1、提分专练(五)以三角形为背景的中档计算题与证明题|类型1|与特殊三角形相关的计算、证明题1.如图T5-1,在ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.(1)求证:EF=12AC;(2)若BAC=45,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.图T5-12.2017连云港如图T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图T5-2|类型2|与全等三角形相关的计算、证明题3.如
2、图T5-3,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AEBC,CEAE,垂足为E.(1)求证:ABDCAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T5-34.2019黄石如图T5-4,在ABC中,BAC=90,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EFAE,过点A作AFBC,且AF,EF相交于点F.(1)求证:C=BAD;(2)求证:AC=EF.图T5-4|类型3|与相似三角形相关的计算、证明题5.2019衢州如图T5-5,在RtABC中,C=90,AC=6,BAC=60,AD平分BAC交BC于点D,过点D作DEAC交AB于点E
3、,点M是线段AD上的动点,连接BM并延长分别交DE,AC于点F,G.(1)求CD的长.(2)若点M是线段AD的中点,求EFDF的值.(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得CPG=60?备用图图T5-56.2018东营(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图T5-6,在ABC中,点O在线段BC上,BAO=30,OAC=75,AO=33,BOCO=13,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BDAC,交AO的延长线于点D,通过构造ABD就可以解决问题(如图).请回答:ADB=,AB=.(2)请参考以上解题思路,解决下列问题:如图,在四边形ABCD中,
4、对角线AC与BD相交于点O,ACAD,AO=33,ABC=ACB=75,BOOD=13,求DC的长.图T5-6【参考答案】1.解:(1)证明:连接CE.CD=CB,点E为BD的中点,CEBD.点F为AC的中点,EF=12AC.(2)BAC=45,CEBD,AEC是等腰直角三角形.点F为AC的中点,EF垂直平分AC,AM=CM.CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,BC=AM+DM.2.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD,所以ABE=ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=F
5、CB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.3.解:(1)证明:AB=AC,B=ACD.AEBC,EAC=ACD,B=EAC.AD是BC边上的中线,ADBC.CEAE,ADB=AEC=90.在ABD和CAE中,B=EAC,ADB=AEC,AB=CA,ABDCAE(AAS).(2)ABDE,AB=DE.证明:由(1)知ABDCAE,AE=BD.又AEBD,四边形ABDE为平行四边形,ABDE,AB=DE.4.证明:(1)AB=AE,D为线段BE的中点,ADBC,C+DAC=90,BAC=90,BAD+DAC=90,C=BAD.(2)
6、AFBC,FAE=AEB,AB=AE,B=AEB,B=FAE,且AEF=BAC=90,AB=AE,ABCEAF(ASA),AC=EF.5.分析:(1)根据三角函数求得DC;(2)证明DFMAGM,再利用BFEBGA,由相似比求得EFDF的值;(3)根据CPG=60,过C,P,G作圆,圆心为Q,CQG是顶角为120的等腰三角形,根据Q与DE相切,经过点E,经过点D三种情况分别求得DM的长,最后得出DM的长需满足的条件.解:(1)AD平分BAC,BAC=60,DAC=12BAC=30.在RtADC中,DC=ACtan30=23.(2)易得,BC=63,BD=43.由DEAC,得EDA=DAC,DF
7、M=AGM.AM=DM,DFMAGM,DF=AG.由DEAC,得BFEBGA,EFAG=BEAB=BDBC,EFDF=EFAG=BDBC=4363=23.(3)CPG=60,过C,P,G作圆,圆心为Q,CQG是顶角为120的等腰三角形.当Q与DE相切时,如图,过Q点作QHAC,并延长HQ与DE交于点P,连接QC,QG.设Q的半径QP=r,则QH=12r,r+12r=23,解得r=43 3,CG=43 33=4,AG=2.易知DFMAGM,可得DMAM=DFAG=43,则DMAD=47.DM=1637.当Q经过点E时,如图,过C点作CKAB,垂足为K.设Q的半径QC=QE=r,则QK=33-r.
8、在RtEQK中,12+(33-r)2=r2,解得r=1439,CG=14393=143,易知DFMAGM,可得DM=1435.当Q经过点D时,如图,此时点M与点G重合,且恰好在点A处,可得DM=43.综上所述,当DM=1637或1435DM43时,满足条件的点P只有一个.6.解析(1)利用两直线平行,内错角相等,可得ADB=OAC=75和AOC与DOB相似,于是得DO=3,再利用三角形内角和定理可求得ABD=75,所以AB=AD=43.(2)同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长.解:(1)BDAC,ADB=OAC=75.又DOB=AOC,DOBAOC,DOAO=BOCO=13.A
9、O=33,DO=3,AD=AO+DO=33+3=43.在ABD中,BAO=30,ADB=75,ABD=180-BAO-ADB=180-30-75=75,ABD=ADB,AB=AD=43.(2)过点B作BEAD交AC于点E.ACAD,DAC=BEA=90.又AOD=EOB,AODEOB,BODO=EOAO=BEDA.BOOD=13,EOAO=BEDA=13.AO=33,EO=3,AE=43.ABC=ACB=75,BAC=30,AB=AC,AB=2BE.在RtAEB中,AE2+BE2=AB2,即(43)2+BE2=(2BE)2,得BE=4,AB=AC=8,AD=12.在RtCAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,得CD=413.
