1、62空间的直线与平面62.1点、线、面的位置关系(一)学习目标 1知道平面是不加定义的概念，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述公理1，公理2及推论，理解它们的地位和作用4会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义知识链接1在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合2点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外预习导引1平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的(2)平面的画法水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角
2、通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍，如图.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.(3)平面的表示法图的平面可表示为平面，平面ABCD，平面AC或平面BD.2点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l直线l，m相交于点AlmA平面，相交于直线ll3.平面的基本性质(1)公理1文字语言：如果
3、一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内符号语言：Al，Bl，且A，Bl图形语言：(2)公理2文字语言：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面符号语言：A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C图形语言：三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面推论2：两相交直线确定一个平面推论3：两平行直线确定一个平面4空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种5异面直线(1)定义：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)题型一平面概念的理解例1下列对平面的描述语句：平静的太平洋面就是一个平面；8个平
4、面重叠起来比6个平面重叠起来厚；四边形确定一个平面；平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集其中正确的是_答案解析序号正误原因分析太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，可无限延展的平面是无大小、无厚薄之分的如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面平面是空间中点的集合，是无限集规律方法解决此类问题的关键是深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系另外要注意平面具有如下特点：(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分跟踪演练1判断下列说法是否正确，
5、并说明理由：(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都可以表示平面；(3)平面ABCD的面积为10 cm2；(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线解(1)(3)(4)错，(2)正确因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增加立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也如此，这与平面几何是有区别的有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形如矩形、圆、正多边形等表示平面，但绝不能说它是平面题型二线共面问题例2求证：两两平行的三条直线如果都与
6、另一条直线相交，那么这四条直线共面解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：ab，直线a与b确定一个平面，设为，laA，lbB，Aa，Bb，则A，B.而Al，Bl，由公理1可知：l.bc，直线b与c确定一个平面，设为，同理可知l.平面和平面都包含直线b与l，且lbB，又经过两条相交直线，有且只有一个平面，平面与平面重合，直线a，b，c和l共面规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有：直线和直线外一点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，两条相交直线确定一个平面(2)
7、重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合(如本例)跟踪演练2求证：两两相交且不共点的四条直线共面解已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线求证：a，b，c，d共面证明：无三线共点情况，如图(1)所示，设adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a，d可确定一个平面.Nd，Qa，N，Q，NQ，即b.同理c，a，b，c，d共面有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且Ka，Ka，K与a确定一个平面，设为.Na，a，N.NK，即b.同理c，d.a，b，c，d共面由知a，b，c，d共面题型三判断空
8、间中两条直线的位置关系例3如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系：直线A1B与D1C的位置关系是_；直线A1B与B1C的位置关系是_；直线D1D与D1C的位置关系是_；直线AB与B1C的位置关系是_答案平行异面相交异面解析序号结论原因分析平行A1D1綊BC，四边形A1BCD1为平行四边形，A1BD1C异面A1B与B1C不同在任何一个平面内相交D1DD1CD1异面AB与B1C不同在任何一个平面内规律方法(1)两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行(或重合)(2)两条直线相交，总可以找到它们的交点，作图时用实点标出(3)两条直线异面，有时看上去像平
9、行，有时看上去像相交(如题图中的A1B与B1C)，所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其是要学会判定两条直线异面的方法跟踪演练3已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面如图(1)(2)(3)课堂达标1下列命题中正确的是()A书桌面是平面B有一个平面的长是40 m，宽是10 mC平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念D四边形是平面图形答案C解析几何里的平面是理想的，绝对的平且无大小，无厚薄，不可度量2空间可以确定一个平面的条件是()A两条直线 B一个点和一条直线C一个三角
10、形 D三个点答案C解析确定一个平面的条件有：不共线三点，直线和直线外一点，两条平行直线，两条相交直线3若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()AQb BQb CQb DQb答案B解析点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.4设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_答案C解析l，ABlC，C，CAB，ABC.5空间不共线的四点，可以确定平面的个数是_答案1或4解析对于不共线四点：当有三点共线时确定一个平面；当任意三点都不共线时，可确定一个平面或四个平面课堂小结1证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内2证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问题称作共面问题共面问题的证明，一般先确定平面，然后再证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素必须满足公理2或其三个推论的条件证明元素在平面内，常依据公理1或用反证法或用平面重合的方法3判定空间两直线是异面直线的方法：(1)根据异面直线的定义；(2)反证法.
