1、2018-2019学年广东省深圳高中（集团）高二（下）期中数学试卷（文科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x0，Bx|1x1，则AB（）A（1，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）2（5分）i 为虚数单位，则复数 z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）“x1”是“x21”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知向量，且，则实数m（）A3B1C4D25（5分）已知曲线 ysin（x+） （0 ）关于直线 x 对称
2、，则 的最小值为（）ABCD6（5分）直线l：3x+4y+50被圆M：（x2）2+（y1）216截得的弦长为（）AB5CD107（5分）已知在极坐标系中，点A（2，），B（，），O（0，0），则ABO为（）A正三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形8（5分）下列函数求导运算正确的有（）（3x）3xlog3e；（log2x）；（ex）ex；（）x；（xex）ex（1+x）A1个B2个C3个D4个9（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的a值为16，则循环体的判断框内处应填（）A2B3C4D510（5分）已知A（2，0），在O：x2+y21上任取一点P，则满足的概率为（）AB
3、CD11（5分）已知a1，b0，a+b2，则的最小值为（）ABCD12（5分）已知双曲线E：1（a0，b0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|3|FQ|，若|OP|b，则E的离心率为（）ABC2D二填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数f（x）+ln（x+1）的定义域为 14（5分）若实数x，y满足条件，则z2x+y的最大值是 15（5分）已知直线l的普通方程为x+y+10，点P是曲线为参数）上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为 16（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三
4、种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且p、qN*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）qp，例如f（12）431，则数列f（3n）的前2019项和为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB0（1）求角A的大小；（2）已知，ABC的面积为1，求边a18（12分）已知等比数列an的各项为正数，且（1）求an的通项公式；（2）设bnlog3a1+log3a2+log3
5、an，求证数列的前n项和Sn219（12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段22，35）35，45）45，55）55，59人数（单位：人）18018016080约定：此单位45岁59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事完成下列22列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30（3）
6、若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82820（12分）已知抛物线C：x22py（0p2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，kOAkOB2且OAB的面积为16，求l的方程21（12分）已知函数（a0）（1）求f（x）在（，0上的单调性及极值；（2）若g（x）x2bxf（x），对任意的b1，2，不等式g（x）0都在x（1，e）上有解
7、，求实数a的取值范围四、选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|2x+1|（a0），g（x）x+2（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省深圳
8、高中（集团）高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x0，Bx|1x1，则AB（）A（1，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）【分析】运用集合的并集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合Ax|x0，Bx|1x1，则ABx|x1（1，+），故选：B【点评】本题考查集合的并集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题2（5分）i 为虚数单位，则复数 z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据复数的几何意义以及复数的基本运算进行化
9、简求解即可【解答】解：z（2ii2）2i112i，对应点的坐标为（1，2）位于第三象限，故选：C【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据条件先进行化简是解决本题的关键3（5分）“x1”是“x21”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可【解答】解：因为“x1”“x21”，而“x21”推不出“x1”，所以“x1”是“x21”充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断4（5分）已知向量，且，则实数m（）A3B1C4D2【分析】利用平面向量坐标运算法则求出（2m，2），再由
10、，能求出实数m的值【解答】解：向量，（2m，2），（）2（2m）+20，解得实数m3故选：A【点评】本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）已知曲线 ysin（x+） （0 ）关于直线 x 对称，则 的最小值为（）ABCD【分析】根据正弦函数的性质，x 时，y取得最值，即可求解 的最小值【解答】解：ysin（x+） （0 ）关于直线 x 对称，当，x 时，y取得最值，即+，kZ0，当k0时，可得，此时 的值最小故选：D【点评】本题考查正弦函数的对称性性质，x 时，y取得最值是关键，属于基础题6（5分
11、）直线l：3x+4y+50被圆M：（x2）2+（y1）216截得的弦长为（）AB5CD10【分析】根据直线和圆的位置关系，结合弦长公式进行求解即可【解答】解：圆（x2）2+（y1）216，圆心（2，1），半径r4，圆心到直线的距离d3，直线3x+4y+50被圆（x2）2+（y1）216截得的弦长l2故选：C【点评】本题考查直线和圆的位置关系，利用弦长公式是解决本题的关键7（5分）已知在极坐标系中，点A（2，），B（，），O（0，0），则ABO为（）A正三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形【分析】利用余弦定理可得|AB|，再利用勾股定理的逆定理即可得出【解答】解：|AB|，可得|A
12、B|2+|OB|2|OA|2，ABOB又，ABO为等腰直角三角形故选：D【点评】本题考查了余弦定理、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）下列函数求导运算正确的有（）（3x）3xlog3e；（log2x）；（ex）ex；（）x；（xex）ex（1+x）A1个B2个C3个D4个【分析】根据（ax）axlna，（logax），（lnx）即可作出判断【解答】解：（3x）3xln3，故错误；（log2x），故正确；（ex）ex，故正确；（），故错误；（xex）ex+xex，故正确故选：C【点评】本题考查了导数的运算法则，熟练掌握公式是解题的关键，本题是一道基础题9（5分）已知
13、流程图如图所示，该程序运行后，若输出的a值为16，则循环体的判断框内处应填（）A2B3C4D5【分析】i1时进入循环此时a212，依此类推，当i4时应跳出循环，从而得到循环满足的条件【解答】解：模拟执行程序，可得：i1时进入循环此时a212，i2时再进入循环此时a224，i3时再进入循环此时a2416，由题意，i4时应跳出循环，可得：循环满足的条件为i3，故选：B【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于
14、基础题10（5分）已知A（2，0），在O：x2+y21上任取一点P，则满足的概率为（）ABCD【分析】画出图象，求出满足条件的P的范围，求出满足条件的概率即可【解答】解：如图示：，显然OP1，OA2，则AP，此时，AOP60，则POP120，故满足条件的概率p，故选：C【点评】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道中档题11（5分）已知a1，b0，a+b2，则的最小值为（）ABCD【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：已知a1，b0，a+b2，可得：（a1）+b1，a10，则（a1）+b1+2+；当且仅当，a+b2，时取等号则的最小值为：+；故选：A【点评】本题
15、是应用题，考查的是基本不等式的应用，乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”属于中档题12（5分）已知双曲线E：1（a0，b0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|3|FQ|，若|OP|b，则E的离心率为（）ABC2D【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得OPF190，在QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨丨OQ丨，四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨丨F
16、Q丨，丨PF丨丨QF1丨，由|PF|3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨丨PF1丨2a，丨PF1丨a，|OP|b，丨OF1丨c，OPF190，在QPF1中，丨PQ丨2b，丨QF1丨3a，丨PF1丨a，则（2b）2+a2（3a）2，整理得：b22a2，则双曲线的离心率e，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题二填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数f（x）+ln（x+1）的定义域为（1，2）【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【解答】解：由，解得1x2函数f（x）+ln（x+1
17、）的定义域为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题14（5分）若实数x，y满足条件，则z2x+y的最大值是6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由z2x+y得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点A时，直线y2x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z2x+y得z22+26，即目标函数z2x+y的最大值为6故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，
18、结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）已知直线l的普通方程为x+y+10，点P是曲线为参数）上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为【分析】由点到直线的距离以及三角函数的性质可得【解答】解：设P（cos，sin），则P到直线l的距离d故答案为：【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题16（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且p、qN*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）qp，例如f（12）431，则数列f（3n）的前2019项和为31010
19、1【分析】由题意得n为偶数时，f（3n）0；n为奇数时，f（3n）23，把数列f（3n）的前2019项和转化为等比数列求和即可【解答】解：n为偶数时，f（3n）0，n为奇数时，f（3n）23f（3）+f（32）+f（33）+f（34）+f（32019）f（3）+f（33）+f（32019）230+231+2310092（30+31+31009）2310101故答案为：310101【点评】本题考查了数列的求和，关键是对规律的发现，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根
20、据要求作答17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB0（1）求角A的大小；（2）已知，ABC的面积为1，求边a【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可（2）方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可方法2：利用三角形的面积以及知，求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可【解答】（本小题满分12分）（1）解：bcosA+asinB0由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB0（2分）0B，sinB0，cosA+sinA0（3分），tanA1（4分）又0A（5分）（6分）（2）方法1：解：，SABC1，即：（8分）又由余弦定
21、理得：（11分）故：（12分）方法2：，SABC1，即：（8分）又由解得：（9分）由余弦定理得：a2b2+c22bccosA10（11分）故：（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力18（12分）已知等比数列an的各项为正数，且（1）求an的通项公式；（2）设bnlog3a1+log3a2+log3an，求证数列的前n项和Sn2【分析】（1）设出等比数列的公比，利用已知条件求出公比和首项，即可求解数列的通项公式（2）化简数列bn，利用裂项相消法求解数列数列的前n项和Sn，即可证明结果【解答】解：（1）设数列an的公比为q，9a32a2a6，即9a2
22、2q2a2a2q4，解得q29又q0，则q3，（2分）a32a2+9，即9a16a1+9，解得a13，（4分）（5分）（2）证明：a1a2an31+2+3+n，（6分）bnlog3a1+log3a2+log3anlog3（a1a2an），（8分）2（9分）Sn22（1）22（12分）【点评】本题考查等比数列的应用，数列求和的方法，对数的运算法则的应用，考查转化首项以及计算能力19（12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段22，35）35，45）45，55）55，59人数（单位：人）18018016080约定：此单位45岁59岁为中年人
23、，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事完成下列22列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82
24、8【分析】（1）利用分层抽样原理计算抽出的人数即可；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；（2）22列联表如下：热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中年7512总计131730计算观测值，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为A1，A2，A3，A4，其余两人记为B1，B2，则从中选两人，一共有如下15种情况：抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以所求的概率为【点评】本题考查了分层抽样原
25、理与列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题20（12分）已知抛物线C：x22py（0p2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，kOAkOB2且OAB的面积为16，求l的方程【分析】（1）将M（2，y0）代入x22py得y0，再根据抛物线的定义可得p1，可得抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及面积公式可得【解答】解：（1）将M（2，y0）代入x22py得y0，又|MF|y0（）+，p1，抛物线的方程为x22y，（2）直l的斜率显然存在，设直线l：ykx+b，A（x1，y1）、B（x2，）
26、由得：x22kx2b0x1+x22k，x1x22b由，kOAkOB2，b4直线方程为：ykx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d，SOABd|AB|216，4k2+3264，解得k2所以直线方程为：y2x+4【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题21（12分）已知函数（a0）（1）求f（x）在（，0上的单调性及极值；（2）若g（x）x2bxf（x），对任意的b1，2，不等式g（x）0都在x（1，e）上有解，求实数a的取值范围【分析】（1）判断f（x）的符号，得出f（x）的单调区间和单调性，再计算极值；（2）令关于b的一次函数的最大值小于0得出得出h（x）x+x2alnx0
27、在（1，e）上有解，讨论a的范围得出h（x）的单调性，根据h（x）的极值或最值再进行判断【解答】（1）当x（，0时，f（x）2xex，f（x）2ex（x+1），当x1时，f（x）0，当1x0时，f（x）0，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，0）单调递增，当x1时，f（x）取得极小值，f（x）无极大值（2）当1xe时，g（x）x2bxalnx，令yxb+x2alnx，b1，2，则y为关于b的一次函数且为减函数，根据题意，对任意b1，2，都存在x（1，e），使得g（x）0成立，则在x（1，e）上，有解，令h（x）x+x2alnx，只需存在x0（1，e）使得h（x0）0即可，由于，令（x）2x2
28、xa，x（1，e），（x）4x10，（x）在（1，e）上单调递增，（x）（1）1a，当1a0，即a1时，（x）0，即h（x）0，h（x）在（1，e）上单调递增，h（x）h（1）0，不符合题意当1a0，即a1时，（1）1a0，（e）2e2ea，若a2e2e1，则（e）0，所以在（1，e）上（x）0恒成立，即h（x）0恒成立，h（x）在（1，e）上单调递减，存在x0（1，e）使得h（x0）h（1）0，符合题意若2e2ea1，则（e）0，在（1，e）上一定存在实数m，使得（m）0，在（1，m）上（x）0恒成立，即h（x）0恒成立，h（x）在（1，m）上单调递减，存在x0（1，m）使得h（x0）h（1
29、）0，符合题意综上所述，当a1时，对任意的b1，2，都存在x（1，e），使得g（x）0成立【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查分类讨论思想，属于中档题四、选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由xcos，
30、ysin，能求出曲线C的极坐标方程（2）联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），由此能求出|AB|【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x1）2+y23，又xcos，ysin，曲线C的极坐标方程为22cos20（2）联立，得220，由0解得2，射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），|AB|BA|4【点评】本题考查曲线的极坐标的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转
31、化思想、函数与方程思想，是中档题选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|2x+1|（a0），g（x）x+2（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）当a1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，|2xa|+|2x+1|x20 恒成立令h（x）|2xa|+|2x+1|x2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围【解答】解：（1）当a1时，不等式f（x）g（x）即|2x1|+|2x+1|x+2，等价于 ，或 ，或解求得 x无解，解求得0x，解求得x，综上，不等式的解集为x|0x（2）由题意可得|2xa|+|2x+1|x+2恒成立，转化为|2xa|+|2x+1|x20 恒成立令h（x）|2xa|+|2x+1|x2 （a0），易得h（x）的最小值为 1，令 10，求得a2【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题
