1、提分专练(二)一次函数的简单综合问题|类型1|两直线间的关系1.如图T2-1,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=kx交于点C(4,n),则tanOCB的值为()图T2-1A.13B.57C.55D.372.如图T2-2,若直线y=-2x+1与直线y=kx+4交于点B(-1,m),且两条直线与y轴分别交于点C,A,那么ABC的面积为.图T2-23.2019包头一模如图T2-3,已知点A的坐标为(3,0),直线y=kx+b(b0)与直线y=x平行,且与y轴交于点B,连接AB,若=75,则直线y=kx+b的解析式为.图T2-34.如图T2-4,在平面直角
2、坐标系中,直线y=-12x+6分别与x轴,y轴交于点B,C,且与直线y=12x交于点A,点D是直线OA上的点,当ACD为直角三角形时,点D的坐标为.图T2-45.如图T2-5,直线l:y=33x-3分别与x轴、y轴交于点A和点B.直线l绕点A顺时针旋转,使直线与y轴的正半轴相交,交点为C,点O为坐标原点,若OAC=2OAB,求直线AC的函数解析式.图T2-5|类型2|与直线有关的最值问题6.如图T2-6,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(3,2),点C是x轴上任意一点,当CA+CB取最小值时,C点的坐标为()图T2-6A.(0,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.(3,0)7.如图T2-
3、7,在平面直角坐标系中,点A为直线y=x上一点,过点A作ABx轴于点B,若OB=4,点E是OB边上一点,且OE=3,点P为线段AO上的动点,则BEP周长的最小值为()图T2-7A.4+22B.4+10C.6D.428.如图T2-8,已知点A(1,1),B(2,-3),点P为x轴上一点,当|PA-PB|最大时,点P的坐标为()图T2-8A.(-1,0)B.12,0C.54,0D.(1,0)9.如图T2-9,在平面直角坐标系中,OAB是边长为4的等边三角形,OD是AB边上的高,点P是OD上的一个动点,若点C的坐标是(0,-3),则PA+PC的最小值是.图T2-9|类型3|一次函数与几何图形的结合问
4、题10.2019龙岩期末如图T2-10,直线AB与坐标轴分别交于点A,B,将AOB沿直线AB翻折到ACB的位置,当点C的坐标为(3,3)时,直线AB的函数解析式是.图T2-1011.如图T2-11,在平面直角坐标系中,直线y=-32x+23与x轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC,连接OC,则直线OC的解析式为.图T2-1112.如图T2-12,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(0,4),且AOC=60,则直线AC的解析式是.图T2-1213.如图T2-13,一次函数y=-23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为边在第一象
5、限内作等腰直角三角形ABC,BAC=90,则过B,C两点的直线的解析式为.图T2-1314.如图T2-14,以矩形ABCD的相邻边所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系,AB=3,BC=5.点E是边CD上一点,将ADE沿着AE翻折,点D恰好落在BC边上,记为F.(1)求折痕AE所在直线的函数解析式;(2)若把翻折后的图形沿y轴正半轴向上平移m个单位,连接OF,若OAF是等腰三角形,求m的值.图T2-14【参考答案】1.A解析如图所示,过点O作OGAB于点G,过点C作CDy轴于点D,y=-2x+4中,令x=0,得y=4,B(0,4),令y=0,得x=2,A(2,0),令x=4,得y=-4,n=-4,
6、C(4,-4).tanOBA=OAOB=12,OGBG=12.设OG=x,则BG=2x,则有x2+(2x)2=42,解得x=455x=-455舍去,OG=455,BG=855,CD=4,DB=8,BC=42+82=45,CG=1255,tanOCB=OGCG=13.2.32解析直线y=kx+4与y轴交点A的坐标为(0,4),直线y=-2x+1与y轴交点C的坐标为(0,1),AC=4-1=3,点B(-1,m),|xB|=1,SABC=12AC|xB|=1231=32.3.y=x+1解析设直线y=kx+b交x轴于点C,如图所示,直线y=kx+b(b0)与直线y=x平行,k=1.直线y=x+b分别交
7、x轴、y轴于点C、点B,B(0,b),C(-b,0),OB=OC=b.BOC=90,BOC是等腰直角三角形,BCO=45,=BCO+BAO=75,BAO=30,A(3,0),OA=3,在RtAOB中,AOB=90,tanBAO=OBOA,OB=OAtanBAO=3tan30=1,b=1,直线y=kx+b的解析式为y=x+1.4.125,65或(-4,-2)解析直线y=-12x+6,当x=0时,y=6,当y=0时,x=12,则B(12,0),C(0,6),解方程组:y=-12x+6,y=12x,得x=6,y=3,则A(6,3).ACD为直角三角形,ADC=90或ACD=90.当ADC=90时,C
8、DOA,设直线CD的解析式为y=-2x+b,把C(0,6)的坐标代入得,b=6,直线CD的解析式为y=-2x+6,解y=-2x+6,y=12x得x=125,y=65,D125,65;当ACD=90时,DCBC,设直线CD的解析式为y=2x+a,把C(0,6)的坐标代入得,a=6,直线CD的解析式为y=2x+6,由y=2x+6,y=12x,得x=-4,y=-2,D(-4,-2).综上所述,D点坐标为125,65或(-4,-2).5.解:令y=0得,0=33x-3,解得x=33,令x=0得,y=-3,点B的坐标为(0,-3),点A的坐标为(33,0),OB=3,AO=33,tanOAB=OBOA=
9、333=33,OAB=30.OAC=2OAB,OAC=60,CAB=CAO+OAB=90,CAAB,设直线AC的解析式为y=-3x+b.点A(33,0)在直线AC上,0=-333+b,解得b=9,直线AC的解析式为y=-3x+9.6.B解析作点A(0,1)关于x轴的对称点D,连接BD交x轴于C,则D(0,-1),此时CA+CB有最小值.设直线BD的解析式为y=kx+b,B(3,2),D(0,-1)在直线BD上,b=-1,2=3k+b,解得:k=1,b=-1,直线BD的解析式为y=x-1,当y=0时,x=1,C(1,0).7.C解析在y轴的正半轴上截取OF=OE=3,连接EF,A为直线y=x上一
10、点,OA垂直平分EF,点E,F关于直线y=x对称,连接BF交OA于P,根据两点之间线段最短可知此时BEP周长最小,最小值为BF+EB.OF=3,OB=4,BF=OF2+OB2=5,EB=4-3=1,BEP周长的最小值为BF+EB=5+1=6.8.B解析作点A关于x轴的对称点C,连接BC并延长交x轴于点P,A(1,1),点C的坐标为(1,-1).设直线BC的解析式为y=kx+b,k+b=-1,2k+b=-3,解得k=-2,b=1,直线BC的解析式为y=-2x+1,当y=0时,0=-2x+1,得x=12,点P的坐标为12,0,当B,C,P不共线时,根据三角形三边的关系可得:|PA-PB|=|PC-
11、PB|BC,B,C,P三点共线时,|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值.故选B.9.31解析如图,过B作BEy轴于E,连接BP,OAB是边长为4的等边三角形,OD是AB边上的高,D是AB的中点,OD垂直平分AB,AP=BP,PA+PC=BP+PC,当C,P,B三点共线时,PA+PC的最小值等于BC的长,BOE=90-60=30,OB=4,BE=2,OE=23,又点C的坐标是(0,-3),OC=3,CE=33,RtBCE中,BC=BE2+CE2=22+(33)2=31,即PA+PC的最小值是31.10.y=-3x+23解析连接OC,过点C作CDx轴于点D,将AOB沿直线AB翻折得ACB
12、,C(3,3),AO=AC,OD=3,DC=3,BO=BC,则tanCOD=CDOD=33,故COD=30,BOC=60,BOC是等边三角形,CAD=60,则sin60=CDAC,即AC=DCsin60=332=2,故A(2,0).OD=3,DC=3,OC=OD2+DC2=23.故BO=23,点B的坐标为(0,23),设直线AB的解析式为y=kx+b,则2k+b=0,b=23,解得k=-3,b=23,直线AB的解析式为y=-3x+23.11.y=335x解析当x=0时,y=-32x+23=23,则B(0,23).当y=0时,-32x+23=0,解得x=4,则A(4,0).AB=(23)2+42
13、=27,ABC为等边三角形,BC=AC=27,设C(x,y),则(x-4)2+y2=28,x2+(y-23)2=28,解得x=5,y=33或x=-1,y=-3(舍去),C(5,33).设直线OC的解析式为y=kx,把C(5,33)的坐标代入,得5k=33,解得k=335,直线OC的解析式为y=335x.12.y=-33x+4解析如图,过点A作ADx轴于D.由菱形OCBA的一个顶点在原点O处,C点的坐标是(0,4),得OC=OA=4.又1=60,2=30,sin2=ADOA=12,AD=2.cos2=cos30=ODOA=32,OD=23,A(23,2).设直线AC的解析式为y=kx+b,将A,
14、C点坐标代入函数解析式,得23k+b=2,b=4,解得k=-33,b=4,直线AC的解析式为y=-33x+4.13.y=15x+4解析一次函数y=-23x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=6,点B的坐标是(0,4),点A的坐标是(6,0).如图,作CDx轴于点D,BAC=90,OAB+CAD=90,又CAD+ACD=90,ACD=BAO.在ABO与CAD中,BAO=ACD,BOA=ADC=90,AB=CA,ABOCAD(AAS),OB=AD=4,OA=CD=6,OD=OA+AD=10,点C的坐标是(10,6).设直线BC的解析式是y=kx+b,根据题意得:10k+b=6,b=4,解得
15、k=15,b=4,直线BC的解析式是y=15x+4.14.解:(1)四边形ABCD是矩形,AD=CB=5,AB=DC=3,D=DCB=ABC=90,由折叠得:AF=AD=5,EF=DE,在RtABF中,BF=AF2-AB2=4,CF=1.设EC=x,则EF=3-x,在RtECF中,12+x2=(3-x)2,解得x=43,E点坐标为5,43,设AE所在直线的函数解析式为y=ax+b,则b=3,5a+b=43,解得:a=-13,b=3,AE所在直线的函数解析式为y=-13x+3.(2)分三种情况讨论:若AO=AF=5,则BO=AO-AB=2,m=2;若OF=FA,则AB=OB=3,m=3;若AO=OF,则在RtOBF中,OF2=OB2+BF2=m2+16,(m+3)2=m2+16,解得m=76.综上所述,若OAF是等腰三角形,则m的值为3或2或76.
