当1n0时，没有交点，当n1时，最多有2个交点，综上，关于x的方程的实数解个数最多有4个，故选：B【点评】考查分段函数的画法，复合函数的零点问题，属于中档题9（4分）如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角，记二面角DEFB的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所
14、成角为，则（）A，B，C，D，【分析】过C作CO平面ABFE，垂足为O，连结EO，则AED，CEO，CEF，由此能求出结果【解答】解：过C作CO平面ABFE，垂足为O，连结EO，矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角，记二面角DEFB的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为，AED，CEO，CEF，CFCO，故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面角、二面角、线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（4分）已知数列an对任意的nN*，都有，且a1+a2+a99，则下列说法正确的是（）
15、A数列an+1an为单调递减数列，且a51B数列an+1an为单调递增数列，且a51C数列an+1an为单调递减数列，且a51D数列an+1an为单调递增数列，且a51【分析】利用判断数列an+1an为单调递增数列，再利用不等式的性质得出结论【解答】解：数列an对任意的nN*，都有，故：an+2an+1an+1an，故数列an+1an为单调递增数列，所以a7a6（a4a3）0，即a7+a3a6+a4，同理可得a4+a6a7+a3a2+a8a1+a9，由2a5a4+a6a7+a3a2+a8a1+a9，a1+a2+a9a4+a6+a7+a3+a2+a8+a1+a9+a59a5，则a51，故选：D【
16、点评】本题关键是根据判断函数的单调性，并推导a5，二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知函数f（x）log6（x+1），则f（1）+f（2）1，f（x）0的解集为（0，+）【分析】直接把x1和x2代入后结合对数的运算性质可求f（1）+f（2）；由f（x）0可得log6（x+1）0，结合对数的性质即可求解【解答】解：f（x）log6（x+1），则f（1）+f（2）log62+log63log661由f（x）0可得log6（x+1）0，x+11，x|x0故答案为：1；（0，+）【点评】本题主要考查了对数的基本运算及对数不等式的求解，属于基础试题12（6
17、分）若直线被圆C：x2+y22x30截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是1，m1或3【分析】考察直线与圆的位置关系，相交弦，点的直线距离公式的应用【解答】解：圆的标准方程为：（x1）2+y24，圆心C（1，0），半径r2，根据几何法得：，所以|m1|2，得m1或者3故答案为：1；1或3【点评】主要利用相交弦，点的直线距离公式，基础题13（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是10+cm2，体积是3cm3【分析】由三视图知该几何体是平放的四棱柱，画出直观图，结合图形求它的表面积和体积【解答】解：由三视图知，该几何体是底面为正视图的四棱柱，画出直观图如图所示；则该几
18、何体的表面积是S2（1+2）+2+22+2+123+2+4+4+210+5（cm2）；体积是VSh（1+2）23（cm3）故答案为：10+5，3【点评】本题考查了利用三视图求几何体的表面积与体积的计算问题，是基础题14（6分）在ABC中，ABAC，BAC120，D为线段AC的中点，若，则AB2，cosBDC【分析】设ADx，则ABAC2x，在ABD中，由余弦定理可求x1，可得ABAC2，在ABC中，由余弦定理可得BC，在BDC中，由余弦定理可求cosBDC的值【解答】解：由题意，设ADx，则ABAC2x，在ABD中，由余弦定理BD2AB2+AD22ABADcosBAD，可得7x2+（2x）22
19、2xxcos120，可得7x2+4x2+2x2，解得x1，可得ABAC2在ABC中，由余弦定理可得BC2，又在BDC中，CDAD1，所以由余弦定理可得cosBDC故答案为：2，【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15（4分）已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，POF的面积为6，则b【分析】运用椭圆的定义和性质，三角形面积，根据题意找到P（x0，y0）坐标之间的关系，利用解方程组的想法就可得到b的值【解答】解：设P（x0，y0），点P在椭圆上，又点P到原点O的距离等于半焦距，即POF的面积为6，可得把代入得，x02c
20、2把代入得，x02a2a2c2b2b2b2故得b2故答案为：2【点评】考查椭圆的定义和性质，利用解方程组求值，属于常见题型16（4分）实数x，y满足xy+yx2，则|x+y|的最小值为2【分析】令tx+y，带入原方程，得到含有t的x的一元二次方程有解，进而利用判别式求t即可；【解答】解：令tx+y，则ytxxy+yxx（tx）+txx2，整理得，x2+（2t）x+2t0，则（2t）24（2t）0，即（t2）（t+2）0，解得t2或t2，|x+y|的最小值为：2故答案为：2【点评】考查转化思想，将最值问题，通过参数t转化为求一元二次方程有解，利用判别式解答，属于中档题；17（4分）如图，在ABC
21、中，ABAC，且ABAC1，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则的最大值为【分析】设 （01），用以及题目中特殊向量， 来表示，再求最值【解答】解：ABAC，又过点C作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，AECE，不妨设 （01），则，又，（1）2（1）2+22+31（01），当时，最大故答案为：【点评】本题考察向量在几何图形中的应用，应用加法，减法，共线向量去表示，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当时，求yf（x）的值域【分析
22、】（）由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出yf（x）的值域【解答】解：（）函数，所以，f（x）的最小正周期为令，求得kxk+，单调递增区间为：（）因为，所以因为ysinZ在上是增函数，在上是减函数，所以yf（x）在上是减函数，在上是增函数又因为f（0）0，所以yf（x）的最大值为，最小值为f（0）0，所以yf（x）的值域为【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题19（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为
23、菱形，且，DE平面ABCD，EFBD，且，DE2（）求证：DE平面ACF；（）求直线AE与平面ACF所成角的正弦值【分析】（）取AC与BD的交点为O，连OF，证明EFDO，且EFDO，即可证明DEOF，进而得到DE平面ACF；（）将线面角转化为AEF，或者建立坐标系，用向量法处理【解答】解：（）证明：取AC与BD的交点为O，连OF，EFBD，四边形EFOD为平行四边形，DEOF，DE平面AFCFO平面AFC，DE平面ACF；（）解法一：DE平面ABCD，DEOD，又ODEF，EFOF四边形ABCD为的菱形，ACODACEF，EF平面ACF，EAF是直线AE与平面ACF所成角，可得EFA90，E
24、DA90，方法二：易证OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF为x，y，z轴建系，设平面ACF法向量为，得一个法向量，直线AE与平面ACF所成角的正弦值【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的求法，线面垂直的判定等，属于难题20（15分）已知正项等比数列an和等差数列bn的首项均为1，a2是b1，b3的等差中项，且a3b3+4（）求an和bn的通项公式；（）设cnanbn，数列cn前n项和为Sn，若恒成立，求实数k的取值范围【分析】（）；设an的公比为q，bn的公差为d，由题意将a2是b1，b3的等差中项，且a3b3+4表示为q和d的方程，即可得到an和bn的通项公式；（）因为cnanb
25、n，用错位相减法求出其前n项和Sn，恒成立，等价于对任意的正整数n，恒成立即可求出k的范围【解答】解：（ I）设an的公比为q，bn的公差为d，由题意q0，由已知a1b11，b1+b32a2，b3+4a3，解得q3，d2，所以通项公式，（ II）由（ I）有，设cn的前n项和为Sn，则，两式相减得，所以，恒成立，等价于对任意的正整数n，恒成立；（或考虑右边单调性）所以，解得k1【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，错位相减法求数列的前n项和，已经恒成立问题，本题属于难题21（15分）如图，已知P（2，0）是椭圆的一个顶点，C1的短轴是圆的直径，直线l1，l2过点P且互相垂直，l1交椭
26、圆C1于另一点D，l2交圆C2于A，B两点（）求椭圆C1的标准方程；（）求ABD面积的最大值【分析】（）由题意可得，然后求解椭圆C1的标准方程（）因为直线l1，l2过点P且互相垂直，可设l1：xmy2，l2：ym（x+2），求出圆心O到直线l2的距离以及AB，直线l2与圆O有两个交点，推出0m21，联立（m2+2）y24my0，转化求解PD的距离，求出三角形的面积，通过二次函数的性质求解面积的最大值【解答】解：（）由题意P（2，0）是椭圆的一个顶点，C1的短轴是圆的直径，可得，则椭圆C1的标准方程为（）因为直线l1，l2过点P且互相垂直，可设l1：xmy2，l2：ym（x+2），圆心O到直线l
27、2的距离，直线l2与圆O有两个交点，所以0m21，又由（m2+2）y24my0，可得所以令m2+2t，m21，则2t3，SABD，当，即时，SABD有最大值为【点评】本题考查直线以及圆与椭圆的亲子关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力22（15分）已知实数a0，关于x的方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根，（）当b1时，求a的值；（）记函数f（x）|x2ax+1|+bx的最小值M（a，b），求M（a，b）的取值范围【分析】本题（）利用转化思想和数形结合思想把三个实数根转化为交点和切点求解；（）分类讨论，利用函数的单调性求出最值，从而求解【解答】解（）题设等价于二次函数yx2ax+1有
28、与yx有两个不同的交点，且二次函数yx2+ax1与yx相切于x轴上方；所以，得a2；，所以a3；（II）方法一：因为方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根，所以，且得ba2，（a2）（ba+2舍去）设方程x2ax+10的两根，因为，所以，得0x11x2当x（，x1）时，f（x）（x1）2，x11，f（x）在x（，x1单调递减，所以；当x（x2，+）时，f（x）（x1）2，x21，f（x）在x（x2，+）单调递增，所以f（x）f（x2）f（x1）当xx1，x2时，f（x）x2+（2a2）x1，对称轴xa1，xa11x1，又x2+x1a，x2ax1a1x，f（x）在x（x1，x2）上先增后减，又x2+x1a2（a1），即x2（a1）（a1）x1，f（x1）f（x2）所以综上所述，M（a，b）f（x）minf（x1），（a2），令ta20，则【点评】本题考查了转化思想，数形结合思想，以及分类讨论思想，需要学生有较高的综合性的能力
