1、2018-2019学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知复数z，则z为（）A1+iB1iC1+2iD12i2（5分）方程2sin表示的图形是（）A圆B直线C椭圆D射线3（5分）n个连续自然数按规律如图，根据规律，从2019到2021，箭头的方向依次为（）ABCD4（5分）高中数学旧教材中“极限”章节的知识结构图如图，那么在此章节中，“极限”主要是由（）块内容构成A8B7C5D25（5分）有以下几组（x，y）的统计数据：（1，2），（2，4），
2、（4，5），（3，10），（10，12），要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（）A（3，10）B（10，12）C（1，2）D（4，5）6（5分）点M（1，）关于直线（R）的对称点的极坐标为（）ABCD7（5分）下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（）A回归分析和独立性检验没有什么区别B回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系C独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系D回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验8（5分）若直线l：（t为参数），经过坐标原点，则直线l的斜率是（）
3、A2B1C1D29（5分）若曲线yx2+ax+b在点（1，1）处的切线为3xy20，则有（）Aa1，b1Ba1，b1Ca2，b1Da2，b110（5分）若直线ykx与曲线C：（为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）ABCD11（5分）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定（a，b）（c，d）当且仅当ac，bd；运算“”为：（a，b）（c，d）（acbd，bc+ad），运算“”为：（a，b）（c，d）（a+c，b+d），设p，qR，若（1，2）（p，q）（5，0），则（1，2）（p，q）（）A（0，4）B（4，0）C（0，2）D（2，0）12（5分）若函数f（x）ax2+xlnxx存
4、在单调递增区间，则a的取值范围是（）A（，1）B（，+）C（1，+）D（，）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，请将正确的答案写在答题卡上13（5分）已知复数x满足x22x2，则x 14（5分）x与y的数据关系如表：x24568y3040605070为了对x，y两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型：甲：6.5x+175，乙：7x+17，分别计算出甲模型的相关指数为R120.845，乙模型的相关指数为R220.82，则 （填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好15（5分）已知扇形的弧长为1，半径为r，类比三角形的面积公式Sah，可知扇形的面积公式为 16（5分）在吸烟与患肺病是
5、否相关的判断中，有下面的说法：（1）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误；（2）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过001的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；（3）若k26.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病其中说法正确的是 17（5分）在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则AOB的面积为 18（5分）若曲线C：（为参数）关于直线l：（t为参数）对称，此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 19（
6、5分）执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M 20（5分）函数f（x）x3ax2+bx+a2在x1处有极值10，则a 三、解答题：本大恿共5小题，共50分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤21（10分）用分析法证明：当x4时，+22（10分）工厂车间某部门有8个小组，在一次技能考试中成绩情况分析如下：小组12345678大于90分人数66735337不大于90分人数3939384240424238（1）求90分以上人数y对小组序号x的线性回归方程：（，204）附：回归方程为，其中，（2）能否在犯错误的概率不超过001的前提下认为7组与8组的成绩是否优秀（大于9
7、0分）与小组有关系？附部分临界值表：P（K2k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K223（10分）已知曲线C的参数方程为（为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点（）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由24（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos（1）求C2与C3交点的直角坐
8、标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值25（10分）已知函数f（x）exmx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x0，关于x的不等式f（x）x2+1恒成立，求实数m的取值范围2018-2019学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知复数z，则z为（）A1+iB1iC1+2iD12i【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR）的形式【解答】解：故选：A【点评】本题考
9、查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题2（5分）方程2sin表示的图形是（）A圆B直线C椭圆D射线【分析】根据互化公式可得曲线的直角坐标方程，由此可得【解答】解：由2sin得22sin，得x2+y22y0，它表示圆心为（0，1），半径为1的圆故选：A【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属基础题3（5分）n个连续自然数按规律如图，根据规律，从2019到2021，箭头的方向依次为（）ABCD【分析】由归纳推理可得：当k为正整数时，4k1到4k箭头方向向右，4k到4k+1箭头方向向下，即可得解【解答】解：由图可知，当k为正整数时，4k1到4k箭头方向向右，4k到4k+1箭头方向向下，即
10、从2019到2021，箭头的方向依次为向右，向下，故选：D【点评】本题考查了归纳推理，属基础题4（5分）高中数学旧教材中“极限”章节的知识结构图如图，那么在此章节中，“极限”主要是由（）块内容构成A8B7C5D2【分析】利用观察图表可得答案【解答】解：“极限”章节的知识结构图如图，由图表可知：“极限”主要是由数列继续和函数极限2块内容构成；故选：D【点评】本题考查知识结构图的认识，属于基础题5（5分）有以下几组（x，y）的统计数据：（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（）A（3，10）B（10，12）C（1，2）
11、D（4，5）【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去（3，10）之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系【解答】解：（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），在坐标系中画出五个点，结果除去（3，10）之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系，故选：A【点评】本题考查回归分析，本题解题的关键是在一个图形中看出不在一个带状结构附近的点，去掉以后就有较强的线性关系6（5分）点M（1，）关于直线（R）的对称点的极坐标为（）ABCD【分析】过点A作ABOB，垂足为B，延长AB到A，使得BAAB，则点关于直线的对称点的坐标为A，
12、即可得出【解答】解：如图所示：点关于直线，过点A作ABOB，垂足为B，延长AB到A，使得BAAB，则点（1，）关于直线（R）的对称点的坐标为A（1，）故选：A【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、极坐标的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（）A回归分析和独立性检验没有什么区别B回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系C独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系D回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验【分析】根据题意，结合回归分析、独立性
13、检验的定义，分析选项即可得答案【解答】解：对于A、回归分析是对两个变量相关关系的分析，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验，故A错误；对于B、回归分析是对两个变量相关关系的分析，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验，故B错误；对于C、独立性检验依据的是小概率原理，不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故C错误；对于D、符合回归分析、独立性检验的定义，正确故选：D【点评】本题考查回归分析与独立性检验的定义，关键是掌握回归分析、独立性检验的定义，是基础题8（5分）若直线l：（t为参数），经过坐标原点，则直线l的斜率是（）A2B1C1D2【分析】首先把直线的参数式
14、转换为直角坐标式，进一步求出a的值【解答】解：直线l：（t为参数），转换为直角坐标的形式为：yax+2a，由于直线经过原点，故：2a0，解得：a2故选：D【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型9（5分）若曲线yx2+ax+b在点（1，1）处的切线为3xy20，则有（）Aa1，b1Ba1，b1Ca2，b1Da2，b1【分析】根据题意，利用导数求出曲线的切线斜率，从而求出a的值，再由点（1，1）在曲线yx2+ax+b上，求出b的值【解答】解：曲线yx2+ax+b在点（1，1）处的切线为3xy20，对曲线方程求导数，得y
15、2x+a，x1时，k2+a3，解得a1；又点（1，1）在曲线yx2+ax+b上，1+a+b1，解得b1；a1，b1故选：B【点评】本题考查了利用导数求曲线的切线斜率问题，是基础题目10（5分）若直线ykx与曲线C：（为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）ABCD【分析】先把参数方程化为普通方程，发现此曲线表示圆，由圆心到直线的距离等于半径求出实数k【解答】解：曲线C：（参数R），即 （x2）2+y21，表示圆心在（2，0），半径等于1的圆由题意知，圆心到直线的距离等于半径1，即1，k，故选：D【点评】本题考查将参数方程化为普通方程的方法，利用直线和圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径求出待定
16、系数的值11（5分）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定（a，b）（c，d）当且仅当ac，bd；运算“”为：（a，b）（c，d）（acbd，bc+ad），运算“”为：（a，b）（c，d）（a+c，b+d），设p，qR，若（1，2）（p，q）（5，0），则（1，2）（p，q）（）A（0，4）B（4，0）C（0，2）D（2，0）【分析】由（1，2）（p，q）（5，0），可得（p2q，2p+q）（5，0），解出p，q再利用（1，2）（p，q）（1+p，2+q）即可得出【解答】解：（1，2）（p，q）（5，0），（p2q，2p+q）（5，0），解得则（1，2）（p，q）（1+p，2+q）（
17、2，0）故选：D【点评】本题考查了新定义运算，考查了理解能力与计算能力，属于基础题12（5分）若函数f（x）ax2+xlnxx存在单调递增区间，则a的取值范围是（）A（，1）B（，+）C（1，+）D（，）【分析】结合已知可知f（x）ax+lnx0在（0，+）上有解，即a在（0，+）上有解，构造函数g（x），x0，结合导数分析函数的基本趋势可求【解答】解：f（x）ax2+xlnxx存在单调递增区间f（x）ax+lnx0在（0，+）上有解，即a在（0，+）上有解，令g（x），x0则g（x），当xe时，g（x）0，g（x）单调递增，当xe时，g（x）0，g（x）单调递减又x0，g（x）+，x+，g（
18、x）0g（e）a当a时，f（x）x+lnx，令h（x）x+lnx，则h（x），当xe时，h（x）0，函数单调递减0xe，h（x）0，函数单调递增h（x）h（e）0，即，f（x）0恒成立，此时不满足题意故选：B【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，解题的关键是对函数基本趋势的分析二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，请将正确的答案写在答题卡上13（5分）已知复数x满足x22x2，则x1i【分析】直接求解实系数一元二次方程得答案【解答】解：由x22x2，得x22x+20，故答案为：1i【点评】本题考查实系数一元二次方程的解法，是基础的计算题14（5分）x与y的数据关系如表：
19、x24568y3040605070为了对x，y两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型：甲：6.5x+175，乙：7x+17，分别计算出甲模型的相关指数为R120.845，乙模型的相关指数为R220.82，则甲（填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好【分析】直接由相关指数与拟合效果的关系得答案【解答】解：用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，甲模型的相关指数为R120.845，乙模型的相关指数为R220.82，R12R22，甲模型拟合的效果更好故答案为：甲【点评】本题考查相关指数与拟合效果的关系，熟记教材基础知识是关键，是基础题15（5分）已知扇
20、形的弧长为1，半径为r，类比三角形的面积公式Sah，可知扇形的面积公式为【分析】因为扇形可以看成以弧长为底，以半径为高的三角形，因此扇形面积公式可类比三角形面积公式给出【解答】解：三角形的高类比扇形的半径，三角形的底类比扇形的弧，所以扇形的面积公式为故答案为：【点评】本题考查的是类比推理，注意知识的迁移16（5分）在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：（1）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误；（2）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过001的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺
21、病；（3）若k26.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病其中说法正确的是（1）【分析】根据独立性检验的基本思想，对题目中的命题进行分析、判断即可【解答】解：对于（1），从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，从独立性检验知，这句话的意思是有95%的把握认为这个推理是正确的，有5%的可能性使得推断错误，故（1）正确；对于（2），从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，从独立性检验知，这一句话的意思是有99%的把握认为这个推理是正确的，有1%
22、的可能性认为推理出现错误，并不是说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病，故（2）错误；对于（3），若K2的观测值k6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，从独立性检验知，这一句话的意思是有99%的把握认为这个推理是正确的，有1%的可能性认为推理出现错误，并不是说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故（3）错误综上，以上说法正确的是（1）故答案为：（1）【点评】本题考查了独立性检验的基本思想与应用问题，是基础题17（5分）在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则AOB的面积为【分析】推导出在直角坐标系中，A（，），B（，），由此能求出AOB的面积【解
23、答】解：在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），在直角坐标系中，A（，），B（，），AOB的面积为S故答案为：【点评】本题考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18（5分）若曲线C：（为参数）关于直线l：（t为参数）对称，此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为【分析】把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1【解答】解：由（为参数），消去参数，得曲线C的直角坐标方程为（xa）2+（y2）21，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，由直线l：（t为参数），
24、消去参数t，可得直线l的直角坐标方程为：2xy40，圆关于直线 2xy40对称，圆心（a，2）在直线2xy40上，即2a240，解得a3，此时圆C的方程为（x3）2+（y2）21，原点O到圆心（3，2）的距离为，原点O到圆C上的点的最大值为+1故答案为：+1【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，考查圆关于直线的对称圆的求法，是中档题19（5分）执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M12【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值【解答】解：模拟程序的运行，可得a1，b2，k3，n1满足条件n3，执行循环体，M5，a2，b5，n2满足条件n3，
25、执行循环体，M12，a5，b12，n3不满足条件n3，退出循环，输出M的值为12故答案为：12【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题20（5分）函数f（x）x3ax2+bx+a2在x1处有极值10，则a4【分析】求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可，注意要进行检验【解答】解：函数的导数f（x）3x22ax+b，函数yx3ax2+bx+a2在x1处有极值10，消去b得a2+a120，得a3或a4，即或，当a3，b3时，f（x）3x26x+33（x1）20，此时函数f（x）为增函数，不存在极值，不满足条件即
26、a4成立故答案为：4【点评】本题主要考查函数导数的应用，结合函数极值和导数之间的关系建立方程求出a的值是解决本题的关键注意要进行检验三、解答题：本大恿共5小题，共50分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤21（10分）用分析法证明：当x4时，+【分析】分析使不等式+成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证【解答】证明：当x4时要证只需证（2分）只需证（5分）即证只需证x25x+6x25x+4即证64显然上式成立，（9分）所以原不等式成立，即（10分）【点评】本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等
27、式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题22（10分）工厂车间某部门有8个小组，在一次技能考试中成绩情况分析如下：小组12345678大于90分人数66735337不大于90分人数3939384240424238（1）求90分以上人数y对小组序号x的线性回归方程：（，204）附：回归方程为，其中，（2）能否在犯错误的概率不超过001的前提下认为7组与8组的成绩是否优秀（大于90分）与小组有关系？附部分临界值表：P（K2k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）列
28、出22列联表，求得K2的值，与临界值表比较得结论【解答】解：（1），204，y关于x的线性回归方程为；（2）由题意得22列联表：优秀非优秀合计7组 3 42 45 8组 7 38 45 合计 10 80 901.86.635，在犯错误的概率不超过001的前提下不能认为7组与8组的成绩是否优秀（大于90分）与小组有关系【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，是中档题23（10分）已知曲线C的参数方程为（为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点（）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中
29、点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由【分析】（）设时对应的点为M，时对应的点为N，线段AP扫过的面积SAMN+S弓形SOMN+S弓形S扇形OMN12；（）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得【解答】解：（I）设时对应的点为M，时对应的点为N，线段AP扫过的面积SAMN+S弓形SOMN+S弓形S扇形OMN12（4分）（II）设P（cos，sin），A（2，0）P为线段AQ的中点，Q（2cos2，2sin）（6分）Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y21（2cos2）2+（2sin）218cos7，cos（8分）P（，）（10分）【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中
30、档题24（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值【分析】（I）由曲线C2：2sin，化为22sin，把代入可得直角坐标方程同理由C3：2cos可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：yxtan，其中0，；时，为x0（y0）其极坐标方程为：（R，0），利用|AB|即可得出【解答】解：（I）由曲线C2：2sin，化为22s
31、in，x2+y22y同理由C3：2cos可得直角坐标方程：，联立，解得，C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（2）曲线C1：（t为参数，t0），化为普通方程：yxtan，其中0，；时，为x0（y0）其极坐标方程为：（R，0），A，B都在C1上，A（2sin，），B|AB|4，当时，|AB|取得最大值4【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题25（10分）已知函数f（x）exmx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x0，关于x的不等式f（x）x2+1恒成立，求实数m的取值范围【
32、分析】（1）f（x）exm，分当m0，当m0，（2）依题意m，对任意x0恒成立令，x0，根据单调性，即可求解【解答】解：（1）依题意f（x）exmxf（x）exm，当m0时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当m0时，令f（x）0，得xlnm，当xlnm时，f（x）0，函数f（x）在（，lnm）递减，当xlnm时，f（x）0，函数f（x）在（lnm，+）递增综上，当m0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增，当m0时，函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增（2）当x0时，不等式f（x）x2+1恒成立，即m，对任意x0恒成立令，x0，则g（x），由（1）可得f（x）exx在（0，+）递增，f（x）f（0）1，可得exx+1，f（x）0有唯一解x1，当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）递减，当1时，g（x）0，g（x）在（1，+）递增g（x）ming（1）e2me2【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求单调性、恒成立问题，属于中档题
