2019-2020学年浙江省杭州市八校联盟高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2019-2020学年浙江省杭州市八校联盟高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a3,A60o,C45o,则边长c()ABCD2(4分)等比数列an中,已知a21,a3a69,则a7()A3B7C8D93(4分)下列说法正确的是()A当x0时,B当时,C当x2时,的最小值为2D当0x1时,无最大值4(4分)关于x的不等式|x|+|x1|4的解集是()ABCD5(4分)下列命题中为假命题的是()A垂直于同一直线的两个平面平行B垂直于同一直线的两条直线

2、平行C平行于同一直线的两条直线平行D平行于同一平面的两个平面平行6(4分)若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等,则直线l的斜率k是()Ak1或k3Bk1或 k3Ck1Dk1或k37(4分)等差数列的公差为d,前n项和为Sn,若a10,d0,S4S11,则当Sn取得最大值时,n()A7B8C7和8D158(4分)如图,在正四面体ABCD中(棱长均相等的四面体叫做正四面体),M是线段BC的中点,P是线段AM上的动点,则直线DP和BC所成角的大小()A90oB60oC45oD与P的位置有关9(4分)设a、b、c分别为ABC中A、B、C对边的边长,则直线xsinB+by+2c0与直线axy

3、sinA+cosC0的位置关系()A平行B重合C相交但不垂直D垂直10(4分)平行四边形ABCD中,ABD60,BAD95,将ABD绕直线BD旋转至与面BCD重合,在旋转过程中(不包括起始位置和终止位置),有可能正确的是()AABCDBABCDCADBCDACBD二、填空题:本大题共6小题,多空题每空3分,单空题每题4分,共30分11(6分)已知数列an的通项公式,则a2   ,前2019项和S2019   12(6分)已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则这个球的半径为   ,球的表面积为   13(6分)一个锥体的三视图如

4、图所示,则此几何体的侧面积为   ,体积为   14(4分)在ABC中,已知AB2,AC3,BC4,M是BC的中点,则AM   15(4分)已知两条平行直线l1:3x+4y+10,l2:6x+ay+b0间的距离为2,则b   16(4分)记minx,y,z表示x、y、z中的最小值已知a0,b0,则的最大值为   三、解答题:本大题共5小题,共50分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(8分)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a2+bcb2+c2()求证:角B、A、C成等差数列;()若SABC2,求a的最小值18(8分)已

5、知集合Ax|x27x+60,集合Bx|x2(3a+1)x+2a(a+1)0()求A;()若BA,求a的取值范围19(12分)在平面直角坐标系中,直线2xy0和直线x+y30的交点为P()直线l经过点P,且直线l与直线2x+3y40垂直,求直线l的方程;()直线m经过点P,且直线m与直线2x+3y40平行,求直线m的方程;()若直线ax+by20(a0,b0)过点P,求的最小值20(12分)在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,且ABBC1,AD2,点E是线段PD的中点()求证:CE平面PAB;()求证:平面PAC平面PCD;()当直线PC与平面PA

6、D所成的角大小为30o时,求线段PA的长21(10分)已知数列an的前n项和记为Sn,且满足n、an、Sn成等差数列()求a1,a2的值,并证明:数列an+1是等比数列;()证明:2019-2020学年浙江省杭州市八校联盟高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a3,A60o,C45o,则边长c()ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解:a3,A60o,C45o,由正弦定理,可得c故选:B【点评】本题主要考查了正弦定理

7、在解三角形中的应用,属于基础题2(4分)等比数列an中,已知a21,a3a69,则a7()A3B7C8D9【分析】根据等比中项的性质a3a6a2a7,即可得到所求【解答】解:依题意,数列an为等比数列,所以a2a7a3a69,即a79,故选:D【点评】本题考查了等比中项的性质,主要考查对等比数列性质的应用能力,属于基础题3(4分)下列说法正确的是()A当x0时,B当时,C当x2时,的最小值为2D当0x1时,无最大值【分析】当x0时,由基本不等式可得,2,当cosx0时,cosx+0,当x2时,由对勾函数的单调性可知,yx在2,+)上单调递增,当0x1时,函数yx单调递增,故当x1时函数取得最大

8、值,从而可求【解答】解:当x0时,由基本不等式可得,2,当且仅当即x1时取等号;故A正确;当cosx0时,cosx+0,故B错误;当x2时,由对勾函数的单调性可知,yx在2,+)上单调递增,故当x2时,函数取得最小值,故C错误;当0x1时,函数yx单调递增,故当x1时函数取得最大值0,故D错误故选:A【点评】本题主要考查 了基本不等式在最值求解中的应用,及利用函数的单调性求解函数的最值,属于基础试题4(4分)关于x的不等式|x|+|x1|4的解集是()ABCD【分析】|x|+|x1|,根据|x|+|x1|4,可得或,然后解出不等式即可【解答】解:|x|+|x1|x|+|x1|4,或,x或x,不

9、等式的解集为x|x或x故选:C【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想和计算能力,属基础题5(4分)下列命题中为假命题的是()A垂直于同一直线的两个平面平行B垂直于同一直线的两条直线平行C平行于同一直线的两条直线平行D平行于同一平面的两个平面平行【分析】根据平行公理,平行线的定义,以及面面平行的判定定理,对各选项分析判断即可求解【解答】解:由面面平行的判定定理可得,垂直于同一直线的两个平面平行,故A正确;这三条直线在同一平面内,方可,故B错误;由平行公理可得,平行于同一直线的两条直线平行,故C正确;平行于同一平面的两个平面平行,根据平行公理知D正确;故选:B【点评】本题考查空间

10、线面和线线、面面的位置关系的判断,考查平行和垂直的判断和性质,考查空间想象能力和推理能力,属于基础题6(4分)若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等,则直线l的斜率k是()Ak1或k3Bk1或 k3Ck1Dk1或k3【分析】通过分类讨论,利用斜率计算公式即可得出【解答】解:直线l经过原点时,可得斜率k3直线不经过原点时,直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等,经过点(a,0),(0,a)(a0)k1综上可得:直线l的斜率k1或3故选:A【点评】本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7(4分)等差数列的公差为d,前n项和为Sn,若a10,d0

11、,S4S11,则当Sn取得最大值时,n()A7B8C7和8D15【分析】根据S4S11,可得a80,进而根据已知条件可得当Sn取得最大值时n的值【解答】解:依题意,S4S11,即S11S47a80,a80,又数列an中,a10,d0,所以数列an的前7项大于0,所以当Sn取得最大值时,n7或n8,故选:C【点评】本题考查了等差数列的单调性,等差数列的前n项和,考查分析解决问题的能力,推理能力和计算能力,属于基础题8(4分)如图,在正四面体ABCD中(棱长均相等的四面体叫做正四面体),M是线段BC的中点,P是线段AM上的动点,则直线DP和BC所成角的大小()A90oB60oC45oD与P的位置有

12、关【分析】连接DM,可以证到BCDM,BCPM,从而证到BC平面DMP,所以BCDP,就可以知道所成角为90度【解答】解:连接DM四面体是正四面体,M是BC的中点DBC是等边三角形、ABC是底边为BC的等腰三角形BCDM,BCPMDM平面DMP,PM平面DMP,DMPMM,BC平面DMPBCDP直线DP与BC所成角为900故选:A【点评】本题考查一条直线与平面垂直的判定定理,属于中等题9(4分)设a、b、c分别为ABC中A、B、C对边的边长,则直线xsinB+by+2c0与直线axysinA+cosC0的位置关系()A平行B重合C相交但不垂直D垂直【分析】由相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理

13、即可判断出位置关系【解答】解:asinBbsinA0,由正弦定理可知恒成立直线xsinB+by+2c0与直线axysinA+cosC0的垂直故选:D【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10(4分)平行四边形ABCD中,ABD60,BAD95,将ABD绕直线BD旋转至与面BCD重合,在旋转过程中(不包括起始位置和终止位置),有可能正确的是()AABCDBABCDCADBCDACBD【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解【解答】解:在A中,ABCD,不可能,若ABCD,则AB与CD共面,在旋转过程中不可能共面故A错误;在B中,

14、ABD60,BAD95,C95,ABCD有可能故B正确;在C中,ADB180609525,ADC85,ADE90,CDF90855,CFD90,但此时是终止位置,C不正确在D中,如图,在旋转过程中,点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE,ABD60ABD45,CGB90,在旋转过程中AC与BD的夹角(钝角部分)会越来越大,D选项不可能故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题二、填空题:本大题共6小题,多空题每空3分,单空题每题4分,共30分11(6分)已知数列an的通项公式,则a2,前2019项和S2019【分析】

15、直接利用数列的通项公式求出结果,进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解:数列an的通项公式,所以所以1故答案为:,【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型12(6分)已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则这个球的半径为,球的表面积为50【分析】直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式,进一步求出半径和球的表面积【解答】解:个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则该球体为长方体的外接球体,设球的半径为r,则(2r)232+42+52,解得r,故球

16、的表面积为S4r250故答案为:,50【点评】本题考查的知识要点:长方体和外接球体的关系,球体的表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型13(6分)一个锥体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积为80,体积为64【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为正四棱锥,底面边长为8,斜高为5,再由侧面积与体积公式求解【解答】解:由三视图还原原几何体如图,可知该几何体为正四棱锥,底面边长为8,斜高为5,则此几何体的侧面积为;体积V故答案为:80;64【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题14(4分)在ABC中,已知AB2,AC3,B

17、C4,M是BC的中点,则AM【分析】先由余弦定理求出cosC;再利用中点的定义和余弦定理,即可求出中线AM的长【解答】解:由题ABC中,AB2,BC4,AC3所以由余弦定理得,cosC如图所示,M是BC的中点,BMMC2,AM2AC2+CM22ACCMcosC32+22232,AM即中线AM的长为故答案为:【点评】本题主要考查了余弦定理,考查了计算能力和转化思想,属于中档题15(4分)已知两条平行直线l1:3x+4y+10,l2:6x+ay+b0间的距离为2,则b22或18【分析】根据两直线平行求出a的值,再根据两平行线间的距离列方程求出b的值【解答】解:两条平行直线l1:3x+4y+10,l

18、2:6x+ay+b0,则3a640,解得a8;所以直线l1:6x+8y+20,l2:6x+8y+b0;则两平行线间的距离为2,解得b22或18故答案为:22或18【点评】本题考查了两直线平行的条件和平行线之间的距离计算问题,是基础题16(4分)记minx,y,z表示x、y、z中的最小值已知a0,b0,则的最大值为【分析】由a0,b0,讨论当ab时,当ab时,由不等式的缩放和基本不等式可求解【解答】解:a0,b0,ab,则,而a+a+a+2,可得a,最多有一个大于等于,ab,则,而b+b+b+2,可得b,最多有一个大于等于,综上,则的最大值为,故答案为【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查分类

19、讨论思想方法,以及不等式的性质,是一道中档题三、解答题:本大题共5小题,共50分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(8分)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a2+bcb2+c2()求证:角B、A、C成等差数列;()若SABC2,求a的最小值【分析】()直接利用余弦定理的应用求出结果()利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】()证明:在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a2+bcb2+c2整理得,由于0A,所以,所以,所以角B、A、C成等差数列()解:由于,所以,所以a2b2+c22bccosA2bcbcbc,所以,解得【点评】

20、本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,基本不等式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型18(8分)已知集合Ax|x27x+60,集合Bx|x2(3a+1)x+2a(a+1)0()求A;()若BA,求a的取值范围【分析】()由一元二次不等式的性质能求出集合A()由集合Bx|x2(3a+1)x+2a(a+1)0x|(x2a)(xa1)0,由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围【解答】解:()集合Ax|x27x+60x|1x6,()集合Bx|x2(3a+1)x+2a(a+1)0x|(x2a)(xa1)0当2aa+1,即a1时,B(a+1,2a)A(1,

21、6),解得1a3当2aa+1,即a1时,B,符合题意,当2aa+1,即a1时,B(2a,a+1)A(1,6),解得综上所述,a的取值范围是,3【点评】本题考查集合的求法,考查实数的取值范围的求法,考查分类讨论思想、集合性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题19(12分)在平面直角坐标系中,直线2xy0和直线x+y30的交点为P()直线l经过点P,且直线l与直线2x+3y40垂直,求直线l的方程;()直线m经过点P,且直线m与直线2x+3y40平行,求直线m的方程;()若直线ax+by20(a0,b0)过点P,求的最小值【分析】联立方程可得,x1,y2即P(1,2),(I)由题意可求直线l的

22、斜率k,由点斜式方程可求;(II)可设直线m的方程为2x+3y+C0,然后由直线m过P(1,2),代入可求C,进而可求直线方程;(III)由直线ax+by20(a0,b0)过P(1,2),可得+2b2,然后结合()(),展开后利用基本不等式即可求解【解答】解:联立方程可得,x1,y2即P(1,2),(I)由题意可知直线l的斜率k,直线l经过点P(1,2),直线l的方程为y2即3x2y+10,(II)设直线m的方程为2x+3y+C0,由于直线m过P(1,2),所以2+6+C0即C8,(III)直线ax+by20(a0,b0)过P(1,2),所以a+2b2,即,()(),当且仅当即a时取等号,的最

23、小值【点评】本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用,属于中档题20(12分)在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,且ABBC1,AD2,点E是线段PD的中点()求证:CE平面PAB;()求证:平面PAC平面PCD;()当直线PC与平面PAD所成的角大小为30o时,求线段PA的长【分析】()取线段PA的中点F,连接EF、BF,得出EFBC,四边形BCEF是平行四边形,即证CEFB,得出CE平面PAB;()由题意得出ACCD,PACD,可证CD平面PAC,从而证明平面PAC平面PCD;()取线段AD中点H,连接CH、PH,可得CHA

24、D,CHPA,即证CH平面PAD;得出CPH是直线PC与平面PAD所成的角,从而求得PA的值【解答】()证明:取线段PA的中点F,连接EF、BF,则EFBC,且EFBC1,所以四边形BCEF是平行四边形,所以CEFB;又CE平面PAB,BF平面PAB,所以CE平面PAB;()证明:由题意得,ACCD,又AD2,所以ACCD;又PA平面ABCD,所以PACD,且PAACA,所以CD平面PAC,又CD平面PCD,所以平面PAC平面PCD;()解:取线段AD中点H,连接CH、PH,可得CHAD,CHPA,且ADPAA,所以CH平面PAD;所以CPH是直线PC与平面PAD所成的角,所以CPH30;所以

25、PC2CH2AB2;又AC,所以PA【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题,也考查了推理与计算能力,是中档题21(10分)已知数列an的前n项和记为Sn,且满足n、an、Sn成等差数列()求a1,a2的值,并证明:数列an+1是等比数列;()证明:【分析】()先根据已知条件把1,2带入,即可求出前两项,再根据n、an、Sn成等差数列,得到一个新等式,两个相结合即可证明结论()根据第一问的结论得到数列an的通项,对通项进行适当的放缩即可证明【解答】解:()由已知n、an、Sn成等差数列,可得2anSn+n;   令n1,可得a11,令n2,可得2a2S2+2,a23;2an1Sn1+(n1)(n2)     得:2an2an1an+1,即an2an1+1;an+12(an1+1),(n2);有a11,可得a1+12数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列()由()an+12n,an2n12+2+2+2+2+22n2+2+2+2n+(1+)2n+2n+2(1)2n+22n+2n+2【点评】本题主要考查数列与不等式的综合问题,一般这类题目的难点在于放缩程度的把握,属于难题

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