1、2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知平面的法向量为（2，4，2），平面的法向量为（1，2，k），若，则k（）A2B1C1D22（4分）直线l1：mx+y10与直线l2：（m2）x+my10，则“m1”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3（4分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx4（4分）下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若
2、一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行5（4分）平面内到点A（2，2）和到直线l：x+y4距离相等的点的轨迹为（）A直线B抛物线C双曲线D椭圆6（4分）函数y的图象是焦点坐标为（、），（，）的双曲线，现将它的图象绕原点顺时针旋转45，则此双曲线的方程是（）A1B1C1D17（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）A30B45C60D908（4分）如图，椭圆+1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在
3、椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若3，则椭圆的离心率是（）ABCD9（4分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是A1B1，BB1的中点，点P在该直三棱柱表面上运动，且满足EPBD，BAC90，ABAA1AC2，则点P的轨迹形成的曲线的长等于（）A4+2B2+2C5+D2+210（4分）已知椭圆C：+1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y29上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k1，k2分别为直线BP，QF的斜率则的取值范围是（）A（，）B（，1）（1，0）C（，）D（，0）二、填空题（每题4分，共28分11（4分）直线yx+的
4、倾斜角是 12（4分）把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1：3，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是 13（4分）已知F1，F2是椭圆C：+1（a0b0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b 14（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 15（4分）直线l与双曲线x2y21相交于A，B两点，且线段AB的中点为C（2，1），则直线l的方程是 16（4分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC，BC1，CC1
5、，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为 17（4分）如图，已知RtABC中，C90，A60，M为AB的中点，现将AMC沿MC翻折到平面PMC，使平面PBC平面BMC，则二面角PMCB的余弦值是 三、解谷题（本大题共4小题，共52分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18（12分）已知点P与定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为，（1）求点P的轨迹方程；（2）若过点B（2，1）的直线l与点P的轨迹相交于M，N两点，求线段MN的长的最小值19（12分）经过抛物线y24x焦点F的直线l与此抛物线相交于A，B两点（1）若直线l的倾斜角为45，求线段AB的
6、长；（2）若3，求线段AB的中点M到抛物线的准线的距离d20（13分）如图，在平行四边形PBCD中，PB4，PD2，DPB45，ADAB，将PAD沿AD翻折，使得平面PAD平面ABCD，E是PD的中点，（1）求证：PD平面ABE；（2）求AC与平面ABE所成的角的正弦值21（15分）已知椭圆C：+l（ab0）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点坐标是（，0），O为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）A，B是椭圆C上的两动点，求AOB的面积的最大值；（3）当AOB的面积取最大值时，求线段AB的中点M的轨迹方程2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择
7、题（每题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知平面的法向量为（2，4，2），平面的法向量为（1，2，k），若，则k（）A2B1C1D2【分析】设平面的法向量为，平面的法向量为由于，可得，因此实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可得出【解答】解：设平面的法向量（2，4，2），平面的法向量（1，2，k），实数使得，得k1故选：C【点评】本题考查了相互平行的两个平面的法向量共线的性质、向量共线定理的坐标运算，属于基础题2（4分）直线l1：mx+y10与直线l2：（m2）x+my10，则“m1”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D
8、既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当m0时，两条直线分别化为：y10，2x+10，此时两条直线相互垂直，m0当m0时，若l1l2，则m（）1，解得m1综上可得：m0，或m1，故“m1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（4分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx【分析】根据题意，由双曲线的离心率e2可得c2a，由双曲线的几何性质可得ba，即，由双曲线的渐近线方程可得答案【解
9、答】解：根据题意，双曲线的方程为：1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为yx，又由其离心率e2，则c2a，则ba，即，则其渐近线方程yx；故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程4（4分）下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行【分析】A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可【解答】解：对于A，两条直线和同一个
10、平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于B，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于C，两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于D，由a得，经过a的平面与相交于直线c，则ac，同理，设经过a的平面与相交于直线d，则ad，由平行公理得：cd，则c，又c，b，所以cb，又ac，所以ab故选：D【点评】本题主要考查了空间线面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件5（4分）平面内到点A（2，2）和到直线l：x+y4距离相等的点的轨迹为（）A直线B抛物线C双曲线D椭圆【分析】根据题意画出图
11、形，结合图形得出所求点的轨迹是一条直线【解答】解：如图所示，平面内到点A（2，2）的距离与到直线l：x+y4的距离相等的点的轨迹，是过点A且垂直于直线x+y4的直线故选：A【点评】本题考查了直线方程与点的轨迹应用问题，是基础题6（4分）函数y的图象是焦点坐标为（、），（，）的双曲线，现将它的图象绕原点顺时针旋转45，则此双曲线的方程是（）A1B1C1D1【分析】由反比例的函数图象的对称轴和渐近线方程，考虑顺时针旋转45后所得的双曲线的顶点，以及渐近线方程，可得a，b的值，可得所求双曲线方程【解答】解：函数y的图象关于直线yx对称，且以x，y轴为渐近线，可得函数y的图象与yx的交点为（1，1），
12、（1，1），它们与原点的距离为，可得直线yx与x轴成45的角，将它的图象绕原点顺时针旋转45后，所得双曲线的焦点在x轴上，且以直线yx，yx为渐近线，且顶点为（、0），（，0），即ab，可得双曲线的方程为1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意结合反比例函数的图象的特点，考查运算能力，属于基础题7（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）A30B45C60D90【分析】连接AC，BD，则ACBD，证明AC平面BDD1，可得ACBD1，利用EFAC，即可得出结论【解答】解：连接AC，底面是正方形，则ACBD，几何体是正方体，
13、可知BDAA1，ACAA1A，BD平面CC1AA1，CE平面CC1AA1，BDCE，异面直线BD、CE所成角是90故选：D【点评】本题考查异面直线BD1、EF所成角，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8（4分）如图，椭圆+1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若3，则椭圆的离心率是（）ABCD【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用3，得到a与c的关系，从而求出离心率【解答】解：如图，由于BFx轴，故xBc，yB，即B（c，）设P（0，t），3，（a，t）3（c，t），a3c，e，故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性
14、质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想9（4分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是A1B1，BB1的中点，点P在该直三棱柱表面上运动，且满足EPBD，BAC90，ABAA1AC2，则点P的轨迹形成的曲线的长等于（）A4+2B2+2C5+D2+2【分析】利用线面的垂直关系得到BD垂直平面ACE，即得P点轨迹为三角形ACE，求解较易【解答】解：如图连接CE，AE，易证BDAE，ACBD，BD平面ACE，EPBD，P点轨迹为ACE，可求得其周长为5+，故选：C【点评】此题考查了线面垂直，几何体表面距离问题，难度不大10（4分）已知椭圆C：+1的左、右顶点分别为A
15、，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y29上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k1，k2分别为直线BP，QF的斜率则的取值范围是（）A（，）B（，1）（1，0）C（，）D（，0）【分析】根据直线的与圆的位置关系，可得kAPk11，设Q（3cos，2sin），则可求出kAPk2，设tcos，t（1，1），则+，根据函数的性质即可求出【解答】解：椭圆C：+1的焦点在x轴上，a3，b2，c1，右焦点F（1，0），由P在圆x2+y29上，则PAPB，则kAPk11，则k1，设Q（3cos，2sin），则kAPk2设tcos，t（1，1），则kAPk2，+，t（1，1），t1（2，
16、0），（，），（，），且不等于0故选：D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（每题4分，共28分11（4分）直线yx+的倾斜角是45【分析】由已知直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解：直线yx+的斜率k1，设其倾斜角为（0180），则tan1，即45故答案为：45【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题12（4分）把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1：3，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是15【分析】设圆
17、锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R利用三角形相似，求出圆锥的母线长【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，Rl15故答案为：15【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键13（4分）已知F1，F2是椭圆C：+1（a0b0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b3【分析】运用椭圆的定义和勾股定理、三角形的面积公式得|PF1|+|PF2|2a，|PF1|2+|PF2|24c2，|PF1|PF2|9，由此能得到b的值【解答】解：F1、F2是C：+1（a0b0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2，|PF1|+
18、|PF2|2a，|PF1|2+|PF2|24c2，|PF1|PF2|9，（|PF1|+|PF2|）24c2+2|PF1|PF2|4a2，364（a2c2）4b2，b3故答案为：3【点评】本题考查椭圆的定义和勾股定理、直角三角形的面积公式，考查运算能力，属于基础题14（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100cm3【分析】几何体为长方体从一个角上切去一个三棱锥得到的【解答】解：由三视图可知几何体为长方体切去一个三棱锥得到的，长方体的长宽高分别是6，3，6切去的三棱锥的三个侧面两两垂直，互相垂直的三条侧棱分别是4，4，3所以几何体的体积V636100故答案为100
19、cm3【点评】本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，属于基础题15（4分）直线l与双曲线x2y21相交于A，B两点，且线段AB的中点为C（2，1），则直线l的方程是2xy30【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，可得直线AB的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12y121，x22y221，相减可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）0，由x1+x24，y1+y22，可得kAB2，即有直线AB的方程为y12（x2），即为2xy30由y2x3代入双曲线方程可得3
20、x212x+100，由12243100，可得直线与双曲线存在两个交点故答案为：2xy30【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，注意运用点差法，以及直线的斜率公式和中点坐标公式，联立直线方程和双曲线方程联立，运用判别式，考查运算能力，属于基础题16（4分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC，BC1，CC1，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为3【分析】本题考查图形的展开，直线距离最小；连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值【解答】解：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平
21、面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值A1C1，CC1，BC1，A1B，BC12，CBC1是直角三角形，根据边长关系可知CC1B30，A1BC1根据边长关系可知A1C1B90，A1C1C120利用余弦定理：2A1C1CC1cos1203+3+29，A1C3故答案为：3【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（4分）如图，已知RtABC中，C90，A60，M为AB的中点，现将AMC沿MC翻折到平面PMC，使平面PBC平面BMC，则二面角PMCB的余弦值是【分析】首先作PEBC，则PE平面MBC，在结
22、合三垂线逆定理作出平面角PDE，求解不难【解答】解：如图，作PEBC于E，面PBC面BMC，PE面BMC，取CM中点D，连接PD，ED，易知PDCM，CMED，PDE即为所求角，不妨取AC1，在RtCDE中，CD，DCE30，可得DE，在正PCM中，可得PD，在RtPED中，cosPDE，故答案为：【点评】此题考查了二面角的求法，面面垂直的性质，三垂线定理等，难度适中三、解谷题（本大题共4小题，共52分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18（12分）已知点P与定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为，（1）求点P的轨迹方程；（2）若过点B（2，1）的直线l与点P的轨迹相交于M，N两
23、点，求线段MN的长的最小值【分析】（1）设P（x，y），则，可得（x+1）2+y24，即可得到点P的轨迹方程，（2）当BCl时，线段MN的长最小，根据直线和圆的位置关系即可求出【解答】解：（1）设P（x，y），则，化简，得（x+1）2+y24，点P的轨迹方程为（x+1）2+y24，（2）设圆C：（x+1）2+y24，则当BCl时，线段MN的长最小，|BC|，|MN|min22，即线段MN的长的最小值是2【点评】本题考查了点的轨迹方程，直线和圆的位置关系，考查了运算和转化能力，属于中档题19（12分）经过抛物线y24x焦点F的直线l与此抛物线相交于A，B两点（1）若直线l的倾斜角为45，求线段A
24、B的长；（2）若3，求线段AB的中点M到抛物线的准线的距离d【分析】（1）直线l的方程为yx1与抛物线方程联立，整理得x26x+10，其两根为x1，x2，且x1+x26由抛物线的定义可知线段AB的长；（2）设直线AB的方程yk（x1），联立方程组，消去y，得 k2x2（2k2+4）x+k20，根据韦达定理和向量的运算即可求出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当直线l的倾斜角为45时，直线l的方程为yx1，）联立方程组，消y，整理得x26x+10，其两根为x1，x2，且x1+x26由抛物线的定义可知，|AB|p+x1+x26+28（2）设直线AB的方程yk（x1），联立方程组
25、，消去y，得 k2x2（2k2+4）x+k20，则x1+x22+，x1x21，（1x1，y1），（x21，y2），3，1x13（x21），联立解得k23，x1+x2，d【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用20（13分）如图，在平行四边形PBCD中，PB4，PD2，DPB45，ADAB，将PAD沿AD翻折，使得平面PAD平面ABCD，E是PD的中点，（1）求证：PD平面ABE；（2）求AC与平面ABE所成的角的正弦值【分析】（1）推导出AB平面PAD，PDAB，PDAE，由此能证明PD平面ABE（2）分别以AD，AB，
26、AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面ABE所成的角的正弦值【解答】证明：（1）平面PAD平面ABCD，ADAB，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，（2分）又PD平面PAD，PDAB，（4分）在RtPAD中，DPB45，DPBPDA45，PAAD，又E是PD的中点，PDAE，（6分）又AEABA，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE（7分）解：（2）AB平面PAD，PA平面PAD，PAAB，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系由已知可得A（0，0，0），C（2，4，0），D（2，0
27、，0），P（0，0，2）（9分）（2，0，2），（2，4，0），PD平面ABE，（2，0，2）是平面ABE的一个法向量，（11分）设AC与平面ABE所成的角为，则sinAC与平面ABE所成的角的正弦值为（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（15分）已知椭圆C：+l（ab0）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点坐标是（，0），O为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）A，B是椭圆C上的两动点，求AOB的面积的最大值；（3）当AOB的面积取最大值时，求线段AB的中点M的轨迹方程【分析】（1）根
28、据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆C的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），对直线AB的斜率是否存在分两种情况讨论当直线AB的斜率不存在时，求出AB的长度以及原点到AB的距离，利用基本不等式可求出AOB面积的最大值；二是当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx+m（m0），将该直线的方程与椭圆C的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式求出AB的长度，并计算出原点O到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式并结合基本不等式可求出AOB面积的最大值（3）结合（2）中的条件将直线AB的方程与椭圆C联立，列出韦达定理，求出点M的坐标，并求出k、m的表
29、达式，代入4k2+12m2，通过化简得出点M的轨迹方程，同时注意当直线AB的斜率不存在时，得出点M的坐标，代入其轨迹方程，看此时的点M的坐标是否满足方程，从而得出点M的轨迹方程【解答】解：（1）由已知得，解得，椭圆C的标准方程是；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为xx1（2x10或0x12），所以，（当且仅当时，等号成立）当斜率存在时，设直线AB的方程为ykx+m（m0），将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由韦达定理得，（当且仅当4k2+12m2时，等号成立）AOB的面积为最大值为1；（3）设M（x，y），当斜率存在时，设直线AB的方程为ykx+m（m0），将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由韦达定理得，由（2）可知，当且仅当4k2+12m2时，AOB的面积取最大值，代入4k2+12m2，化简得当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点，显然满足方程当AOB的面积的取最大值时，线段AB的中点M的轨迹方程为【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，同时也考查了轨迹方程，属于中等题