1、2019-2020学年浙江省杭州市八校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a3，A60o，C45o，则边长c（）ABCD2（4分）等比数列an中，已知a21，a3a69，则a7（）A3B7C8D93（4分）下列说法正确的是（）A当x0时，B当时，C当x2时，的最小值为2D当0x1时，无最大值4（4分）关于x的不等式|x|+|x1|4的解集是（）ABCD5（4分）下列命题中为假命题的是（）A垂直于同一直线的两个平面平行B垂直于同一直线的两条直线
2、平行C平行于同一直线的两条直线平行D平行于同一平面的两个平面平行6（4分）若直线l过点（1，3）且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是（）Ak1或k3Bk1或 k3Ck1Dk1或k37（4分）等差数列的公差为d，前n项和为Sn，若a10，d0，S4S11，则当Sn取得最大值时，n（）A7B8C7和8D158（4分）如图，在正四面体ABCD中（棱长均相等的四面体叫做正四面体），M是线段BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小（）A90oB60oC45oD与P的位置有关9（4分）设a、b、c分别为ABC中A、B、C对边的边长，则直线xsinB+by+2c0与直线axy
3、sinA+cosC0的位置关系（）A平行B重合C相交但不垂直D垂直10（4分）平行四边形ABCD中，ABD60，BAD95，将ABD绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是（）AABCDBABCDCADBCDACBD二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共30分11（6分）已知数列an的通项公式，则a2 ，前2019项和S2019 12（6分）已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则这个球的半径为 ，球的表面积为 13（6分）一个锥体的三视图如
4、图所示，则此几何体的侧面积为 ，体积为 14（4分）在ABC中，已知AB2，AC3，BC4，M是BC的中点，则AM 15（4分）已知两条平行直线l1：3x+4y+10，l2：6x+ay+b0间的距离为2，则b 16（4分）记minx，y，z表示x、y、z中的最小值已知a0，b0，则的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（8分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a2+bcb2+c2（）求证：角B、A、C成等差数列；（）若SABC2，求a的最小值18（8分）已
5、知集合Ax|x27x+60，集合Bx|x2（3a+1）x+2a（a+1）0（）求A；（）若BA，求a的取值范围19（12分）在平面直角坐标系中，直线2xy0和直线x+y30的交点为P（）直线l经过点P，且直线l与直线2x+3y40垂直，求直线l的方程；（）直线m经过点P，且直线m与直线2x+3y40平行，求直线m的方程；（）若直线ax+by20（a0，b0）过点P，求的最小值20（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，且ABBC1，AD2，点E是线段PD的中点（）求证：CE平面PAB；（）求证：平面PAC平面PCD；（）当直线PC与平面PA
6、D所成的角大小为30o时，求线段PA的长21（10分）已知数列an的前n项和记为Sn，且满足n、an、Sn成等差数列（）求a1，a2的值，并证明：数列an+1是等比数列；（）证明：2019-2020学年浙江省杭州市八校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a3，A60o，C45o，则边长c（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：a3，A60o，C45o，由正弦定理，可得c故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理
7、在解三角形中的应用，属于基础题2（4分）等比数列an中，已知a21，a3a69，则a7（）A3B7C8D9【分析】根据等比中项的性质a3a6a2a7，即可得到所求【解答】解：依题意，数列an为等比数列，所以a2a7a3a69，即a79，故选：D【点评】本题考查了等比中项的性质，主要考查对等比数列性质的应用能力，属于基础题3（4分）下列说法正确的是（）A当x0时，B当时，C当x2时，的最小值为2D当0x1时，无最大值【分析】当x0时，由基本不等式可得，2，当cosx0时，cosx+0，当x2时，由对勾函数的单调性可知，yx在2，+）上单调递增，当0x1时，函数yx单调递增，故当x1时函数取得最大
8、值，从而可求【解答】解：当x0时，由基本不等式可得，2，当且仅当即x1时取等号；故A正确；当cosx0时，cosx+0，故B错误；当x2时，由对勾函数的单调性可知，yx在2，+）上单调递增，故当x2时，函数取得最小值，故C错误；当0x1时，函数yx单调递增，故当x1时函数取得最大值0，故D错误故选：A【点评】本题主要考查 了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题4（4分）关于x的不等式|x|+|x1|4的解集是（）ABCD【分析】|x|+|x1|，根据|x|+|x1|4，可得或，然后解出不等式即可【解答】解：|x|+|x1|x|+|x1|4，或，x或x，不
9、等式的解集为x|x或x故选：C【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属基础题5（4分）下列命题中为假命题的是（）A垂直于同一直线的两个平面平行B垂直于同一直线的两条直线平行C平行于同一直线的两条直线平行D平行于同一平面的两个平面平行【分析】根据平行公理，平行线的定义，以及面面平行的判定定理，对各选项分析判断即可求解【解答】解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；这三条直线在同一平面内，方可，故B错误；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知D正确；故选：B【点评】本题考查空间
10、线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题6（4分）若直线l过点（1，3）且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是（）Ak1或k3Bk1或 k3Ck1Dk1或k3【分析】通过分类讨论，利用斜率计算公式即可得出【解答】解：直线l经过原点时，可得斜率k3直线不经过原点时，直线l过点（1，3）且在两条坐标轴上的截距相等，经过点（a，0），（0，a）（a0）k1综上可得：直线l的斜率k1或3故选：A【点评】本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）等差数列的公差为d，前n项和为Sn，若a10，d0
11、，S4S11，则当Sn取得最大值时，n（）A7B8C7和8D15【分析】根据S4S11，可得a80，进而根据已知条件可得当Sn取得最大值时n的值【解答】解：依题意，S4S11，即S11S47a80，a80，又数列an中，a10，d0，所以数列an的前7项大于0，所以当Sn取得最大值时，n7或n8，故选：C【点评】本题考查了等差数列的单调性，等差数列的前n项和，考查分析解决问题的能力，推理能力和计算能力，属于基础题8（4分）如图，在正四面体ABCD中（棱长均相等的四面体叫做正四面体），M是线段BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小（）A90oB60oC45oD与P的位置有
12、关【分析】连接DM，可以证到BCDM，BCPM，从而证到BC平面DMP，所以BCDP，就可以知道所成角为90度【解答】解：连接DM四面体是正四面体，M是BC的中点DBC是等边三角形、ABC是底边为BC的等腰三角形BCDM，BCPMDM平面DMP，PM平面DMP，DMPMM，BC平面DMPBCDP直线DP与BC所成角为900故选：A【点评】本题考查一条直线与平面垂直的判定定理，属于中等题9（4分）设a、b、c分别为ABC中A、B、C对边的边长，则直线xsinB+by+2c0与直线axysinA+cosC0的位置关系（）A平行B重合C相交但不垂直D垂直【分析】由相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理
13、即可判断出位置关系【解答】解：asinBbsinA0，由正弦定理可知恒成立直线xsinB+by+2c0与直线axysinA+cosC0的垂直故选：D【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（4分）平行四边形ABCD中，ABD60，BAD95，将ABD绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是（）AABCDBABCDCADBCDACBD【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解【解答】解：在A中，ABCD，不可能，若ABCD，则AB与CD共面，在旋转过程中不可能共面故A错误；在B中，
14、ABD60，BAD95，C95，ABCD有可能故B正确；在C中，ADB180609525，ADC85，ADE90，CDF90855，CFD90，但此时是终止位置，C不正确在D中，如图，在旋转过程中，点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE，ABD60ABD45，CGB90，在旋转过程中AC与BD的夹角（钝角部分）会越来越大，D选项不可能故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共30分11（6分）已知数列an的通项公式，则a2，前2019项和S2019【分析】
15、直接利用数列的通项公式求出结果，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：数列an的通项公式，所以所以1故答案为：，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12（6分）已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则这个球的半径为，球的表面积为50【分析】直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式，进一步求出半径和球的表面积【解答】解：个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则该球体为长方体的外接球体，设球的半径为r，则（2r）232+42+52，解得r，故球
16、的表面积为S4r250故答案为：，50【点评】本题考查的知识要点：长方体和外接球体的关系，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13（6分）一个锥体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积为80，体积为64【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，再由侧面积与体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，则此几何体的侧面积为；体积V故答案为：80；64【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14（4分）在ABC中，已知AB2，AC3，B
17、C4，M是BC的中点，则AM【分析】先由余弦定理求出cosC；再利用中点的定义和余弦定理，即可求出中线AM的长【解答】解：由题ABC中，AB2，BC4，AC3所以由余弦定理得，cosC如图所示，M是BC的中点，BMMC2，AM2AC2+CM22ACCMcosC32+22232，AM即中线AM的长为故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15（4分）已知两条平行直线l1：3x+4y+10，l2：6x+ay+b0间的距离为2，则b22或18【分析】根据两直线平行求出a的值，再根据两平行线间的距离列方程求出b的值【解答】解：两条平行直线l1：3x+4y+10，l
18、2：6x+ay+b0，则3a640，解得a8；所以直线l1：6x+8y+20，l2：6x+8y+b0；则两平行线间的距离为2，解得b22或18故答案为：22或18【点评】本题考查了两直线平行的条件和平行线之间的距离计算问题，是基础题16（4分）记minx，y，z表示x、y、z中的最小值已知a0，b0，则的最大值为【分析】由a0，b0，讨论当ab时，当ab时，由不等式的缩放和基本不等式可求解【解答】解：a0，b0，ab，则，而a+a+a+2，可得a，最多有一个大于等于，ab，则，而b+b+b+2，可得b，最多有一个大于等于，综上，则的最大值为，故答案为【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类
19、讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题三、解答题：本大题共5小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（8分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a2+bcb2+c2（）求证：角B、A、C成等差数列；（）若SABC2，求a的最小值【分析】（）直接利用余弦定理的应用求出结果（）利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】（）证明：在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a2+bcb2+c2整理得，由于0A，所以，所以，所以角B、A、C成等差数列（）解：由于，所以，所以a2b2+c22bccosA2bcbcbc，所以，解得【点评】
20、本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18（8分）已知集合Ax|x27x+60，集合Bx|x2（3a+1）x+2a（a+1）0（）求A；（）若BA，求a的取值范围【分析】（）由一元二次不等式的性质能求出集合A（）由集合Bx|x2（3a+1）x+2a（a+1）0x|（x2a）（xa1）0，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围【解答】解：（）集合Ax|x27x+60x|1x6，（）集合Bx|x2（3a+1）x+2a（a+1）0x|（x2a）（xa1）0当2aa+1，即a1时，B（a+1，2a）A（1，
21、6），解得1a3当2aa+1，即a1时，B，符合题意，当2aa+1，即a1时，B（2a，a+1）A（1，6），解得综上所述，a的取值范围是，3【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）在平面直角坐标系中，直线2xy0和直线x+y30的交点为P（）直线l经过点P，且直线l与直线2x+3y40垂直，求直线l的方程；（）直线m经过点P，且直线m与直线2x+3y40平行，求直线m的方程；（）若直线ax+by20（a0，b0）过点P，求的最小值【分析】联立方程可得，x1，y2即P（1，2），（I）由题意可求直线l的
22、斜率k，由点斜式方程可求；（II）可设直线m的方程为2x+3y+C0，然后由直线m过P（1，2），代入可求C，进而可求直线方程；（III）由直线ax+by20（a0，b0）过P（1，2），可得+2b2，然后结合（）（），展开后利用基本不等式即可求解【解答】解：联立方程可得，x1，y2即P（1，2），（I）由题意可知直线l的斜率k，直线l经过点P（1，2），直线l的方程为y2即3x2y+10，（II）设直线m的方程为2x+3y+C0，由于直线m过P（1，2），所以2+6+C0即C8，（III）直线ax+by20（a0，b0）过P（1，2），所以a+2b2，即，（）（），当且仅当即a时取等号，的最
23、小值【点评】本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用，属于中档题20（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，且ABBC1，AD2，点E是线段PD的中点（）求证：CE平面PAB；（）求证：平面PAC平面PCD；（）当直线PC与平面PAD所成的角大小为30o时，求线段PA的长【分析】（）取线段PA的中点F，连接EF、BF，得出EFBC，四边形BCEF是平行四边形，即证CEFB，得出CE平面PAB；（）由题意得出ACCD，PACD，可证CD平面PAC，从而证明平面PAC平面PCD；（）取线段AD中点H，连接CH、PH，可得CHA
24、D，CHPA，即证CH平面PAD；得出CPH是直线PC与平面PAD所成的角，从而求得PA的值【解答】（）证明：取线段PA的中点F，连接EF、BF，则EFBC，且EFBC1，所以四边形BCEF是平行四边形，所以CEFB；又CE平面PAB，BF平面PAB，所以CE平面PAB；（）证明：由题意得，ACCD，又AD2，所以ACCD；又PA平面ABCD，所以PACD，且PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC平面PCD；（）解：取线段AD中点H，连接CH、PH，可得CHAD，CHPA，且ADPAA，所以CH平面PAD；所以CPH是直线PC与平面PAD所成的角，所以CPH30；所以
25、PC2CH2AB2；又AC，所以PA【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题21（10分）已知数列an的前n项和记为Sn，且满足n、an、Sn成等差数列（）求a1，a2的值，并证明：数列an+1是等比数列；（）证明：【分析】（）先根据已知条件把1，2带入，即可求出前两项，再根据n、an、Sn成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论（）根据第一问的结论得到数列an的通项，对通项进行适当的放缩即可证明【解答】解：（）由已知n、an、Sn成等差数列，可得2anSn+n； 令n1，可得a11，令n2，可得2a2S2+2，a23；2an1Sn1+（n1）（n2） 得：2an2an1an+1，即an2an1+1；an+12（an1+1），（n2）；有a11，可得a1+12数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列（）由（）an+12n，an2n12+2+2+2+2+22n2+2+2+2n+（1+）2n+2n+2（1）2n+22n+2n+2【点评】本题主要考查数列与不等式的综合问题，一般这类题目的难点在于放缩程度的把握，属于难题