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2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每题只有一个选项正确每小题4分,共40分)1(4分)已知复数z(i是虚数单位)则复数z的虚部是()A1B1CiDi2(4分)函数y(2m1)x+b在R上是减函数则()AmBmCmDm3(4分)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()Ay2xBylgxCyx3+xDycosx4(4分)已知集合A2,0,1,9,BN,则AB()A0,1,9B1,9C2,0,1,9D0,1,9,5(4分)设f(x)lnx+x2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)6(4分)

2、已知函数f(x),若f(a)+f(1)0,则实数a的值为()A4B1或2C1D3或17(4分)已知函数f(x)cos(2x+),将函数yf(x)的图象向右平移后得到函数yg(x)的图象,则下列描述正确的是()A(,0)是函数yg(x)的一个对称中心Bx是函数yg(x)的一条对称轴C(,0)是函数yg(x)的一个对称中心Dx是函数yg(x)的一条对称轴8(4分)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积(弦矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的

3、弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()(1.73)A15平方米B12平方米C9平方米D6平方米9(4分)如图,函数f(x)Asin(x+)(其中A0,0,|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),PQR,M为QR的中点,PM2,则A的值为()ABC8D1610(4分)已知集合M(x,y)|yf(x),若对于任意(x1,y1)M,存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y20成立,则称集合M是“理想集合”给出下列集合:M(x,y)|y;M(x,y)|ycosx:M(x,y)|yex2:M(x,y)|ylgx其中所有“理想集合”的序号是()ABCD二、填空题(本大题共7小题,多空题

4、题6分,单空题每题4分,共36分)11(6分)sin30   ,cos   12(6分)已知向量(2,6),(m,1),若则m   ,若则m   13(6分)已知f(x)x23x1,则(f(2)'   ,f'(1)   14(6分)在边长等于1的正方形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,则   ,若,其中,R,则+   15(4分)已知函数y定义域为R,则实数a的取值范围是   16(4分)设2a5bm,且+2,m   17(4分)设函数f(x)的定义域为D,若对任意的aD

5、,都存在bD,使得f(b)f(a)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”,下列所给出的几个函数:f(x)x2f(x)f(x)ln(2x+3)f(x)2x2xf(x)2sinx1其中是“美丽函数”的序号有   三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(14分)已知函数f(x)x32x2+3x2(1)求函数yf(x)的极值点:(2)求函数yf(x)在x2,2的最大值和最小值19(15分)已知f(x)2sinxcosx+2cos2x1(1)求函数f(x)的最小正周期:(2)求函数yf(x)的单调递增区间20(15分)已知|4,|3,(2(2+)61(

6、1)求与的夹角;(2)若,求实数的取值范围21(15分)已知函数f(x)x23|x|(1)对任意xR,f(x)m0恒成立,求实数m的取值范围:(2)函数g(x)kxk,设函数F(x)f(x)g(x),若函数yF(x)有且只有两个零点,求实数k的取值范围22(15分)已知函数f(x)lnx+ax2(a+1)x,(aR)(1)当a1时,判断函数yf(x)的单调性;(2)若关于x的方程f(x)ax2有两个不同实根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明x1x2e22018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每题只有一个选项正确每小题4

7、分,共40分)1(4分)已知复数z(i是虚数单位)则复数z的虚部是()A1B1CiDi【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:z,复数z的虚部是1,故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2(4分)函数y(2m1)x+b在R上是减函数则()AmBmCmDm【分析】根据题意,由一次函数的性质可得2m10,解可得m,即可得答案【解答】解:根据题意,函数y(2m1)x+b在R上是减函数,则有2m10,解可得m,故选:B【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用,涉及一次函数的性质,属于基础题3(4分)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()A

8、y2xBylgxCyx3+xDycosx【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合解可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y2x,为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,ylgx,为对数函数,不是奇函数,不符合题意;对于C,yx3+x,既是奇函数,又是增函数,符合题意;对于D,ycosx,为余弦函数,在其定义域上不是增函数,不符合题意;故选:C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性4(4分)已知集合A2,0,1,9,BN,则AB()A0,1,9B1,9C2,0,1,9D0,1,9,【分析】利用交集定义直接求解【解答】

9、解:集合A2,0,1,9,BN,AB0,1,9故选:A【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5(4分)设f(x)lnx+x2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【分析】利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可【解答】解:令f(x)lnx+x2,所以f(1)ln1+1210,f(2)ln2+22ln20,所以根据根的存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点故选:B【点评】本题主要考查函数零点的判断,利用根的存在性定理是解决本题的关键6(4分)已知函数f(x),若f(a)+f(1)0,则实数a的值为

10、()A4B1或2C1D3或1【分析】由分段函数求得f(1),结合指数函数的值域和方程思想,可得a的值【解答】解:函数f(x),若f(a)+f(1)0,可得f(a)+10,即有f(a)1,显然a+31,即a4故选:A【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,考查方程思想和运算能力,属于基础题7(4分)已知函数f(x)cos(2x+),将函数yf(x)的图象向右平移后得到函数yg(x)的图象,则下列描述正确的是()A(,0)是函数yg(x)的一个对称中心Bx是函数yg(x)的一条对称轴C(,0)是函数yg(x)的一个对称中心Dx是函数yg(x)的一条对称轴【分析】利用函数yAsin(x+)的图象变

11、换规律,余弦函数的图象的对称性,得出结论【解答】解:对于函数f(x)cos(2x+),将函数yf(x)的图象向右平移后得到函数yg(x)cos(2x+)cos2x的图象,则令x,求得g(x)1,为最小值,可得函数yg(x)的一条对称轴为x,故D正确、而A不正确;令x,求得g(x),故B、C错误,故选:D【点评】本题主要考查函数yAsin(x+)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于基础题8(4分)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积(弦矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心

12、到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()(1.73)A15平方米B12平方米C9平方米D6平方米【分析】在RtAOD中,由题意OA4,DAO,即可求得OD,AD的值,根据题意可求矢和弦的值,即可利用公式计算求值得解【解答】解:如图,由题意可得:AOB,OA4,在RtAOD中,可得:AOD,DAO,ODAO,可得:矢422,由ADAOsin42,可得:弦2AD224,所以:弧田面积(弦矢+矢2)(42+22)49平方米故选:C【点评】本题考查扇形的面积公式,考查学生对题意的理解,考查学生的计算能力,属于中档题9(4分)如图,函数f(x)Asin(

13、x+)(其中A0,0,|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),PQR,M为QR的中点,PM2,则A的值为()ABC8D16【分析】由题意设出Q(2a,0)a0,求出R坐标以及M坐标,利用距离公式求出Q坐标,通过五点法求出函数的解析式,即可求出A【解答】解:函数f(x)Asin(x+)(其中A0,0,|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),PQR,M为QR的中点,设Q(2a,0),a0,则R(0,2a),M(a,a),PM2,2,解得a4,Q(8,0),又P(2,0),T826,T12,解得函数经过P(2,0),R(0,8),|,解得A,故选:A【点评】本题考查由yAsin(

14、x+)的部分图象确定其解析式,求得Q点与P点的坐标是关键,考查识图、运算与求解能力,属于中档题10(4分)已知集合M(x,y)|yf(x),若对于任意(x1,y1)M,存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y20成立,则称集合M是“理想集合”给出下列集合:M(x,y)|y;M(x,y)|ycosx:M(x,y)|yex2:M(x,y)|ylgx其中所有“理想集合”的序号是()ABCD【分析】对于,利用渐近线互相垂直,判断其正误即可对于,说明满足理想集合的定义,即可判断正误;对于,画出函数图象,说明满足理想集合的定义,即可判断正误;对于,画出函数图象,取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义【解

15、答】解:y是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90,在同一支上,任意(x1,y1)M,不存在(x2,y2)M,满足好集合的定义;对任意(x1,y1)M,在另一支上也不存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y20成立,所以不满足理想集合的定义,不是理想集合在函数ycosx上存在点(0,1)、(,0),满足x1x2+y1y20成立,满足理想集合的定义,满足条件;M(x,y)|yex2,如图在曲线上两点构成的直角始终存在,例如取M(0,1),N(ln2,0),满足理想集合的定义,所以正确M(x,y)|ylgx,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是

16、理想集合故选:B【点评】本题考查了命题真假的判断与应用,考查了元素与集合的关系,考查了数形结合的思想,解答的关键是对新定义的理解,是中档题二、填空题(本大题共7小题,多空题题6分,单空题每题4分,共36分)11(6分)sin30,cos【分析】利用特殊角的三角函数值,诱导公式,求得要求式子的值【解答】解:sin30;coscoscos,故答案为:;【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值,诱导公式的应用,属于基础题12(6分)已知向量(2,6),(m,1),若则m3,若则m【分析】时,可得出,进行数量积的坐标运算即可求出m;时,可得出26m0,解出m即可【解答】解:若,则:;m3;若,则:26m

17、0;故答案为:【点评】考查向量垂直的充要条件,平行向量的坐标关系,以及向量数量积的坐标运算13(6分)已知f(x)x23x1,则(f(2)'0,f'(1)1【分析】求函数的导数,结合函数的导数公式进行计算即可【解答】解:f(2)4613,则(f(2)'0,f(x)2x3,则f(1)231,故答案为:0,1【点评】本题主要考查函数的导数计算,结合函数的导数公式是解决本题的关键比较基础14(6分)在边长等于1的正方形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,则1,若,其中,R,则+【分析】根据条件,可分别以边AB,AD所在的直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,从而可求出A

18、,C,E,F的坐标,进而得出,从而可求出,并根据得出,解出,即可【解答】解:如图,分别以边AB,AD所在的直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,则:;由得,;解得;故答案为:【点评】考查通过建立坐标系,利用坐标解决向量问题的方法,向量加法、数乘和数量积的坐标运算15(4分)已知函数y定义域为R,则实数a的取值范围是a0【分析】根据函数的定义域为R,转化为2xa0恒成立,利用指数函数的性质进行求解即可【解答】解:函数的定义域为R,则2xa0恒成立,即a2x恒成立,2x0,a0,故答案为:a0【点评】本题主要考查函数定义域的应用,结合根式和指数函数的性质是解决本题的关键16(4分)设2a5bm,且+

19、2,m【分析】先解出a,b,再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式,求m【解答】解:2a5bm,alog2m,blog5m,由换底公式得,m210,m0,故应填【点评】考查指对转化,对数的运算性质,求两对数式的倒数和,若两真数相同,常用换底公式转化为同底的对数求和17(4分)设函数f(x)的定义域为D,若对任意的aD,都存在bD,使得f(b)f(a)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”,下列所给出的几个函数:f(x)x2f(x)f(x)ln(2x+3)f(x)2x2xf(x)2sinx1其中是“美丽函数”的序号有【分析】由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数【解答】解

20、:函数yx20,所以不可能是“美丽函数”,所以错;的值域为(,0)(0,+),关于原点对称,所以正确;f(x)ln(2x+3),值域为R,关于原点对称,所以正确;y2x2x,令t2x0,则y,在(0,+)上单调递增,且值域为R,值域关于原点对称,所以正确;y2sinx1,则y3,1,不关于原点对称,所以错误故答案为:【点评】本题考查的函数的值域,新定义题型,关键是理解题目的意思属于中档题三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(14分)已知函数f(x)x32x2+3x2(1)求函数yf(x)的极值点:(2)求函数yf(x)在x2,2的最大值和最小值【分

21、析】(1)推导出f(x)x24x+3,令f(x)x24x+30,得x11,x23,列表讨论,能求出函数yf(x)的极值点(2)函数yf(x)在(2,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,由此能求出函数yf(x)在x2,2的最大值和最小值【解答】解:(1)函数f(x)x32x2+3x2f(x)x24x+3,令f(x)x24x+30,得x11,x23,列表讨论,得: x (,1) 1 (1,3) 3(3,+) f(x)+ 0 0+ yf(x) 极大值 极小值函数yf(x)的极大值点是x1,极小值点是x3(2)函数yf(x)在(2,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,最大值是f(1),f(2)

22、,f(2),最小值f(2)【点评】本题考查函数的极值点、函数在闭区间上的最值的求法,考查导数性质、函数性质、最值等基础知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,是中档题19(15分)已知f(x)2sinxcosx+2cos2x1(1)求函数f(x)的最小正周期:(2)求函数yf(x)的单调递增区间【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式为f(x)2sin(2x+),利用三角函数周期公式即可计算得解f(x)的最小正周期;(2)令2k2x+2k+,kZ,解得x的范围,可求函数yf(x)的单调递增区间【解答】(本题满分为12分)解:(1)f(x)2sinxcosx+2cos2x1si

23、n2x+cos2x2sin(2x+),6分可得:函数f(x)的最小正周期T9分(2)令2k2x+2k+,kZ,解得:kxk+,kZ,可得函数yf(x)的单调递增区间为:k,k+,kZ12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题20(15分)已知|4,|3,(2(2+)61(1)求与的夹角;(2)若,求实数的取值范围【分析】(1)根据,进行数量积的运算即可求出,从而求出,根据向量夹角的范围即可求出夹角;(2)对的两边平方即可得出92+24|120,解出的范围即可【解答】解:(1),;0,;(2);92+24|120;解得;,或;的取值范围为【点评】考

24、查向量数量积的运算,向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,以及绝对值不等式的解法21(15分)已知函数f(x)x23|x|(1)对任意xR,f(x)m0恒成立,求实数m的取值范围:(2)函数g(x)kxk,设函数F(x)f(x)g(x),若函数yF(x)有且只有两个零点,求实数k的取值范围【分析】(1)对任意xR,f(x)m0恒成立,即有mf(x)min (2)函数F(x)f(x)g(x)有且只有两个零点g(x)kxk与f(x)x23|x|的图象有两个交点根据图象可得,实数k的取值范围【解答】解:(1)f(x),对任意xR,f(x)m0恒成立,即有mf(x)min,故实数m的取值范围为()(2)

25、函数F(x)f(x)g(x)有且只有两个零点g(x)kxk与f(x)x23|x|的图象有两个交点如图,根据图象可得,实数k的取值范围为(,0)(1,+)【点评】本题考查了二次函数的性质,数形结合思想,属于中档题22(15分)已知函数f(x)lnx+ax2(a+1)x,(aR)(1)当a1时,判断函数yf(x)的单调性;(2)若关于x的方程f(x)ax2有两个不同实根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明x1x2e2【分析】(1)对f(x)求导,根据f(x)的符号得出f(x)的单调性;(2)由体育可知lnx(a+1)x有两解,求出ylnx的过原点的切线斜率即可得出a的范围,设0x1x2,t,根据

26、分析法构造关于t的不等式,利用函数单调性证明不等式恒成立即可【解答】解:(1)a1时,f(x)lnx+x22x(x0),故f(x)+x20,f(x)在(0,+)上单调递增(2)由题意可知lnx(a+1)x有两解,设直线ykx与ylnx相切,切点坐标为(x0,y0),则,解得x0e,y01,k,0a+1,即1a1实数a的取值范围是(1,1)不妨设x2x10,则lnx1(a+1)x1,lnx2(a+1)x2,两式相加得:ln(x1x2)(a+1)(x1+x2),两式相减得:ln(a+1)(x2x1),故ln(x1x2)ln,要证x1x2e2,只需证ln2,即证ln,令t1,故只需证lnt在(1,+)恒成立即可令g(t)lnt(t1),则g(t)0,g(t)在(1,+)上单调递增,g(t)g(1)0,即lnt在(1,+)恒成立x1x2e2【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与不等式的关系,构造关于t的不等式是证明的难点,属于难题