1、2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题只有一个选项正确每小题4分，共40分）1（4分）已知复数z（i是虚数单位）则复数z的虚部是（）A1B1CiDi2（4分）函数y（2m1）x+b在R上是减函数则（）AmBmCmDm3（4分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）Ay2xBylgxCyx3+xDycosx4（4分）已知集合A2，0，1，9，BN，则AB（）A0，1，9B1，9C2，0，1，9D0，1，9，5（4分）设f（x）lnx+x2，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）6（4分）
2、已知函数f（x），若f（a）+f（1）0，则实数a的值为（）A4B1或2C1D3或17（4分）已知函数f（x）cos（2x+），将函数yf（x）的图象向右平移后得到函数yg（x）的图象，则下列描述正确的是（）A（，0）是函数yg（x）的一个对称中心Bx是函数yg（x）的一条对称轴C（，0）是函数yg（x）的一个对称中心Dx是函数yg（x）的一条对称轴8（4分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的
3、弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（1.73）A15平方米B12平方米C9平方米D6平方米9（4分）如图，函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，|）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为（）ABC8D1610（4分）已知集合M（x，y）|yf（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y20成立，则称集合M是“理想集合”给出下列集合：M（x，y）|y；M（x，y）|ycosx：M（x，y）|yex2：M（x，y）|ylgx其中所有“理想集合”的序号是（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，多空题
4、题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）sin30 ，cos 12（6分）已知向量（2，6），（m，1），若则m ，若则m 13（6分）已知f（x）x23x1，则（f（2）' ，f'（1） 14（6分）在边长等于1的正方形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点，则 ，若，其中，R，则+ 15（4分）已知函数y定义域为R，则实数a的取值范围是 16（4分）设2a5bm，且+2，m 17（4分）设函数f（x）的定义域为D，若对任意的aD
5、，都存在bD，使得f（b）f（a）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：f（x）x2f（x）f（x）ln（2x+3）f（x）2x2xf（x）2sinx1其中是“美丽函数”的序号有 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）已知函数f（x）x32x2+3x2（1）求函数yf（x）的极值点：（2）求函数yf（x）在x2，2的最大值和最小值19（15分）已知f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）求函数yf（x）的单调递增区间20（15分）已知|4，|3，（2（2+）61（
6、1）求与的夹角；（2）若，求实数的取值范围21（15分）已知函数f（x）x23|x|（1）对任意xR，f（x）m0恒成立，求实数m的取值范围：（2）函数g（x）kxk，设函数F（x）f（x）g（x），若函数yF（x）有且只有两个零点，求实数k的取值范围22（15分）已知函数f（x）lnx+ax2（a+1）x，（aR）（1）当a1时，判断函数yf（x）的单调性；（2）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2e22018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题只有一个选项正确每小题4
7、分，共40分）1（4分）已知复数z（i是虚数单位）则复数z的虚部是（）A1B1CiDi【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z，复数z的虚部是1，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（4分）函数y（2m1）x+b在R上是减函数则（）AmBmCmDm【分析】根据题意，由一次函数的性质可得2m10，解可得m，即可得答案【解答】解：根据题意，函数y（2m1）x+b在R上是减函数，则有2m10，解可得m，故选：B【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及一次函数的性质，属于基础题3（4分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）A
8、y2xBylgxCyx3+xDycosx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合解可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，ylgx，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，yx3+x，既是奇函数，又是增函数，符合题意；对于D，ycosx，为余弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性4（4分）已知集合A2，0，1，9，BN，则AB（）A0，1，9B1，9C2，0，1，9D0，1，9，【分析】利用交集定义直接求解【解答】
9、解：集合A2，0，1，9，BN，AB0，1，9故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（4分）设f（x）lnx+x2，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可【解答】解：令f（x）lnx+x2，所以f（1）ln1+1210，f（2）ln2+22ln20，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点故选：B【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键6（4分）已知函数f（x），若f（a）+f（1）0，则实数a的值为
10、（）A4B1或2C1D3或1【分析】由分段函数求得f（1），结合指数函数的值域和方程思想，可得a的值【解答】解：函数f（x），若f（a）+f（1）0，可得f（a）+10，即有f（a）1，显然a+31，即a4故选：A【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题7（4分）已知函数f（x）cos（2x+），将函数yf（x）的图象向右平移后得到函数yg（x）的图象，则下列描述正确的是（）A（，0）是函数yg（x）的一个对称中心Bx是函数yg（x）的一条对称轴C（，0）是函数yg（x）的一个对称中心Dx是函数yg（x）的一条对称轴【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变
11、换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：对于函数f（x）cos（2x+），将函数yf（x）的图象向右平移后得到函数yg（x）cos（2x+）cos2x的图象，则令x，求得g（x）1，为最小值，可得函数yg（x）的一条对称轴为x，故D正确、而A不正确；令x，求得g（x），故B、C错误，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题8（4分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心
12、到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（1.73）A15平方米B12平方米C9平方米D6平方米【分析】在RtAOD中，由题意OA4，DAO，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解【解答】解：如图，由题意可得：AOB，OA4，在RtAOD中，可得：AOD，DAO，ODAO，可得：矢422，由ADAOsin42，可得：弦2AD224，所以：弧田面积（弦矢+矢2）（42+22）49平方米故选：C【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题9（4分）如图，函数f（x）Asin（
13、x+）（其中A0，0，|）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为（）ABC8D16【分析】由题意设出Q（2a，0）a0，求出R坐标以及M坐标，利用距离公式求出Q坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A【解答】解：函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，|）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），PQR，M为QR的中点，设Q（2a，0），a0，则R（0，2a），M（a，a），PM2，2，解得a4，Q（8，0），又P（2，0），T826，T12，解得函数经过P（2，0），R（0，8），|，解得A，故选：A【点评】本题考查由yAsin（
14、x+）的部分图象确定其解析式，求得Q点与P点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题10（4分）已知集合M（x，y）|yf（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y20成立，则称集合M是“理想集合”给出下列集合：M（x，y）|y；M（x，y）|ycosx：M（x，y）|yex2：M（x，y）|ylgx其中所有“理想集合”的序号是（）ABCD【分析】对于，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义【解
15、答】解：y是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，在同一支上，任意（x1，y1）M，不存在（x2，y2）M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）M，在另一支上也不存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y20成立，所以不满足理想集合的定义，不是理想集合在函数ycosx上存在点（0，1）、（，0），满足x1x2+y1y20成立，满足理想集合的定义，满足条件；M（x，y）|yex2，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，例如取M（0，1），N（ln2，0），满足理想集合的定义，所以正确M（x，y）|ylgx，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是
16、理想集合故选：B【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题二、填空题（本大题共7小题，多空题题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）sin30，cos【分析】利用特殊角的三角函数值，诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：sin30；coscoscos，故答案为：；【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式的应用，属于基础题12（6分）已知向量（2，6），（m，1），若则m3，若则m【分析】时，可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m；时，可得出26m0，解出m即可【解答】解：若，则：；m3；若，则：26m
17、0；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，以及向量数量积的坐标运算13（6分）已知f（x）x23x1，则（f（2）'0，f'（1）1【分析】求函数的导数，结合函数的导数公式进行计算即可【解答】解：f（2）4613，则（f（2）'0，f（x）2x3，则f（1）231，故答案为：0，1【点评】本题主要考查函数的导数计算，结合函数的导数公式是解决本题的关键比较基础14（6分）在边长等于1的正方形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点，则1，若，其中，R，则+【分析】根据条件，可分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，从而可求出A
18、，C，E，F的坐标，进而得出，从而可求出，并根据得出，解出，即可【解答】解：如图，分别以边AB，AD所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；由得，；解得；故答案为：【点评】考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量加法、数乘和数量积的坐标运算15（4分）已知函数y定义域为R，则实数a的取值范围是a0【分析】根据函数的定义域为R，转化为2xa0恒成立，利用指数函数的性质进行求解即可【解答】解：函数的定义域为R，则2xa0恒成立，即a2x恒成立，2x0，a0，故答案为：a0【点评】本题主要考查函数定义域的应用，结合根式和指数函数的性质是解决本题的关键16（4分）设2a5bm，且+
19、2，m【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m【解答】解：2a5bm，alog2m，blog5m，由换底公式得，m210，m0，故应填【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和17（4分）设函数f（x）的定义域为D，若对任意的aD，都存在bD，使得f（b）f（a）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：f（x）x2f（x）f（x）ln（2x+3）f（x）2x2xf（x）2sinx1其中是“美丽函数”的序号有【分析】由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数【解答】解
20、：函数yx20，所以不可能是“美丽函数”，所以错；的值域为（，0）（0，+），关于原点对称，所以正确；f（x）ln（2x+3），值域为R，关于原点对称，所以正确；y2x2x，令t2x0，则y，在（0，+）上单调递增，且值域为R，值域关于原点对称，所以正确；y2sinx1，则y3，1，不关于原点对称，所以错误故答案为：【点评】本题考查的函数的值域，新定义题型，关键是理解题目的意思属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）已知函数f（x）x32x2+3x2（1）求函数yf（x）的极值点：（2）求函数yf（x）在x2，2的最大值和最小值【分
21、析】（1）推导出f（x）x24x+3，令f（x）x24x+30，得x11，x23，列表讨论，能求出函数yf（x）的极值点（2）函数yf（x）在（2，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，由此能求出函数yf（x）在x2，2的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）x32x2+3x2f（x）x24x+3，令f（x）x24x+30，得x11，x23，列表讨论，得： x （，1） 1 （1，3） 3（3，+） f（x）+ 0 0+ yf（x） 极大值 极小值函数yf（x）的极大值点是x1，极小值点是x3（2）函数yf（x）在（2，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，最大值是f（1），f（2）
22、，f（2），最小值f（2）【点评】本题考查函数的极值点、函数在闭区间上的最值的求法，考查导数性质、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题19（15分）已知f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）求函数yf（x）的单调递增区间【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式为f（x）2sin（2x+），利用三角函数周期公式即可计算得解f（x）的最小正周期；（2）令2k2x+2k+，kZ，解得x的范围，可求函数yf（x）的单调递增区间【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）2sinxcosx+2cos2x1si
23、n2x+cos2x2sin（2x+），6分可得：函数f（x）的最小正周期T9分（2）令2k2x+2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，可得函数yf（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题20（15分）已知|4，|3，（2（2+）61（1）求与的夹角；（2）若，求实数的取值范围【分析】（1）根据，进行数量积的运算即可求出，从而求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）对的两边平方即可得出92+24|120，解出的范围即可【解答】解：（1），；0，；（2）；92+24|120；解得；，或；的取值范围为【点评】考
24、查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及绝对值不等式的解法21（15分）已知函数f（x）x23|x|（1）对任意xR，f（x）m0恒成立，求实数m的取值范围：（2）函数g（x）kxk，设函数F（x）f（x）g（x），若函数yF（x）有且只有两个零点，求实数k的取值范围【分析】（1）对任意xR，f（x）m0恒成立，即有mf（x）min （2）函数F（x）f（x）g（x）有且只有两个零点g（x）kxk与f（x）x23|x|的图象有两个交点根据图象可得，实数k的取值范围【解答】解：（1）f（x），对任意xR，f（x）m0恒成立，即有mf（x）min，故实数m的取值范围为（）（2）
25、函数F（x）f（x）g（x）有且只有两个零点g（x）kxk与f（x）x23|x|的图象有两个交点如图，根据图象可得，实数k的取值范围为（，0）（1，+）【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合思想，属于中档题22（15分）已知函数f（x）lnx+ax2（a+1）x，（aR）（1）当a1时，判断函数yf（x）的单调性；（2）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2e2【分析】（1）对f（x）求导，根据f（x）的符号得出f（x）的单调性；（2）由体育可知lnx（a+1）x有两解，求出ylnx的过原点的切线斜率即可得出a的范围，设0x1x2，t，根据
26、分析法构造关于t的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可【解答】解：（1）a1时，f（x）lnx+x22x（x0），故f（x）+x20，f（x）在（0，+）上单调递增（2）由题意可知lnx（a+1）x有两解，设直线ykx与ylnx相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得x0e，y01，k，0a+1，即1a1实数a的取值范围是（1，1）不妨设x2x10，则lnx1（a+1）x1，lnx2（a+1）x2，两式相加得：ln（x1x2）（a+1）（x1+x2），两式相减得：ln（a+1）（x2x1），故ln（x1x2）ln，要证x1x2e2，只需证ln2，即证ln，令t1，故只需证lnt在（1，+）恒成立即可令g（t）lnt（t1），则g（t）0，g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）0，即lnt在（1，+）恒成立x1x2e2【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于t的不等式是证明的难点，属于难题
