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2018-2019学年浙江省宁波市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年浙江省宁波市高二(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的)1(4分)已知圆C的方程为(x+2)2+(y3)22,则它的圆心和半径分别为()A(2,3),2B(2,3),2C(2,3),D(2,3),2(4分)直线x+y+10的倾斜角为()ABCD3(4分)已知空间向量(3,1,0),(x,3,1),且,则x()A3B1C1D24(4分)已知直线ax+y2+a0在两坐标轴上的截距相等,则实数a()A1B1C2或1D2或15(4分)对于实数m,“1m2”是“方程+1表示双曲线”的()A充分不必要条件B

2、必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6(4分)若x,y满足约束条件,则zx+y()A有最小值2,最大值3B有最小值2,无最大值C有最大值3,无最小值D既无最小值,也无最大值7(4分)设a,b为空间两条直线,为空间两个平面,则下列命题中真命题的是()A若a不平行,则在内不存在b,使得b平行aB若a不垂直,则在内不存在b,使得b垂直aC若不平行,则在内不存在a,使得a平行D若不垂直,则在内不存在a,使得a垂直8(4分)已知两点M(2,0),N(2,0),若直线yk(x3)上存在四个点P(i1,2,3,4),使得MNP是直角三角形,则实数k的取值范围是()A(2,2)B(,)C(,0)(0

3、,)D(,0)(0,)9(4分)已知双曲线C1:1(a0,b0),C2:1(m0,n0),若双曲线C1,C2的渐近线方程均为ykx(k0),且离心率分别为e1,e2,则e1+e2的最小值为()AB2CD210(4分)在九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图,已知四棱锥SABCD为阳马,且ABAD,SD底面ABCD若E是线段AB上的点(不含端点),设SE与AD所成的角为,SE与底面ABCD所成的角为,二面角SAED的平面角为,则ABCD二、填空题(本大题共7小题,单空题每题4分,多空题每题6分,共36分)11(6分)椭圆x2+1的长轴长为 ,左顶点的坐标为 12(

4、6分)命题“若整数a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题可表示为 ,这个否命题是一个 命题(可填:“真”,“假”之一)13(6分)已知圆C:x2+y24x+a0,则实数a的取值范围为 ;若圆x2+y21与圆C外切,则a的值为 14(4分)已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有 条15(4分)已知双曲线1(m0)的一个焦点为F1(5,0)(设另一个为F2,P是双曲线上的一点,若|PF1|9,则|PF2| (用数值表示)16(4分)如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是BC的中点,P是平面CDD1C1内一点,且满足SAP

5、DSCPE,则线段C1P的长度的取值范围为 17(6分)已知A(3,0),B(3,0)及两直线l1:xy+10,l2:xy10,作直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为C、D,则|CD| ,|AC|+|CD|+|DB|的最小值为 三、解答题(本大题共5小题,共74分解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(14分)在平面直角坐标系中,已知直线l经过直线4x+3y+20和2x+y+20的交点P()若l与直线2x+3y10垂直,求直线l的方程;()若l与圆x2+2x+y20相切,求直线l的方程19(15分)如图,直线a与b分别交,于点A,B,C和点D,E,F()求证:;()若ABBC,AD2

6、,BE,CF4,求直线AD与CF所成的角20(15分)如图,在四棱锥MABCD中,平面ABCD平面MCD,底面ABCD是正方形,点F在线段DM上,且AFMC()证明:MC平面ADM;()若AB2,DMMC,且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为,试确定点F的位置21(15分)已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,O为坐标原点,记经过M,F,O三点的圆的圆心为Q,且点Q到抛物线C的准线的距离为()求点Q的纵坐标;(可用p表示)()求抛物线C的方程;()设直线l:ykx+与抛物线C有两个不同的交点A,B若点M的横坐标为2,且QAB的面积为2,求直线l

7、的方程22(15分)已知椭圆E:+1(ab0)的离心率为,直线l:yx与椭圆E相交于M,N两点,点P是椭圆E上异于M,N的任意一点,若点M的横坐标为,且直线l外的一点Q满足:,()求椭圆E的方程;()求点Q的轨迹;()求MNQ面积的最大值2018-2019学年浙江省宁波市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的)1(4分)已知圆C的方程为(x+2)2+(y3)22,则它的圆心和半径分别为()A(2,3),2B(2,3),2C(2,3),D(2,3),【分析】直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可【解

8、答】解:由圆C的方程为(x+2)2+(y3)22,可得它的圆心和半径分别为(2,3),故选:C【点评】本题考查了圆的标准方程,是基础题2(4分)直线x+y+10的倾斜角为()ABCD【分析】直线的斜率等于,设它的倾斜角等于 ,则 0,且 tan,求得 值,即为所求【解答】解:直线的斜率等于,设它的倾斜角等于 ,则 0,且 tan,故选:B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,得到 tan,是 解题的关键3(4分)已知空间向量(3,1,0),(x,3,1),且,则x()A3B1C1D2【分析】利用向量垂直的充要条件:数量积为0列出向量等式;利用

9、向量的数量积公式列出关于x的方程,求出x的值【解答】解:3x30解得x1故选:C【点评】本题考查向量垂直的充要条件:数量积为0、考查向量数量积公式:对应坐标乘积的和4(4分)已知直线ax+y2+a0在两坐标轴上的截距相等,则实数a()A1B1C2或1D2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时,求出对应a的值【解答】解:2+a0,即a2时,直线ax+y2+a0化为2x+y0,它在两坐标轴上的截距为0,满足题意;2+a0,即a2时,直线ax+y2+a0化为+1,它在两坐标轴上的截距为2a,解得a1;综上所述,实数a2或a1故选:D【点评】本题考查了直线在两

10、坐标轴上的截距应用问题,是基础题5(4分)对于实数m,“1m2”是“方程+1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:若方程+1表示双曲线,则(m1)(m2)0,得1m2,则“1m2”是“方程+1表示双曲线”的充要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合双曲线方程的特点求出m的取值范围 是解决本题的关键6(4分)若x,y满足约束条件,则zx+y()A有最小值2,最大值3B有最小值2,无最大值C有最大值3,无最小值D既无最小值,也无最大值【分

11、析】画出x,y满足的平面区域,利用yx+z的截距的最值求得z 的最值【解答】解:x,y满足的平面区域如图:当直线yx+z经过A时z最小,经过B时z最大,由得到A(2,0)所以z 的最小值为2+02,由于区域是开放型的,所以z 无最大值;故选:B【点评】本题考查了简单线性规划问题,首先正确画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最值7(4分)设a,b为空间两条直线,为空间两个平面,则下列命题中真命题的是()A若a不平行,则在内不存在b,使得b平行aB若a不垂直,则在内不存在b,使得b垂直aC若不平行,则在内不存在a,使得a平行D若不垂直,则在内不存在a,使得a垂直【分析】利用空间中线线、线面、面面

12、间的位置关系求解【解答】解:若a不平行,则当a时,在内存在b,使得ba,故A错误;若a不垂直,则在内至存在一条直线b,使得b垂直a,故B错误;若不平行,则在内在无数条直线a,使得a平行,故C错误;若不垂直,则在内不存在a,使得a垂直,由平面与平面垂直的性质定理得D正确故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养8(4分)已知两点M(2,0),N(2,0),若直线yk(x3)上存在四个点P(i1,2,3,4),使得MNP是直角三角形,则实数k的取值范围是()A(2,2)B(,)C(,0)(0,)D(,0)(0,)【分析】根据MNP是直角三角形,转化为

13、以MN为直径的圆和直线yk(x3)相交,且k0,然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可【解答】解:当P1Mx,P4Mx时,此时存在两个直角三角形,当MN为直角三角形的斜边时,MNP是直角三角形,要使直线yk(x3)上存在四个点P(i1,2,3,4),使得MNP是直角三角形,等价为以MN为直径的圆和直线yk(x3)相交,且k0,圆心O到直线kxy3k0的距离d2,平方得9k24(1+k2)4+4k2,即5k24,即k2,得k,即k,又k0,实数k的取值范围是(,0)(0,),故选:D【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用,根据条件结合MNP是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的

14、关键9(4分)已知双曲线C1:1(a0,b0),C2:1(m0,n0),若双曲线C1,C2的渐近线方程均为ykx(k0),且离心率分别为e1,e2,则e1+e2的最小值为()AB2CD2【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得e121k2,e221,即(e121)(e221)1,再根据基本不等式即可求出【解答】解:双曲线C1,C2的渐近线方程均为ykx,k,k,e1,e2,e121k2,e221,(e121)(e221)1,e12e22(e12+e22)0,e12e22(e1+e2)2+e1e20()4(e1+e2)2+()20,当且仅当e1e2时取等号,即k1时取等号,(e1+e2)

15、28e1+e22故选:B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式,考查运算能力,属于中档题10(4分)在九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图,已知四棱锥SABCD为阳马,且ABAD,SD底面ABCD若E是线段AB上的点(不含端点),设SE与AD所成的角为,SE与底面ABCD所成的角为,二面角SAED的平面角为,则ABCD【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到SAD,从而【解答】解:四棱锥SABCD为阳马,且ABAD,SD底面ABCDE是线段AB上的点(不含端点),设SE与AD所成的角为,SE与底面ABCD

16、所成的角为,二面角SAED的平面角为,SAD,故选:A【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题二、填空题(本大题共7小题,单空题每题4分,多空题每题6分,共36分)11(6分)椭圆x2+1的长轴长为10,左顶点的坐标为(1,0)【分析】直接由椭圆的性质得答案【解答】解:由椭圆x2+1可知,椭圆焦点在y轴上,长轴长2a10,左顶点的坐标为(1,0)故答案为:10;(1,0)【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的性质,是基础题12(6分)命题“若整数a,b都是偶数,则a+b是偶数

17、”的否命题可表示为若两个整数a,b不都是偶数,则a+b不是偶数,这个否命题是一个假命题(可填:“真”,“假”之一)【分析】由命题的否命题,既对条件否定,也对结论否定;可举a,b均为奇数,则a+b为偶数,即可判断真假【解答】解:命题“若整数a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题可表示为“若整数a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”,由a,b均为奇数,可得a+b为偶数,则原命题的否命题为假命题,故答案为:若整数a,b不都是偶数,则a+b不是偶数,假【点评】本题考查命题的否命题和真假判断,考查判断能力和推理能力,是一道基础题13(6分)已知圆C:x2+y24x+a0,则实数a的取值范围为(,4);若

18、圆x2+y21与圆C外切,则a的值为3【分析】利用配方法,求出圆心和半径,结合两圆外切的等价条件进行求解即可【解答】解:由x2+y24x+a0得(x2)2+y24a,若方程表示圆,则4a0,得a4,即实数a的取值范围是(,4),圆心C(2,0),半径R,若圆x2+y21与圆C外切,则|OC|R+1,即2+1,即1,即4a1,得a3,故答案为:(,4),3【点评】本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用,根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键14(4分)已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有4条【分析】作出长方体ABCDEFGH,利用列

19、举法能求出在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱的条数【解答】解:作出长方体ABCDEFGH,在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有:GH,CD,BC,GF,共4条故答案为:4【点评】本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题15(4分)已知双曲线1(m0)的一个焦点为F1(5,0)(设另一个为F2,P是双曲线上的一点,若|PF1|9,则|PF2|17或1(用数值表示)【分析】根据已知条件,直接利用双曲线的定义进行求解即可【解答】解:双曲线1(m0)的一个焦点为F1(5,0

20、),c5,a2c2b225916,a4,P为双曲线上一点,且|PF1|9,|PF2|PF1|2a8,|PF2|17,或|PF2|1,故答案为:17或1【点评】本题主要考查了双曲线的性质,运用双曲线的定义|PF1|PF2|2a,是解题的关键,属基础题16(4分)如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是BC的中点,P是平面CDD1C1内一点,且满足SAPDSCPE,则线段C1P的长度的取值范围为3,7【分析】首先利用面积相等得到点P与C,D的关系,进而建立平面直角坐标系,求得点P的轨迹方程,确定轨迹为圆,使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题,得解【解答】解:由SAPDSCPE,

21、得2PDPC,在平面CDD1C1内,以D为原点建立坐标系如图,设P(x,y),则4(x2+y2)(x3)2+y2,整理得(x+1)2+y24,设圆心为M,求得|C1M|5,C1P的取值范围是:52,5+2,故答案为:3,7【点评】此题考查了点的轨迹的求法,圆外一点到圆上点的距离最值问题,难度适中17(6分)已知A(3,0),B(3,0)及两直线l1:xy+10,l2:xy10,作直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为C、D,则|CD|,|AC|+|CD|+|DB|的最小值为+【分析】利用两平行线间的距离公式能求出|CD;当直线CD的方程为:x+y0时,|AC|+|CD|+|DB|取最小值【解答

22、】解:两直线l1:xy+10,l2:xy10互相平行,作直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为C、D,|CD|,A(3,0),B(3,0)及两直线l1:xy+10,l2:xy10,作直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为C、D,当直线CD的方程为:x+y0时,|AC|+|CD|+|DB|取最小值,联立,得C(),联立,得D(),|AC|+|CD|+|DB|的最小值为:+故答案为:,【点评】本题考查线估长的求法,考查三条线段和的最小值的求法,考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题三、解答题(本大题共5小题,共74分解谷题应写出文字说明、证

23、明过程或演算步骤)18(14分)在平面直角坐标系中,已知直线l经过直线4x+3y+20和2x+y+20的交点P()若l与直线2x+3y10垂直,求直线l的方程;()若l与圆x2+2x+y20相切,求直线l的方程【分析】(1)联立方程组求出点P(2,2),由点P(2,2),且所求若l与直线2x+3y10垂直,设所求直线l的方程为3x2y+m0,将点P坐标代入能求出直线l的方程(II)求出圆心和半径,分直线的斜率存在和不存在两种情况,根据圆心到直线的距离等于半径,即可求出【解答】解:()由,解得x2,y2,则点P(2,2)由于点P(2,2),且所求直线l与直线2x+3y10垂直,设所求直线l的方程

24、为3x2y+m0,将点P坐标代入得3(2)22+m0,解得m10故所求直线l的方程为3x2y+100(II)圆的标准方程为(x+1)2+y21,所以圆心为(1,0),半径为1,若直线l的斜率不存在,此时x2,满足条件,若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y2k(x+2),则圆心到直线l的距离d1,解得k【点评】本题考查直线方程的求法,直线与直线垂直的性质,直线和圆的位置关系等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是基础题19(15分)如图,直线a与b分别交,于点A,B,C和点D,E,F()求证:;()若ABBC,AD2,BE,CF4,求直线AD与CF所成的角【分析】()连接AF交平面

25、于G,连接AD,BE,CF,BG,EG,由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案;()找出直线AD与CF所成的角,然后利用余弦定理求解【解答】()证明:连接AF交平面于G,连接AD,BE,CF,BG,EG,平面ACFBG,平面ACFCF,BGCF,则,同理,由,可得GEAD,则;()解:BGCF,GEAD,BGE(或其补角)就是直线AD与CF所成的角,BG2,GE1,又BE,CF4,由余弦定理可得cos,得BGE120直线AD与CF所成的角为60【点评】本题考查异面直线所成角,考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用,是中档题20(15分)如图,在四棱锥MABCD中,平面ABCD平

26、面MCD,底面ABCD是正方形,点F在线段DM上,且AFMC()证明:MC平面ADM;()若AB2,DMMC,且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为,试确定点F的位置【分析】()推导出AD平面MCD,ADMC,再由AFMC,能证明MC平面ADM()由MC平面ADM,知MCMD,从而MCMD,过M作MOCD,交CD于O,则MO平面ABCD,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出F是DM的中点【解答】证明:()平面ABCD平面MCD,平面ABCD平面MCDCD,ADCD,AD平面ABCD,AD平面MCD,MC平面MCD,ADMC,

27、又AFMC,ADAFA,MC平面ADM解:()由MC平面ADM,知MCMD,MCMD,过M作MOCD,交CD于O,平面ABCD平面MCD,MO平面ABCD,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(0,1,1),设,(0),则F(0,),(2,),(2,0,0),(2,1,1),设平面MBC的一个法向量(x,y,z),则由,得,取y1,得(0,1,1),设直线AF与平面MBC所成的角为,则cos,sin,解得,F是DM的中点【点评】本题考查线面垂直的证明,考查满足线面角的

28、点的位置的确定,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题21(15分)已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,O为坐标原点,记经过M,F,O三点的圆的圆心为Q,且点Q到抛物线C的准线的距离为()求点Q的纵坐标;(可用p表示)()求抛物线C的方程;()设直线l:ykx+与抛物线C有两个不同的交点A,B若点M的横坐标为2,且QAB的面积为2,求直线l的方程【分析】()根据焦点F(0,)以及MFO的外接圆的圆心为Q,即可求出;()由题意可得(),解得p2,即可求出抛物线方程;()先判断MFO为直角三角形

29、,再根据点到直线的距离公式,弦长公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解:()设Q(xQ,yQ),焦点F(0,)以及MFO的外接圆的圆心为Q,Q点的纵坐标为yQ,()抛物线C的准线方程为y,(),解得p2,抛物线C的方程x24y()可知M(2,1),F(0,1),O(0,0),MFO为直角三角形,其外接圆圆心在MO的中点上,即Q的坐标为(1,),点Q到直线AB的距离d,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组,消y可得x24kx20,x1+x24k,x1x22,|AB|,SQAB|AB|d2,解得k22,即k,直线l的方程为yx+【点评】本题考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置

30、关系,训练了弦长公式的应用,是中档题22(15分)已知椭圆E:+1(ab0)的离心率为,直线l:yx与椭圆E相交于M,N两点,点P是椭圆E上异于M,N的任意一点,若点M的横坐标为,且直线l外的一点Q满足:,()求椭圆E的方程;()求点Q的轨迹;()求MNQ面积的最大值【分析】()先求出点M的坐标,根据离心率可得出a与b的等量关系,并将点M的坐标代入椭圆E的方程,可求出a和b的值,从而得出椭圆E的方程;()设点Q(x,y),设点P(x0,y0),由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零,得到两个等式,通过变形后将两个等式相乘,再利用点P在椭圆E上,得到一个等式,代入可得出点Q的轨迹方程,同时通过

31、分别讨论点P与点M或点N重合时,求出点Q的坐标,只需在轨迹上去除这些点即可;()求出点Q到直线l的距离,再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出MNQ面积的最大值;或者利用结合相切法,考虑直线l的平行线与椭圆E相切,联立,利用0,得出m的值,从而可得出点Q到直线l距离的最大值,利用三角新的面积公式可求出MNQ面积的最大值;或者利用椭圆的参数方程,将点Q的方程设为参数方程形式,利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值,结合三角形的面积公式可得出MNQ面积的最大值【解答】解:()可知,又M在E上,所以,另外,所以可解得a2,得E的方程为;()由直线l与椭圆E相交于M、N两点,得知M、N关

32、于原点对称,所以,设点Q(x,y),P(x0,y0),则,由,得,即,两时相乘得又因为点P(x0,y0)在E上,所以,即,代入,即当时,得2x2+y25;当时,则得或此时,或,也满足方程2x2+y25若点P与点M重合,即由,解得或若点P与点N重合时,同理可得或故所求点Q的轨迹是:椭圆2x2+y25除去四个点、的曲线;()因为点Q(x,y)到直线的距离,且易知,所以,MNQ的面积为当且仅当时,即当或时,等号成立,所以,MNQ面积的最大值为;(一)几何相切法:设l的平行直线,由,得,由0得可得此时椭圆2x2+y25与l相切的切点为、,易得MNQ面积的最大值为(因为)(二)三角换元法:由Q的轨迹方程2x2+y25,设,代入,易得MNQ面积的最大值为(因为)【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算,考查计算能力,属于难题