1、2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y3）22，则它的圆心和半径分别为（）A（2，3），2B（2，3），2C（2，3），D（2，3），2（4分）直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD3（4分）已知空间向量（3，1，0），（x，3，1），且，则x（）A3B1C1D24（4分）已知直线ax+y2+a0在两坐标轴上的截距相等，则实数a（）A1B1C2或1D2或15（4分）对于实数m，“1m2”是“方程+1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B
2、必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（4分）若x，y满足约束条件，则zx+y（）A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值7（4分）设a，b为空间两条直线，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC若不平行，则在内不存在a，使得a平行D若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直8（4分）已知两点M（2，0），N（2，0），若直线yk（x3）上存在四个点P（i1，2，3，4），使得MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A（2，2）B（，）C（，0）（0
3、，）D（，0）（0，）9（4分）已知双曲线C1：1（a0，b0），C2：1（m0，n0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为ykx（k0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）AB2CD210（4分）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥SABCD为阳马，且ABAD，SD底面ABCD若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角SAED的平面角为，则ABCD二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11（6分）椭圆x2+1的长轴长为 ，左顶点的坐标为 12（
4、6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为 ，这个否命题是一个 命题（可填：“真”，“假”之一）13（6分）已知圆C：x2+y24x+a0，则实数a的取值范围为 ；若圆x2+y21与圆C外切，则a的值为 14（4分）已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有 条15（4分）已知双曲线1（m0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|9，则|PF2| （用数值表示）16（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足SAP
5、DSCPE，则线段C1P的长度的取值范围为 17（6分）已知A（3，0），B（3，0）及两直线l1：xy+10，l2：xy10，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD| ，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共74分解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+20和2x+y+20的交点P（）若l与直线2x+3y10垂直，求直线l的方程；（）若l与圆x2+2x+y20相切，求直线l的方程19（15分）如图，直线a与b分别交，于点A，B，C和点D，E，F（）求证：；（）若ABBC，AD2
6、，BE，CF4，求直线AD与CF所成的角20（15分）如图，在四棱锥MABCD中，平面ABCD平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AFMC（）证明：MC平面ADM；（）若AB2，DMMC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置21（15分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为（）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（）求抛物线C的方程；（）设直线l：ykx+与抛物线C有两个不同的交点A，B若点M的横坐标为2，且QAB的面积为2，求直线l
7、的方程22（15分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，（）求椭圆E的方程；（）求点Q的轨迹；（）求MNQ面积的最大值2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y3）22，则它的圆心和半径分别为（）A（2，3），2B（2，3），2C（2，3），D（2，3），【分析】直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可【解
8、答】解：由圆C的方程为（x+2）2+（y3）22，可得它的圆心和半径分别为（2，3），故选：C【点评】本题考查了圆的标准方程，是基础题2（4分）直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD【分析】直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则 0，且 tan，求得 值，即为所求【解答】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则 0，且 tan，故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到 tan，是 解题的关键3（4分）已知空间向量（3，1，0），（x，3，1），且，则x（）A3B1C1D2【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用
9、向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x的值【解答】解：3x30解得x1故选：C【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和4（4分）已知直线ax+y2+a0在两坐标轴上的截距相等，则实数a（）A1B1C2或1D2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值【解答】解：2+a0，即a2时，直线ax+y2+a0化为2x+y0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；2+a0，即a2时，直线ax+y2+a0化为+1，它在两坐标轴上的截距为2a，解得a1；综上所述，实数a2或a1故选：D【点评】本题考查了直线在两
10、坐标轴上的截距应用问题，是基础题5（4分）对于实数m，“1m2”是“方程+1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+1表示双曲线，则（m1）（m2）0，得1m2，则“1m2”是“方程+1表示双曲线”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围 是解决本题的关键6（4分）若x，y满足约束条件，则zx+y（）A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值【分
11、析】画出x，y满足的平面区域，利用yx+z的截距的最值求得z 的最值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线yx+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z 的最小值为2+02，由于区域是开放型的，所以z 无最大值；故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值7（4分）设a，b为空间两条直线，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC若不平行，则在内不存在a，使得a平行D若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直【分析】利用空间中线线、线面、面面
12、间的位置关系求解【解答】解：若a不平行，则当a时，在内存在b，使得ba，故A错误；若a不垂直，则在内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若不平行，则在内在无数条直线a，使得a平行，故C错误；若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直，由平面与平面垂直的性质定理得D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8（4分）已知两点M（2，0），N（2，0），若直线yk（x3）上存在四个点P（i1，2，3，4），使得MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A（2，2）B（，）C（，0）（0，）D（，0）（0，）【分析】根据MNP是直角三角形，转化为
13、以MN为直径的圆和直线yk（x3）相交，且k0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可【解答】解：当P1Mx，P4Mx时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，MNP是直角三角形，要使直线yk（x3）上存在四个点P（i1，2，3，4），使得MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线yk（x3）相交，且k0，圆心O到直线kxy3k0的距离d2，平方得9k24（1+k2）4+4k2，即5k24，即k2，得k，即k，又k0，实数k的取值范围是（，0）（0，），故选：D【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合MNP是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的
14、关键9（4分）已知双曲线C1：1（a0，b0），C2：1（m0，n0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为ykx（k0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）AB2CD2【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得e121k2，e221，即（e121）（e221）1，再根据基本不等式即可求出【解答】解：双曲线C1，C2的渐近线方程均为ykx，k，k，e1，e2，e121k2，e221，（e121）（e221）1，e12e22（e12+e22）0，e12e22（e1+e2）2+e1e20（）4（e1+e2）2+（）20，当且仅当e1e2时取等号，即k1时取等号，（e1+e2）
15、28e1+e22故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题10（4分）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥SABCD为阳马，且ABAD，SD底面ABCD若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角SAED的平面角为，则ABCD【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到SAD，从而【解答】解：四棱锥SABCD为阳马，且ABAD，SD底面ABCDE是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD
16、所成的角为，二面角SAED的平面角为，SAD，故选：A【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11（6分）椭圆x2+1的长轴长为10，左顶点的坐标为（1，0）【分析】直接由椭圆的性质得答案【解答】解：由椭圆x2+1可知，椭圆焦点在y轴上，长轴长2a10，左顶点的坐标为（1，0）故答案为：10；（1，0）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题12（6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数
17、”的否命题可表示为若两个整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，这个否命题是一个假命题（可填：“真”，“假”之一）【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则a+b为偶数，即可判断真假【解答】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，由a，b均为奇数，可得a+b为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，假【点评】本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题13（6分）已知圆C：x2+y24x+a0，则实数a的取值范围为（，4）；若
18、圆x2+y21与圆C外切，则a的值为3【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可【解答】解：由x2+y24x+a0得（x2）2+y24a，若方程表示圆，则4a0，得a4，即实数a的取值范围是（，4），圆心C（2，0），半径R，若圆x2+y21与圆C外切，则|OC|R+1，即2+1，即1，即4a1，得a3，故答案为：（，4），3【点评】本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键14（4分）已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有4条【分析】作出长方体ABCDEFGH，利用列
19、举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数【解答】解：作出长方体ABCDEFGH，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条故答案为：4【点评】本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题15（4分）已知双曲线1（m0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|9，则|PF2|17或1（用数值表示）【分析】根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可【解答】解：双曲线1（m0）的一个焦点为F1（5，0
20、），c5，a2c2b225916，a4，P为双曲线上一点，且|PF1|9，|PF2|PF1|2a8，|PF2|17，或|PF2|1，故答案为：17或1【点评】本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义|PF1|PF2|2a，是解题的关键，属基础题16（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足SAPDSCPE，则线段C1P的长度的取值范围为3，7【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解【解答】解：由SAPDSCPE，
21、得2PDPC，在平面CDD1C1内，以D为原点建立坐标系如图，设P（x，y），则4（x2+y2）（x3）2+y2，整理得（x+1）2+y24，设圆心为M，求得|C1M|5，C1P的取值范围是：52，5+2，故答案为：3，7【点评】此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中17（6分）已知A（3，0），B（3，0）及两直线l1：xy+10，l2：xy10，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD|，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为+【分析】利用两平行线间的距离公式能求出|CD；当直线CD的方程为：x+y0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值【解答
22、】解：两直线l1：xy+10，l2：xy10互相平行，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，|CD|，A（3，0），B（3，0）及两直线l1：xy+10，l2：xy10，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，当直线CD的方程为：x+y0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值，联立，得C（），联立，得D（），|AC|+|CD|+|DB|的最小值为：+故答案为：，【点评】本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解谷题应写出文字说明、证
23、明过程或演算步骤）18（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+20和2x+y+20的交点P（）若l与直线2x+3y10垂直，求直线l的方程；（）若l与圆x2+2x+y20相切，求直线l的方程【分析】（1）联立方程组求出点P（2，2），由点P（2，2），且所求若l与直线2x+3y10垂直，设所求直线l的方程为3x2y+m0，将点P坐标代入能求出直线l的方程（II）求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出【解答】解：（）由，解得x2，y2，则点P（2，2）由于点P（2，2），且所求直线l与直线2x+3y10垂直，设所求直线l的方程
24、为3x2y+m0，将点P坐标代入得3（2）22+m0，解得m10故所求直线l的方程为3x2y+100（II）圆的标准方程为（x+1）2+y21，所以圆心为（1，0），半径为1，若直线l的斜率不存在，此时x2，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y2k（x+2），则圆心到直线l的距离d1，解得k【点评】本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（15分）如图，直线a与b分别交，于点A，B，C和点D，E，F（）求证：；（）若ABBC，AD2，BE，CF4，求直线AD与CF所成的角【分析】（）连接AF交平面
25、于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；（）找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解【解答】（）证明：连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，平面ACFBG，平面ACFCF，BGCF，则，同理，由，可得GEAD，则；（）解：BGCF，GEAD，BGE（或其补角）就是直线AD与CF所成的角，BG2，GE1，又BE，CF4，由余弦定理可得cos，得BGE120直线AD与CF所成的角为60【点评】本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题20（15分）如图，在四棱锥MABCD中，平面ABCD平
26、面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AFMC（）证明：MC平面ADM；（）若AB2，DMMC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置【分析】（）推导出AD平面MCD，ADMC，再由AFMC，能证明MC平面ADM（）由MC平面ADM，知MCMD，从而MCMD，过M作MOCD，交CD于O，则MO平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点【解答】证明：（）平面ABCD平面MCD，平面ABCD平面MCDCD，ADCD，AD平面ABCD，AD平面MCD，MC平面MCD，ADMC，
27、又AFMC，ADAFA，MC平面ADM解：（）由MC平面ADM，知MCMD，MCMD，过M作MOCD，交CD于O，平面ABCD平面MCD，MO平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，1，1），设，（0），则F（0，），（2，），（2，0，0），（2，1，1），设平面MBC的一个法向量（x，y，z），则由，得，取y1，得（0，1，1），设直线AF与平面MBC所成的角为，则cos，sin，解得，F是DM的中点【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的
28、点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（15分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为（）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（）求抛物线C的方程；（）设直线l：ykx+与抛物线C有两个不同的交点A，B若点M的横坐标为2，且QAB的面积为2，求直线l的方程【分析】（）根据焦点F（0，）以及MFO的外接圆的圆心为Q，即可求出；（）由题意可得（），解得p2，即可求出抛物线方程；（）先判断MFO为直角三角形
29、，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（）设Q（xQ，yQ），焦点F（0，）以及MFO的外接圆的圆心为Q，Q点的纵坐标为yQ，（）抛物线C的准线方程为y，（），解得p2，抛物线C的方程x24y（）可知M（2，1），F（0，1），O（0，0），MFO为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为（1，），点Q到直线AB的距离d，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消y可得x24kx20，x1+x24k，x1x22，|AB|，SQAB|AB|d2，解得k22，即k，直线l的方程为yx+【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置
30、关系，训练了弦长公式的应用，是中档题22（15分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，（）求椭圆E的方程；（）求点Q的轨迹；（）求MNQ面积的最大值【分析】（）先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；（）设点Q（x，y），设点P（x0，y0），由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过
31、分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；（）求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出MNQ面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用0，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出MNQ面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出MNQ面积的最大值【解答】解：（）可知，又M在E上，所以，另外，所以可解得a2，得E的方程为；（）由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关
32、于原点对称，所以，设点Q（x，y），P（x0，y0），则，由，得，即，两时相乘得又因为点P（x0，y0）在E上，所以，即，代入，即当时，得2x2+y25；当时，则得或此时，或，也满足方程2x2+y25若点P与点M重合，即由，解得或若点P与点N重合时，同理可得或故所求点Q的轨迹是：椭圆2x2+y25除去四个点、的曲线；（）因为点Q（x，y）到直线的距离，且易知，所以，MNQ的面积为当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，MNQ面积的最大值为；（一）几何相切法：设l的平行直线，由，得，由0得可得此时椭圆2x2+y25与l相切的切点为、，易得MNQ面积的最大值为（因为）（二）三角换元法：由Q的轨迹方程2x2+y25，设，代入，易得MNQ面积的最大值为（因为）【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题
