2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二(上)期末数学试卷一、选择题(每题4分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)已知平面的法向量为(2,4,2),平面的法向量为(1,2,k),若,则k()A2B1C1D22(4分)直线l1:mx+y10与直线l2:(m2)x+my10,则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3(4分)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为2,则C的渐近线方程为()AyxByxCy2xDyx4(4分)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若

2、一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行D若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行5(4分)平面内到点A(2,2)和到直线l:x+y4距离相等的点的轨迹为()A直线B抛物线C双曲线D椭圆6(4分)函数y的图象是焦点坐标为(、),(,)的双曲线,现将它的图象绕原点顺时针旋转45,则此双曲线的方程是()A1B1C1D17(4分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与BD所成的角为()A30B45C60D908(4分)如图,椭圆+1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在

3、椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若3,则椭圆的离心率是()ABCD9(4分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是A1B1,BB1的中点,点P在该直三棱柱表面上运动,且满足EPBD,BAC90,ABAA1AC2,则点P的轨迹形成的曲线的长等于()A4+2B2+2C5+D2+210(4分)已知椭圆C:+1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点,圆x2+y29上有一动点P,P不同于A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q,k1,k2分别为直线BP,QF的斜率则的取值范围是()A(,)B(,1)(1,0)C(,)D(,0)二、填空题(每题4分,共28分11(4分)直线yx+的

4、倾斜角是   12(4分)把一个圆锥截成圆台,若圆台的上、下底面半径的比是1:3,圆台的母线长是10,则原来的圆锥的母线长是   13(4分)已知F1,F2是椭圆C:+1(a0b0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b   14(4分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是   15(4分)直线l与双曲线x2y21相交于A,B两点,且线段AB的中点为C(2,1),则直线l的方程是   16(4分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形,ACB90,AC,BC1,CC1

5、,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为   17(4分)如图,已知RtABC中,C90,A60,M为AB的中点,现将AMC沿MC翻折到平面PMC,使平面PBC平面BMC,则二面角PMCB的余弦值是   三、解谷题(本大题共4小题,共52分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18(12分)已知点P与定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为,(1)求点P的轨迹方程;(2)若过点B(2,1)的直线l与点P的轨迹相交于M,N两点,求线段MN的长的最小值19(12分)经过抛物线y24x焦点F的直线l与此抛物线相交于A,B两点(1)若直线l的倾斜角为45,求线段AB的

6、长;(2)若3,求线段AB的中点M到抛物线的准线的距离d20(13分)如图,在平行四边形PBCD中,PB4,PD2,DPB45,ADAB,将PAD沿AD翻折,使得平面PAD平面ABCD,E是PD的中点,(1)求证:PD平面ABE;(2)求AC与平面ABE所成的角的正弦值21(15分)已知椭圆C:+l(ab0)的长轴长是短轴长的2倍,左焦点坐标是(,0),O为坐标原点(1)求椭圆的标准方程;(2)A,B是椭圆C上的两动点,求AOB的面积的最大值;(3)当AOB的面积取最大值时,求线段AB的中点M的轨迹方程2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择

7、题(每题4分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)已知平面的法向量为(2,4,2),平面的法向量为(1,2,k),若,则k()A2B1C1D2【分析】设平面的法向量为,平面的法向量为由于,可得,因此实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可得出【解答】解:设平面的法向量(2,4,2),平面的法向量(1,2,k),实数使得,得k1故选:C【点评】本题考查了相互平行的两个平面的法向量共线的性质、向量共线定理的坐标运算,属于基础题2(4分)直线l1:mx+y10与直线l2:(m2)x+my10,则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D

8、既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解:当m0时,两条直线分别化为:y10,2x+10,此时两条直线相互垂直,m0当m0时,若l1l2,则m()1,解得m1综上可得:m0,或m1,故“m1”是“l1l2”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(4分)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为2,则C的渐近线方程为()AyxByxCy2xDyx【分析】根据题意,由双曲线的离心率e2可得c2a,由双曲线的几何性质可得ba,即,由双曲线的渐近线方程可得答案【解

9、答】解:根据题意,双曲线的方程为:1,其焦点在x轴上,其渐近线方程为yx,又由其离心率e2,则c2a,则ba,即,则其渐近线方程yx;故选:B【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置,确定双曲线的渐近线方程4(4分)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行D若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行【分析】A,B,C列举所有情况,D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可【解答】解:对于A,两条直线和同一个

10、平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交、异面都有可能,故不正确;对于B,一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故不正确;对于C,两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,故不正确;对于D,由a得,经过a的平面与相交于直线c,则ac,同理,设经过a的平面与相交于直线d,则ad,由平行公理得:cd,则c,又c,b,所以cb,又ac,所以ab故选:D【点评】本题主要考查了空间线面位置关系,要求熟练掌握相应的定义和定理,注意定理成立的条件5(4分)平面内到点A(2,2)和到直线l:x+y4距离相等的点的轨迹为()A直线B抛物线C双曲线D椭圆【分析】根据题意画出图

11、形,结合图形得出所求点的轨迹是一条直线【解答】解:如图所示,平面内到点A(2,2)的距离与到直线l:x+y4的距离相等的点的轨迹,是过点A且垂直于直线x+y4的直线故选:A【点评】本题考查了直线方程与点的轨迹应用问题,是基础题6(4分)函数y的图象是焦点坐标为(、),(,)的双曲线,现将它的图象绕原点顺时针旋转45,则此双曲线的方程是()A1B1C1D1【分析】由反比例的函数图象的对称轴和渐近线方程,考虑顺时针旋转45后所得的双曲线的顶点,以及渐近线方程,可得a,b的值,可得所求双曲线方程【解答】解:函数y的图象关于直线yx对称,且以x,y轴为渐近线,可得函数y的图象与yx的交点为(1,1),

12、(1,1),它们与原点的距离为,可得直线yx与x轴成45的角,将它的图象绕原点顺时针旋转45后,所得双曲线的焦点在x轴上,且以直线yx,yx为渐近线,且顶点为(、0),(,0),即ab,可得双曲线的方程为1故选:A【点评】本题考查双曲线的方程的求法,注意结合反比例函数的图象的特点,考查运算能力,属于基础题7(4分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与BD所成的角为()A30B45C60D90【分析】连接AC,BD,则ACBD,证明AC平面BDD1,可得ACBD1,利用EFAC,即可得出结论【解答】解:连接AC,底面是正方形,则ACBD,几何体是正方体,

13、可知BDAA1,ACAA1A,BD平面CC1AA1,CE平面CC1AA1,BDCE,异面直线BD、CE所成角是90故选:D【点评】本题考查异面直线BD1、EF所成角,考查线面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题8(4分)如图,椭圆+1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若3,则椭圆的离心率是()ABCD【分析】先求出点B的坐标,设出点P的坐标,利用3,得到a与c的关系,从而求出离心率【解答】解:如图,由于BFx轴,故xBc,yB,即B(c,)设P(0,t),3,(a,t)3(c,t),a3c,e,故选:C【点评】本题考查椭圆的简单性

14、质以及向量坐标形式的运算法则的应用,体现了数形结合的数学思想9(4分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是A1B1,BB1的中点,点P在该直三棱柱表面上运动,且满足EPBD,BAC90,ABAA1AC2,则点P的轨迹形成的曲线的长等于()A4+2B2+2C5+D2+2【分析】利用线面的垂直关系得到BD垂直平面ACE,即得P点轨迹为三角形ACE,求解较易【解答】解:如图连接CE,AE,易证BDAE,ACBD,BD平面ACE,EPBD,P点轨迹为ACE,可求得其周长为5+,故选:C【点评】此题考查了线面垂直,几何体表面距离问题,难度不大10(4分)已知椭圆C:+1的左、右顶点分别为A

15、,B,F为椭圆C的右焦点,圆x2+y29上有一动点P,P不同于A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q,k1,k2分别为直线BP,QF的斜率则的取值范围是()A(,)B(,1)(1,0)C(,)D(,0)【分析】根据直线的与圆的位置关系,可得kAPk11,设Q(3cos,2sin),则可求出kAPk2,设tcos,t(1,1),则+,根据函数的性质即可求出【解答】解:椭圆C:+1的焦点在x轴上,a3,b2,c1,右焦点F(1,0),由P在圆x2+y29上,则PAPB,则kAPk11,则k1,设Q(3cos,2sin),则kAPk2设tcos,t(1,1),则kAPk2,+,t(1,1),t1(2,

16、0),(,),(,),且不等于0故选:D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题二、填空题(每题4分,共28分11(4分)直线yx+的倾斜角是45【分析】由已知直线方程求得直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解:直线yx+的斜率k1,设其倾斜角为(0180),则tan1,即45故答案为:45【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题12(4分)把一个圆锥截成圆台,若圆台的上、下底面半径的比是1:3,圆台的母线长是10,则原来的圆锥的母线长是15【分析】设圆

17、锥的母线长为l,圆台上、下底半径为r,R利用三角形相似,求出圆锥的母线长【解答】解:设圆锥的母线长为l,圆台上、下底半径为r,Rl15故答案为:15【点评】本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的几何特征,是解答的关键13(4分)已知F1,F2是椭圆C:+1(a0b0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b3【分析】运用椭圆的定义和勾股定理、三角形的面积公式得|PF1|+|PF2|2a,|PF1|2+|PF2|24c2,|PF1|PF2|9,由此能得到b的值【解答】解:F1、F2是C:+1(a0b0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2,|PF1|+

18、|PF2|2a,|PF1|2+|PF2|24c2,|PF1|PF2|9,(|PF1|+|PF2|)24c2+2|PF1|PF2|4a2,364(a2c2)4b2,b3故答案为:3【点评】本题考查椭圆的定义和勾股定理、直角三角形的面积公式,考查运算能力,属于基础题14(4分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是100cm3【分析】几何体为长方体从一个角上切去一个三棱锥得到的【解答】解:由三视图可知几何体为长方体切去一个三棱锥得到的,长方体的长宽高分别是6,3,6切去的三棱锥的三个侧面两两垂直,互相垂直的三条侧棱分别是4,4,3所以几何体的体积V636100故答案为100

19、cm3【点评】本题考查了空间几何体的三视图和体积计算,属于基础题15(4分)直线l与双曲线x2y21相交于A,B两点,且线段AB的中点为C(2,1),则直线l的方程是2xy30【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程,作差,结合中点坐标公式和直线的斜率公式,可得直线AB的斜率,由点斜式方程可得所求直线方程【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x12y121,x22y221,相减可得(x1x2)(x1+x2)(y1y2)(y1+y2)0,由x1+x24,y1+y22,可得kAB2,即有直线AB的方程为y12(x2),即为2xy30由y2x3代入双曲线方程可得3

20、x212x+100,由12243100,可得直线与双曲线存在两个交点故答案为:2xy30【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系,注意运用点差法,以及直线的斜率公式和中点坐标公式,联立直线方程和双曲线方程联立,运用判别式,考查运算能力,属于基础题16(4分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形,ACB90,AC,BC1,CC1,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为3【分析】本题考查图形的展开,直线距离最小;连A1B,沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内,连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值【解答】解:连A1B,沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平

21、面内,如图所示,连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值A1C1,CC1,BC1,A1B,BC12,CBC1是直角三角形,根据边长关系可知CC1B30,A1BC1根据边长关系可知A1C1B90,A1C1C120利用余弦定理:2A1C1CC1cos1203+3+29,A1C3故答案为:3【点评】本题考查两线段和的最小值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题17(4分)如图,已知RtABC中,C90,A60,M为AB的中点,现将AMC沿MC翻折到平面PMC,使平面PBC平面BMC,则二面角PMCB的余弦值是【分析】首先作PEBC,则PE平面MBC,在结

22、合三垂线逆定理作出平面角PDE,求解不难【解答】解:如图,作PEBC于E,面PBC面BMC,PE面BMC,取CM中点D,连接PD,ED,易知PDCM,CMED,PDE即为所求角,不妨取AC1,在RtCDE中,CD,DCE30,可得DE,在正PCM中,可得PD,在RtPED中,cosPDE,故答案为:【点评】此题考查了二面角的求法,面面垂直的性质,三垂线定理等,难度适中三、解谷题(本大题共4小题,共52分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18(12分)已知点P与定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为,(1)求点P的轨迹方程;(2)若过点B(2,1)的直线l与点P的轨迹相交于M,N两

23、点,求线段MN的长的最小值【分析】(1)设P(x,y),则,可得(x+1)2+y24,即可得到点P的轨迹方程,(2)当BCl时,线段MN的长最小,根据直线和圆的位置关系即可求出【解答】解:(1)设P(x,y),则,化简,得(x+1)2+y24,点P的轨迹方程为(x+1)2+y24,(2)设圆C:(x+1)2+y24,则当BCl时,线段MN的长最小,|BC|,|MN|min22,即线段MN的长的最小值是2【点评】本题考查了点的轨迹方程,直线和圆的位置关系,考查了运算和转化能力,属于中档题19(12分)经过抛物线y24x焦点F的直线l与此抛物线相交于A,B两点(1)若直线l的倾斜角为45,求线段A

24、B的长;(2)若3,求线段AB的中点M到抛物线的准线的距离d【分析】(1)直线l的方程为yx1与抛物线方程联立,整理得x26x+10,其两根为x1,x2,且x1+x26由抛物线的定义可知线段AB的长;(2)设直线AB的方程yk(x1),联立方程组,消去y,得 k2x2(2k2+4)x+k20,根据韦达定理和向量的运算即可求出【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2)(1)当直线l的倾斜角为45时,直线l的方程为yx1,)联立方程组,消y,整理得x26x+10,其两根为x1,x2,且x1+x26由抛物线的定义可知,|AB|p+x1+x26+28(2)设直线AB的方程yk(x1),联立方程组

25、,消去y,得  k2x2(2k2+4)x+k20,则x1+x22+,x1x21,(1x1,y1),(x21,y2),3,1x13(x21),联立解得k23,x1+x2,d【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系,解题时要认真审题,合理地进行等价转化,注意抛物线性质的合理运用20(13分)如图,在平行四边形PBCD中,PB4,PD2,DPB45,ADAB,将PAD沿AD翻折,使得平面PAD平面ABCD,E是PD的中点,(1)求证:PD平面ABE;(2)求AC与平面ABE所成的角的正弦值【分析】(1)推导出AB平面PAD,PDAB,PDAE,由此能证明PD平面ABE(2)分别以AD,AB,

26、AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与平面ABE所成的角的正弦值【解答】证明:(1)平面PAD平面ABCD,ADAB,平面PAD平面ABCDAD,AB平面ABCD,AB平面PAD,(2分)又PD平面PAD,PDAB,(4分)在RtPAD中,DPB45,DPBPDA45,PAAD,又E是PD的中点,PDAE,(6分)又AEABA,AE平面ABE,AB平面ABE,PD平面ABE(7分)解:(2)AB平面PAD,PA平面PAD,PAAB,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系由已知可得A(0,0,0),C(2,4,0),D(2,0

27、,0),P(0,0,2)(9分)(2,0,2),(2,4,0),PD平面ABE,(2,0,2)是平面ABE的一个法向量,(11分)设AC与平面ABE所成的角为,则sinAC与平面ABE所成的角的正弦值为(13分)【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题21(15分)已知椭圆C:+l(ab0)的长轴长是短轴长的2倍,左焦点坐标是(,0),O为坐标原点(1)求椭圆的标准方程;(2)A,B是椭圆C上的两动点,求AOB的面积的最大值;(3)当AOB的面积取最大值时,求线段AB的中点M的轨迹方程【分析】(1)根

28、据题意列出有关a、b、c的方程组,求出a、b、c的值,可得出椭圆C的方程;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),对直线AB的斜率是否存在分两种情况讨论当直线AB的斜率不存在时,求出AB的长度以及原点到AB的距离,利用基本不等式可求出AOB面积的最大值;二是当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykx+m(m0),将该直线的方程与椭圆C的方程联立,并列出韦达定理,利用弦长公式求出AB的长度,并计算出原点O到直线AB的距离,最后利用三角形的面积公式并结合基本不等式可求出AOB面积的最大值(3)结合(2)中的条件将直线AB的方程与椭圆C联立,列出韦达定理,求出点M的坐标,并求出k、m的表

29、达式,代入4k2+12m2,通过化简得出点M的轨迹方程,同时注意当直线AB的斜率不存在时,得出点M的坐标,代入其轨迹方程,看此时的点M的坐标是否满足方程,从而得出点M的轨迹方程【解答】解:(1)由已知得,解得,椭圆C的标准方程是;(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为xx1(2x10或0x12),所以,(当且仅当时,等号成立)当斜率存在时,设直线AB的方程为ykx+m(m0),将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m240,由韦达定理得,(当且仅当4k2+12m2时,等号成立)AOB的面积为最大值为1;(3)设M(x,y),当斜率存在时,设直线AB的方程为ykx+m(m0),将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m240,由韦达定理得,由(2)可知,当且仅当4k2+12m2时,AOB的面积取最大值,代入4k2+12m2,化简得当直线AB的斜率不存在时,线段AB的中点,显然满足方程当AOB的面积的取最大值时,线段AB的中点M的轨迹方程为【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程,以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用,同时也考查了轨迹方程,属于中等题

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