1、温州市2019届高三2月高考适应性测试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则等于（ ）A. 1 -iB. 1 +iC. - 1 - iD. - 1i2.已知集合 A1，2，1，集合 By | yx2，xA，则AB（ ）A. 1B. 1，2，4C. -1，1，2，4D. 1，43.已知a，b都是实数，那么“”是“” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.双曲线的一个顶点坐标是（ ）A. ( 2，0)B. ( ，0)C. (0，)D. (0 ，)5.以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（
2、 ）A. B. C. D. 6.随机变量 X 的分布列如下表所示，X024Pa则 D X ( )（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.在平面上，是方向相反的单位向量，|2 ，(-) (-) 0 ，则|-|的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 38.已知实数 a 0，b 0，a 1，且满足lnb ，则下列判断正确的是（ ）A. a bB. a 1D. b 19.在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ）A. PEQF2B. PEQF2C. PE2QFD. PE2QF2210
3、.已知数列 满足00恒成立，求实数a的值；（II）若直线l:与的图像相切于点Q(m，n) ；（i）试用m表示a与k；（ii）若对给定的k，总存在三个不同的实数a1，a2，a3，使得直线l与曲线，同时相切，求实数k的取值范围。温州市2019届高三2月高考适应性测试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则等于（ ）A. 1 -iB. 1 +iC. - 1 - iD. - 1i【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简得答案【详解】，故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2.已知集合 A1，2，1，集合 By
4、| yx2，xA，则AB（ ）A. 1B. 1，2，4C. -1，1，2，4D. 1，4【答案】C【解析】【分析】将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的并集即可【详解】当x1时，y1；当x2时，y4；当x时，y，B1，4，AB-1，1，2，4故选：C【点睛】本题考查了并集的定义及其运算，用列举法表示集合时，注意集合中元素的互异性3.已知a，b都是实数，那么“”是“” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【
5、详解】对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“ab”等价；同样对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“ab”也等价；所以“”是“” 的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键4.双曲线的一个顶点坐标是（ ）A. ( 2，0)B. ( ，0)C. (0，)D. (0 ，)【答案】D【解析】【分析】先将双曲线方程化为标准方程，即可得到顶点坐标.【详解】双曲线化为标准方程为：，=，且实轴在y轴上，顶点坐标是（），故选D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础5.以下不等式组表示的平
6、面区域是三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由选项依次作出不等式组对应的平面区域，即可得结论.【详解】A选项：表示的区域如图：不满足题意；B选项：表示的区域如图：不满足题意；C选项：表示的区域如图：不满足题意；D选项：表示的区域如图：满足题意；故选D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，属于基础题.6.随机变量 X 的分布列如下表所示，X024Pa则 D X ( )（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质解出a，再利用方差公式求方差即可【详解】由题意，a，E(x)= 0+2+4=2,D(X)（02）2+（2
7、2）2+（42）22,故选B.【点睛】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算，属于基础题7.在平面上，是方向相反的单位向量，|2 ，(-) (-) 0 ，则|-|的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】将已知数量积运算得到|，由向量模的几何意义结合图形可求得|-|的最大值.【详解】由题意(-) (-) 0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即|1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了向量模的几何意义的
8、应用，考查了数形结合思想，属于中档题.8.已知实数 a 0，b 0，a 1，且满足lnb ，则下列判断正确的是（ ）A. a bB. a 1D. b 1【答案】C【解析】【分析】通过构造函数，由函数的单调性及值域对A,B选项取对数进行作差比较，而对C，D用换底公式变形后进行判断.【详解】令函数f(x)=-2lnx，则，所以f(x)单调递增，又f(1)=0，可得f(x)0在（1，）恒成立，取，则f()=lnb，当时，f()0，即lnb0,b0，即lnb0,ba；故A，B不一定成立；又当时， lnb 1；当时， lnb0, 所以,得到b 1.故选C.【点睛】本题考查了构造函数法，考查了利用导数研究
9、函数的单调性、值域问题，涉及到对数中的换底公式运算，属于有难度的题型.9.在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ）A. PEQF2B. PEQF2C. PE2QFD. PE2QF22【答案】D【解析】【分析】先由对称性找到PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动，利用向量的加减运算，得到，结合正四面体的特征将等式平方得到4，由圆的定义得到结论.【详解】如图：取BC、BD、AC、AD的中点为G、H、K、L，因为P、Q是定点，所以PQ的中点O为定点，由对称性可知，PQ、EF的中点在中截面
10、GHLK上运动，+=+,，又在正四面体中，对棱垂直，PEQF，4=若点M的轨迹是以O为圆心的圆，则为定值，只有D符合题意，故选D.【点睛】本题考查了向量的三角形法则的应用，考查了曲线的轨迹的求法，属于较难题型.10.已知数列 满足0；且，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：可得，单调递增，此时不动点为，当n时，则有，.当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，综上可得，故选A.【点睛】本题考查了数列的递推关系的应用，涉及三角函数的运算，考查了由特殊到一般的思维方法，考查了分类讨论与数形结合思想，属于难题.二、填空题11.我国古代三国时期
11、吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a，b，有，则ab_，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为_ 【答案】 (1). 7 (2). 【解析】【分析】由条件直接运算即可.【详解】由得到，又a，b均为正数，所以ab7，不妨设a0恒成立，求实数a的值；（II）若直线l:与的图像相切于点Q(m，n) ；（i）试用m表示a与k；（ii）若对给定的k，总存在三个不同的实数a1，a2，a3，使得直线l与曲线，同时相切，求实数k的取值范围。【答案】（I）（II）（i）.（ii）见解析【解析】【分析
12、】（I）利用说明是的最大值，也是极大值，求得a，再证明必要性；（II）（i）利用导数的几何意义及切点既在曲线上又在直线上，列出方程组，解得a，k.（ii）根据题意求得方程：有三个不同的解时的k的范围，再去证明与a是一一对应的.【详解】（I），又恒成立，是的最大值，；反过来，当时，单调递减，又，在（0，1）上递增，在（1，上递减，恒成立.（II）（i），由切点，则有：，把代入可得：，代入式得：（*），（ii）根据题意方程（*）有三个不同的解，令=由，解得两根分别为与当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减的极小值为；的极大值为又时，当时，方程（*）有三个不同的根，下面说明三个不同的对应的也是不同的：设方程（*）的三个不同的根分别为：，且则有：，显然只需说明即可，又由可得：即，假设，则有，即即即，令，即设在上是减函数，即，与矛盾假设不真，即当，存在三个不同的实数使得直线与曲线，同时相切【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性极值最值，同时考查了一定的论证能力及计算能力，考查了转化思想，属于难题
