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2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(4分)已知集合Ax|12x4,Bx|yln(x1),则AB()Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x2Dx|0x22(4分)双曲线y21的离心率为()ABCD3(4分)已知实数x,y满足约束条件,则z2xy的最大值是()A3B1C5D64(4分)已知直线l1:ax+y+a0,l2:x+ay+a0,则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也非必要条件5(4分)已知直线l和平面,若直线l在

2、空间中任意放置,则在平面内总有直线l和l()A垂直B平行C异面D相交6(4分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()ABCD7(4分)已知,且(0,),x1,x2是函数f(x)cos(x+)(0)的两个相邻的零点,且,则的值为()ABCD8(4分)已知函数,则关于x的方程的实数解个数最多有()A3个B4个C5个D6个9(4分)如图,已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角,记二面角DEFB的平面角为,直线EC与平面ABFE所成角为,直线EC与直线FB所成角为,则()A,B,C,D,10(4分)已知数列an对任意的nN*,都有,且a1+a2+a99,则

3、下列说法正确的是()A数列an+1an为单调递减数列,且a51B数列an+1an为单调递增数列,且a51C数列an+1an为单调递减数列,且a51D数列an+1an为单调递增数列,且a51二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)已知函数f(x)log6(x+1),则f(1)+f(2) ,f(x)0的解集为 12(6分)若直线被圆C:x2+y22x30截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是 ,m 13(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm314(6分)在ABC中,ABAC,BAC120,D为线段AC的中

4、点,若,则AB ,cosBDC 15(4分)已知F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,POF的面积为6,则b 16(4分)实数x,y满足xy+yx2,则|x+y|的最小值为 17(4分)如图,在ABC中,ABAC,且ABAC1,D是线段BC上一点,过C点作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,则的最大值为 三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知函数()求f(x)的最小正周期和单调递增区间;()当时,求yf(x)的值域19(15分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且,DE平面ABCD,EF

5、BD,且,DE2()求证:DE平面ACF;()求直线AE与平面ACF所成角的正弦值20(15分)已知正项等比数列an和等差数列bn的首项均为1,a2是b1,b3的等差中项,且a3b3+4()求an和bn的通项公式;()设cnanbn,数列cn前n项和为Sn,若恒成立,求实数k的取值范围21(15分)如图,已知P(2,0)是椭圆的一个顶点,C1的短轴是圆的直径,直线l1,l2过点P且互相垂直,l1交椭圆C1于另一点D,l2交圆C2于A,B两点()求椭圆C1的标准方程;()求ABD面积的最大值22(15分)已知实数a0,关于x的方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根,()当b1时,求a的值;

6、()记函数f(x)|x2ax+1|+bx的最小值M(a,b),求M(a,b)的取值范围2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(4分)已知集合Ax|12x4,Bx|yln(x1),则AB()Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x2Dx|0x2【分析】先分别求出集合A,B,由此能求出AB【解答】解:集合Ax|12x4x|0x2,Bx|yln(x1)x|x1,ABx|1x2故选:B【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力

7、,是基础题2(4分)双曲线y21的离心率为()ABCD【分析】根据题意,由双曲线的标准方程可得a、b的值,进而由双曲线的几何性质可得c的值,由离心率计算公式计算可得答案【解答】解:根据题意,双曲线的标准方程为:y21,则其a2,b1,故c,则其离心率e;故选:D【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值3(4分)已知实数x,y满足约束条件,则z2xy的最大值是()A3B1C5D6【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC)由z2xy得y2xz,平移直线y2xz

8、,由图象可知当直线y2xz经过点B时,直线y2xz的截距最小,此时z最大由,解得,即B(2,1)将B(2,1)的坐标代入目标函数z2xy,得z22+15即z2xy的最大值为5故选:C【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4(4分)已知直线l1:ax+y+a0,l2:x+ay+a0,则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也非必要条件【分析】由l1l2求解a值,再由充分必要条件的判定得答案【解答】解:直线l1:ax+y+a0,l2:x+ay+a0,l1l2,解得a1“a1”是“l1l

9、2”的充分必要条件故选:C【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系,考查充分必要条件的判定方法,是基础题5(4分)已知直线l和平面,若直线l在空间中任意放置,则在平面内总有直线l和l()A垂直B平行C异面D相交【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手:直线与平面的位置关系可以分为三种:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系,通过比较可知:每种情况都有可能垂直【解答】解:当直线l与平面相交时,平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种:异面、相交,此时就不可能平行了,故B错当直线l与平面平行时,平面内的任意一条直线与直线l的关系只

10、有两种:异面、平行,此时就不可能相交了,故D错当直线a在平面内时,平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种:平行、相交,此时就不可能异面了,故C错不管直线l与平面的位置关系相交、平行,还是在平面内,都可以在平面内找到一条直线与直线l垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故A正确故选:A【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力和思维能力6(4分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()ABCD【分析】根据f(x)在正半轴的图象可看出,f(x)在(0,+)上有增有减,从而排除选项C,D;由图象可看出,f(x

11、)在正半轴的第一个零点在(0,1)上,而选项B的在x轴的第一个零点为,从而排除选项B,从而得出正确选项为A【解答】解:由图象看出,在x的正半轴函数f(x)有增有减,选项C,D的函数在(0,+)上都是减函数,排除选项C,D,由图象看出,f(x)在x正半轴的第一个零点在(0,1)区间上,选项B不满足,选项B的f(x)在正半轴的第一个零点为,选项A的在x轴的第一个零点为,排除选项B,选项A正确故选:A【点评】本题考查了根据函数的图象判断函数单调性的方法,反比例函数、一次函数的单调性,减函数的定义,函数零点的定义及求法,考查了推理能力和计算能力,属于难题7(4分)已知,且(0,),x1,x2是函数f(

12、x)cos(x+)(0)的两个相邻的零点,且,则的值为()ABCD【分析】由条件x1,x2是函数f(x)cos(x+)(0)的两个相邻的零点,且,知道周期,从而求出,得到函数f(x)cos(2x+),cos(+)sin由,且(0,),利用平方关系求出sin即可得到答案【解答】解:x1,x2是函数f(x)cos(x+)(0)的两个相邻的零点,且,则T,2,函数f(x)cos(2x+),cos(+)sin,且(0,),sincos(+)sin故选:C【点评】本题考查了余弦函数图象和性质,同角三角函数基本关系,函数零点等知识,属于基础题8(4分)已知函数,则关于x的方程的实数解个数最多有()A3个B

13、4个C5个D6个【分析】令,则f(t)a,画出函数f(x)的图象,再画出,结合图象得到实数解的个数【解答】解:令,则f(t)a,画出函数f(x)的图象如下左图,当a0时,yf(t)与ya的交点最多有3个,设三个交点的横坐标分别由左向右为m1n01p,当m2时,如右图,最多有2个交点,当1n0时,没有交点,当n1时,最多有2个交点,综上,关于x的方程的实数解个数最多有4个,故选:B【点评】考查分段函数的画法,复合函数的零点问题,属于中档题9(4分)如图,已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角,记二面角DEFB的平面角为,直线EC与平面ABFE所成角为,直线EC与直线FB所

14、成角为,则()A,B,C,D,【分析】过C作CO平面ABFE,垂足为O,连结EO,则AED,CEO,CEF,由此能求出结果【解答】解:过C作CO平面ABFE,垂足为O,连结EO,矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角DEFB的平面角为锐角,记二面角DEFB的平面角为,直线EC与平面ABFE所成角为,直线EC与直线FB所成角为,AED,CEO,CEF,CFCO,故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查线面角、二面角、线线角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题10(4分)已知数列an对任意的nN*,都有,且a1+a2+a99,则下列说法正确的是()

15、A数列an+1an为单调递减数列,且a51B数列an+1an为单调递增数列,且a51C数列an+1an为单调递减数列,且a51D数列an+1an为单调递增数列,且a51【分析】利用判断数列an+1an为单调递增数列,再利用不等式的性质得出结论【解答】解:数列an对任意的nN*,都有,故:an+2an+1an+1an,故数列an+1an为单调递增数列,所以a7a6(a4a3)0,即a7+a3a6+a4,同理可得a4+a6a7+a3a2+a8a1+a9,由2a5a4+a6a7+a3a2+a8a1+a9,a1+a2+a9a4+a6+a7+a3+a2+a8+a1+a9+a59a5,则a51,故选:D【

16、点评】本题关键是根据判断函数的单调性,并推导a5,二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)已知函数f(x)log6(x+1),则f(1)+f(2)1,f(x)0的解集为(0,+)【分析】直接把x1和x2代入后结合对数的运算性质可求f(1)+f(2);由f(x)0可得log6(x+1)0,结合对数的性质即可求解【解答】解:f(x)log6(x+1),则f(1)+f(2)log62+log63log661由f(x)0可得log6(x+1)0,x+11,x|x0故答案为:1;(0,+)【点评】本题主要考查了对数的基本运算及对数不等式的求解,属于基础试题12(6

17、分)若直线被圆C:x2+y22x30截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是1,m1或3【分析】考察直线与圆的位置关系,相交弦,点的直线距离公式的应用【解答】解:圆的标准方程为:(x1)2+y24,圆心C(1,0),半径r2,根据几何法得:,所以|m1|2,得m1或者3故答案为:1;1或3【点评】主要利用相交弦,点的直线距离公式,基础题13(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是10+cm2,体积是3cm3【分析】由三视图知该几何体是平放的四棱柱,画出直观图,结合图形求它的表面积和体积【解答】解:由三视图知,该几何体是底面为正视图的四棱柱,画出直观图如图所示;则该几

18、何体的表面积是S2(1+2)+2+22+2+123+2+4+4+210+5(cm2);体积是VSh(1+2)23(cm3)故答案为:10+5,3【点评】本题考查了利用三视图求几何体的表面积与体积的计算问题,是基础题14(6分)在ABC中,ABAC,BAC120,D为线段AC的中点,若,则AB2,cosBDC【分析】设ADx,则ABAC2x,在ABD中,由余弦定理可求x1,可得ABAC2,在ABC中,由余弦定理可得BC,在BDC中,由余弦定理可求cosBDC的值【解答】解:由题意,设ADx,则ABAC2x,在ABD中,由余弦定理BD2AB2+AD22ABADcosBAD,可得7x2+(2x)22

19、2xxcos120,可得7x2+4x2+2x2,解得x1,可得ABAC2在ABC中,由余弦定理可得BC2,又在BDC中,CDAD1,所以由余弦定理可得cosBDC故答案为:2,【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题15(4分)已知F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,POF的面积为6,则b【分析】运用椭圆的定义和性质,三角形面积,根据题意找到P(x0,y0)坐标之间的关系,利用解方程组的想法就可得到b的值【解答】解:设P(x0,y0),点P在椭圆上,又点P到原点O的距离等于半焦距,即POF的面积为6,可得把代入得,x02c

20、2把代入得,x02a2a2c2b2b2b2故得b2故答案为:2【点评】考查椭圆的定义和性质,利用解方程组求值,属于常见题型16(4分)实数x,y满足xy+yx2,则|x+y|的最小值为2【分析】令tx+y,带入原方程,得到含有t的x的一元二次方程有解,进而利用判别式求t即可;【解答】解:令tx+y,则ytxxy+yxx(tx)+txx2,整理得,x2+(2t)x+2t0,则(2t)24(2t)0,即(t2)(t+2)0,解得t2或t2,|x+y|的最小值为:2故答案为:2【点评】考查转化思想,将最值问题,通过参数t转化为求一元二次方程有解,利用判别式解答,属于中档题;17(4分)如图,在ABC

21、中,ABAC,且ABAC1,D是线段BC上一点,过C点作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,则的最大值为【分析】设 (01),用以及题目中特殊向量, 来表示,再求最值【解答】解:ABAC,又过点C作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,AECE,不妨设 (01),则,又,(1)2(1)2+22+31(01),当时,最大故答案为:【点评】本题考察向量在几何图形中的应用,应用加法,减法,共线向量去表示,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知函数()求f(x)的最小正周期和单调递增区间;()当时,求yf(x)的值域【分析

22、】()由题意,利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性和单调性,求得f(x)的最小正周期和单调递增区间;()由题意利用正弦函数的定义域和值域,求出yf(x)的值域【解答】解:()函数,所以,f(x)的最小正周期为令,求得kxk+,单调递增区间为:()因为,所以因为ysinZ在上是增函数,在上是减函数,所以yf(x)在上是减函数,在上是增函数又因为f(0)0,所以yf(x)的最大值为,最小值为f(0)0,所以yf(x)的值域为【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和单调性,正弦函数的定义域和值域,属于中档题19(15分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为

23、菱形,且,DE平面ABCD,EFBD,且,DE2()求证:DE平面ACF;()求直线AE与平面ACF所成角的正弦值【分析】()取AC与BD的交点为O,连OF,证明EFDO,且EFDO,即可证明DEOF,进而得到DE平面ACF;()将线面角转化为AEF,或者建立坐标系,用向量法处理【解答】解:()证明:取AC与BD的交点为O,连OF,EFBD,四边形EFOD为平行四边形,DEOF,DE平面AFCFO平面AFC,DE平面ACF;()解法一:DE平面ABCD,DEOD,又ODEF,EFOF四边形ABCD为的菱形,ACODACEF,EF平面ACF,EAF是直线AE与平面ACF所成角,可得EFA90,E

24、DA90,方法二:易证OA,OB,OF两两垂直,以OA,OB,OF为x,y,z轴建系,设平面ACF法向量为,得一个法向量,直线AE与平面ACF所成角的正弦值【点评】本题考查了线面平行的判定,线面角的求法,线面垂直的判定等,属于难题20(15分)已知正项等比数列an和等差数列bn的首项均为1,a2是b1,b3的等差中项,且a3b3+4()求an和bn的通项公式;()设cnanbn,数列cn前n项和为Sn,若恒成立,求实数k的取值范围【分析】();设an的公比为q,bn的公差为d,由题意将a2是b1,b3的等差中项,且a3b3+4表示为q和d的方程,即可得到an和bn的通项公式;()因为cnanb

25、n,用错位相减法求出其前n项和Sn,恒成立,等价于对任意的正整数n,恒成立即可求出k的范围【解答】解:( I)设an的公比为q,bn的公差为d,由题意q0,由已知a1b11,b1+b32a2,b3+4a3,解得q3,d2,所以通项公式,( II)由( I)有,设cn的前n项和为Sn,则,两式相减得,所以,恒成立,等价于对任意的正整数n,恒成立;(或考虑右边单调性)所以,解得k1【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,错位相减法求数列的前n项和,已经恒成立问题,本题属于难题21(15分)如图,已知P(2,0)是椭圆的一个顶点,C1的短轴是圆的直径,直线l1,l2过点P且互相垂直,l1交椭

26、圆C1于另一点D,l2交圆C2于A,B两点()求椭圆C1的标准方程;()求ABD面积的最大值【分析】()由题意可得,然后求解椭圆C1的标准方程()因为直线l1,l2过点P且互相垂直,可设l1:xmy2,l2:ym(x+2),求出圆心O到直线l2的距离以及AB,直线l2与圆O有两个交点,推出0m21,联立(m2+2)y24my0,转化求解PD的距离,求出三角形的面积,通过二次函数的性质求解面积的最大值【解答】解:()由题意P(2,0)是椭圆的一个顶点,C1的短轴是圆的直径,可得,则椭圆C1的标准方程为()因为直线l1,l2过点P且互相垂直,可设l1:xmy2,l2:ym(x+2),圆心O到直线l

27、2的距离,直线l2与圆O有两个交点,所以0m21,又由(m2+2)y24my0,可得所以令m2+2t,m21,则2t3,SABD,当,即时,SABD有最大值为【点评】本题考查直线以及圆与椭圆的亲子关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力22(15分)已知实数a0,关于x的方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根,()当b1时,求a的值;()记函数f(x)|x2ax+1|+bx的最小值M(a,b),求M(a,b)的取值范围【分析】本题()利用转化思想和数形结合思想把三个实数根转化为交点和切点求解;()分类讨论,利用函数的单调性求出最值,从而求解【解答】解()题设等价于二次函数yx2ax+1有

28、与yx有两个不同的交点,且二次函数yx2+ax1与yx相切于x轴上方;所以,得a2;,所以a3;(II)方法一:因为方程|x2ax+1|bx恰有三个不同的实数根,所以,且得ba2,(a2)(ba+2舍去)设方程x2ax+10的两根,因为,所以,得0x11x2当x(,x1)时,f(x)(x1)2,x11,f(x)在x(,x1单调递减,所以;当x(x2,+)时,f(x)(x1)2,x21,f(x)在x(x2,+)单调递增,所以f(x)f(x2)f(x1)当xx1,x2时,f(x)x2+(2a2)x1,对称轴xa1,xa11x1,又x2+x1a,x2ax1a1x,f(x)在x(x1,x2)上先增后减,又x2+x1a2(a1),即x2(a1)(a1)x1,f(x1)f(x2)所以综上所述,M(a,b)f(x)minf(x1),(a2),令ta20,则【点评】本题考查了转化思想,数形结合思想,以及分类讨论思想,需要学生有较高的综合性的能力