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2018-2019学年广东省深圳高中(集团)高二(下)期中数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年广东省深圳高中(集团)高二(下)期中数学试卷(文科)一选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合Ax|x0,Bx|1x1,则AB()A(1,1)B(1,+)C(0,1)D(0,+)2(5分)i 为虚数单位,则复数 z在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3(5分)“x1”是“x21”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4(5分)已知向量,且,则实数m()A3B1C4D25(5分)已知曲线 ysin(x+) (0 )关于直线 x 对称

2、,则 的最小值为()ABCD6(5分)直线l:3x+4y+50被圆M:(x2)2+(y1)216截得的弦长为()AB5CD107(5分)已知在极坐标系中,点A(2,),B(,),O(0,0),则ABO为()A正三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形8(5分)下列函数求导运算正确的有()(3x)3xlog3e;(log2x);(ex)ex;()x;(xex)ex(1+x)A1个B2个C3个D4个9(5分)已知流程图如图所示,该程序运行后,若输出的a值为16,则循环体的判断框内处应填()A2B3C4D510(5分)已知A(2,0),在O:x2+y21上任取一点P,则满足的概率为()AB

3、CD11(5分)已知a1,b0,a+b2,则的最小值为()ABCD12(5分)已知双曲线E:1(a0,b0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|3|FQ|,若|OP|b,则E的离心率为()ABC2D二填空题:共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)函数f(x)+ln(x+1)的定义域为 14(5分)若实数x,y满足条件,则z2x+y的最大值是 15(5分)已知直线l的普通方程为x+y+10,点P是曲线为参数)上的任意一点,则点P到直线l的距离的最大值为 16(5分)将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34三种,其中34是这三

4、种分解中两数差的绝对值最小的,我们称34为12的最佳分解当pq(pq且p、qN*)是正整数n的最佳分解时,我们定义函数f(n)qp,例如f(12)431,则数列f(3n)的前2019项和为 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答17(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA+asinB0(1)求角A的大小;(2)已知,ABC的面积为1,求边a18(12分)已知等比数列an的各项为正数,且(1)求an的通项公式;(2)设bnlog3a1+log3a2+log3

5、an,求证数列的前n项和Sn219(12分)2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:年龄段22,35)35,45)45,55)55,59人数(单位:人)18018016080约定:此单位45岁59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事完成下列22列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30(3)

6、若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82820(12分)已知抛物线C:x22py(0p2)的焦点为F,M(2,y0)是C上的一点,且(1)求C的方程;(2)直线l交C于A、B两点,kOAkOB2且OAB的面积为16,求l的方程21(12分)已知函数(a0)(1)求f(x)在(,0上的单调性及极值;(2)若g(x)x2bxf(x),对任意的b1,2,不等式g(x)0都在x(1,e)上有解

7、,求实数a的取值范围四、选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系(1)求曲线C的普通方程及极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是,射线OT:与曲线C交于点A与直线l交于点B,求线段AB的长选修4-5:不等式选讲23设函数f(x)|2xa|+|2x+1|(a0),g(x)x+2(1)当a1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围2018-2019学年广东省深圳

8、高中(集团)高二(下)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合Ax|x0,Bx|1x1,则AB()A(1,1)B(1,+)C(0,1)D(0,+)【分析】运用集合的并集的定义,即可得到所求集合【解答】解:集合Ax|x0,Bx|1x1,则ABx|x1(1,+),故选:B【点评】本题考查集合的并集的求法,运用定义法解题是关键,属于基础题2(5分)i 为虚数单位,则复数 z在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据复数的几何意义以及复数的基本运算进行化

9、简求解即可【解答】解:z(2ii2)2i112i,对应点的坐标为(1,2)位于第三象限,故选:C【点评】本题主要考查复数的几何意义,根据条件先进行化简是解决本题的关键3(5分)“x1”是“x21”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可【解答】解:因为“x1”“x21”,而“x21”推不出“x1”,所以“x1”是“x21”充分不必要条件故选:A【点评】本题考查充要条件的判定,基本知识的考查,注意条件与结论的判断4(5分)已知向量,且,则实数m()A3B1C4D2【分析】利用平面向量坐标运算法则求出(2m,2),再由

10、,能求出实数m的值【解答】解:向量,(2m,2),()2(2m)+20,解得实数m3故选:A【点评】本题考查向量的模的求法,考查平面向量坐标运算法则,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题5(5分)已知曲线 ysin(x+) (0 )关于直线 x 对称,则 的最小值为()ABCD【分析】根据正弦函数的性质,x 时,y取得最值,即可求解 的最小值【解答】解:ysin(x+) (0 )关于直线 x 对称,当,x 时,y取得最值,即+,kZ0,当k0时,可得,此时 的值最小故选:D【点评】本题考查正弦函数的对称性性质,x 时,y取得最值是关键,属于基础题6(5分

11、)直线l:3x+4y+50被圆M:(x2)2+(y1)216截得的弦长为()AB5CD10【分析】根据直线和圆的位置关系,结合弦长公式进行求解即可【解答】解:圆(x2)2+(y1)216,圆心(2,1),半径r4,圆心到直线的距离d3,直线3x+4y+50被圆(x2)2+(y1)216截得的弦长l2故选:C【点评】本题考查直线和圆的位置关系,利用弦长公式是解决本题的关键7(5分)已知在极坐标系中,点A(2,),B(,),O(0,0),则ABO为()A正三角形B直角三角形C等腰锐角三角形D等腰直角三角形【分析】利用余弦定理可得|AB|,再利用勾股定理的逆定理即可得出【解答】解:|AB|,可得|A

12、B|2+|OB|2|OA|2,ABOB又,ABO为等腰直角三角形故选:D【点评】本题考查了余弦定理、勾股定理的逆定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题8(5分)下列函数求导运算正确的有()(3x)3xlog3e;(log2x);(ex)ex;()x;(xex)ex(1+x)A1个B2个C3个D4个【分析】根据(ax)axlna,(logax),(lnx)即可作出判断【解答】解:(3x)3xln3,故错误;(log2x),故正确;(ex)ex,故正确;(),故错误;(xex)ex+xex,故正确故选:C【点评】本题考查了导数的运算法则,熟练掌握公式是解题的关键,本题是一道基础题9(5分)已知

13、流程图如图所示,该程序运行后,若输出的a值为16,则循环体的判断框内处应填()A2B3C4D5【分析】i1时进入循环此时a212,依此类推,当i4时应跳出循环,从而得到循环满足的条件【解答】解:模拟执行程序,可得:i1时进入循环此时a212,i2时再进入循环此时a224,i3时再进入循环此时a2416,由题意,i4时应跳出循环,可得:循环满足的条件为i3,故选:B【点评】本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于

14、基础题10(5分)已知A(2,0),在O:x2+y21上任取一点P,则满足的概率为()ABCD【分析】画出图象,求出满足条件的P的范围,求出满足条件的概率即可【解答】解:如图示:,显然OP1,OA2,则AP,此时,AOP60,则POP120,故满足条件的概率p,故选:C【点评】本题考查了几何概型问题,考查数形结合思想,是一道中档题11(5分)已知a1,b0,a+b2,则的最小值为()ABCD【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解:已知a1,b0,a+b2,可得:(a1)+b1,a10,则(a1)+b1+2+;当且仅当,a+b2,时取等号则的最小值为:+;故选:A【点评】本题

15、是应用题,考查的是基本不等式的应用,乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正,二定,三相等”属于中档题12(5分)已知双曲线E:1(a0,b0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|3|FQ|,若|OP|b,则E的离心率为()ABC2D【分析】由题意可知:四边形PFQF1为平行四边,利用双曲线的定义及性质,求得OPF190,在QPF1中,利用勾股定理即可求得a和b的关系,根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e【解答】解:由题意可知:双曲线的右焦点F1,由P关于原点的对称点为Q,则丨OP丨丨OQ丨,四边形PFQF1为平行四边,则丨PF1丨丨F

16、Q丨,丨PF丨丨QF1丨,由|PF|3|FQ|,根据椭圆的定义丨PF丨丨PF1丨2a,丨PF1丨a,|OP|b,丨OF1丨c,OPF190,在QPF1中,丨PQ丨2b,丨QF1丨3a,丨PF1丨a,则(2b)2+a2(3a)2,整理得:b22a2,则双曲线的离心率e,故选:B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质,考查数形结合思想,属于中档题二填空题:共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)函数f(x)+ln(x+1)的定义域为(1,2)【分析】由对数式的真数大于0,分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【解答】解:由,解得1x2函数f(x)+ln(x+1

17、)的定义域为(1,2)故答案为:(1,2)【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题14(5分)若实数x,y满足条件,则z2x+y的最大值是6【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出最优解即可求最大值【解答】解:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示;由z2x+y得y2x+z,平移直线y2x+z,由图象可知当直线y2x+z经过点A时,直线y2x+z的截距最大,此时z最大;由,解得,即A(2,2),代入目标函数z2x+y得z22+26,即目标函数z2x+y的最大值为6故答案为:6【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,

18、结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15(5分)已知直线l的普通方程为x+y+10,点P是曲线为参数)上的任意一点,则点P到直线l的距离的最大值为【分析】由点到直线的距离以及三角函数的性质可得【解答】解:设P(cos,sin),则P到直线l的距离d故答案为:【点评】本题考查了参数方程化成普通方程,属基础题16(5分)将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34三种,其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称34为12的最佳分解当pq(pq且p、qN*)是正整数n的最佳分解时,我们定义函数f(n)qp,例如f(12)431,则数列f(3n)的前2019项和为31010

19、1【分析】由题意得n为偶数时,f(3n)0;n为奇数时,f(3n)23,把数列f(3n)的前2019项和转化为等比数列求和即可【解答】解:n为偶数时,f(3n)0,n为奇数时,f(3n)23f(3)+f(32)+f(33)+f(34)+f(32019)f(3)+f(33)+f(32019)230+231+2310092(30+31+31009)2310101故答案为:310101【点评】本题考查了数列的求和,关键是对规律的发现,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根

20、据要求作答17(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA+asinB0(1)求角A的大小;(2)已知,ABC的面积为1,求边a【分析】(1)利用余弦定理以及正弦定理,转化求解即可(2)方法1:通过三角形的面积以及余弦定理,转化求解即可方法2:利用三角形的面积以及知,求出b,c,然后利用余弦定理求解a即可【解答】(本小题满分12分)(1)解:bcosA+asinB0由正弦定理得:sinBcosA+sinAsinB0(2分)0B,sinB0,cosA+sinA0(3分),tanA1(4分)又0A(5分)(6分)(2)方法1:解:,SABC1,即:(8分)又由余弦定

21、理得:(11分)故:(12分)方法2:,SABC1,即:(8分)又由解得:(9分)由余弦定理得:a2b2+c22bccosA10(11分)故:(12分)【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形底面积的求法,考查计算能力18(12分)已知等比数列an的各项为正数,且(1)求an的通项公式;(2)设bnlog3a1+log3a2+log3an,求证数列的前n项和Sn2【分析】(1)设出等比数列的公比,利用已知条件求出公比和首项,即可求解数列的通项公式(2)化简数列bn,利用裂项相消法求解数列数列的前n项和Sn,即可证明结果【解答】解:(1)设数列an的公比为q,9a32a2a6,即9a2

22、2q2a2a2q4,解得q29又q0,则q3,(2分)a32a2+9,即9a16a1+9,解得a13,(4分)(5分)(2)证明:a1a2an31+2+3+n,(6分)bnlog3a1+log3a2+log3anlog3(a1a2an),(8分)2(9分)Sn22(1)22(12分)【点评】本题考查等比数列的应用,数列求和的方法,对数的运算法则的应用,考查转化首项以及计算能力19(12分)2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:年龄段22,35)35,45)45,55)55,59人数(单位:人)18018016080约定:此单位45岁59岁为中年人

23、,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事完成下列22列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82

24、8【分析】(1)利用分层抽样原理计算抽出的人数即可;(2)填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(3)用列举法求基本事件数,计算所求的概率值【解答】解:(1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人;(2)22列联表如下:热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中年7512总计131730计算观测值,没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关;(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为A1,A2,A3,A4,其余两人记为B1,B2,则从中选两人,一共有如下15种情况:抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况,所以所求的概率为【点评】本题考查了分层抽样原

25、理与列举法求古典概型的概率问题,也考查了独立性检验的应用问题,是基础题20(12分)已知抛物线C:x22py(0p2)的焦点为F,M(2,y0)是C上的一点,且(1)求C的方程;(2)直线l交C于A、B两点,kOAkOB2且OAB的面积为16,求l的方程【分析】(1)将M(2,y0)代入x22py得y0,再根据抛物线的定义可得p1,可得抛物线的方程;(2)联立直线与抛物线,根据斜率公式和韦达定理以及面积公式可得【解答】解:(1)将M(2,y0)代入x22py得y0,又|MF|y0()+,p1,抛物线的方程为x22y,(2)直l的斜率显然存在,设直线l:ykx+b,A(x1,y1)、B(x2,)

26、由得:x22kx2b0x1+x22k,x1x22b由,kOAkOB2,b4直线方程为:ykx+4,所以直线恒过定点(0,4),原点O到直线l的距离d,SOABd|AB|216,4k2+3264,解得k2所以直线方程为:y2x+4【点评】本题考查了抛物线的性质,属中档题21(12分)已知函数(a0)(1)求f(x)在(,0上的单调性及极值;(2)若g(x)x2bxf(x),对任意的b1,2,不等式g(x)0都在x(1,e)上有解,求实数a的取值范围【分析】(1)判断f(x)的符号,得出f(x)的单调区间和单调性,再计算极值;(2)令关于b的一次函数的最大值小于0得出得出h(x)x+x2alnx0

27、在(1,e)上有解,讨论a的范围得出h(x)的单调性,根据h(x)的极值或最值再进行判断【解答】(1)当x(,0时,f(x)2xex,f(x)2ex(x+1),当x1时,f(x)0,当1x0时,f(x)0,f(x)在(,1)上单调递减,在(1,0)单调递增,当x1时,f(x)取得极小值,f(x)无极大值(2)当1xe时,g(x)x2bxalnx,令yxb+x2alnx,b1,2,则y为关于b的一次函数且为减函数,根据题意,对任意b1,2,都存在x(1,e),使得g(x)0成立,则在x(1,e)上,有解,令h(x)x+x2alnx,只需存在x0(1,e)使得h(x0)0即可,由于,令(x)2x2

28、xa,x(1,e),(x)4x10,(x)在(1,e)上单调递增,(x)(1)1a,当1a0,即a1时,(x)0,即h(x)0,h(x)在(1,e)上单调递增,h(x)h(1)0,不符合题意当1a0,即a1时,(1)1a0,(e)2e2ea,若a2e2e1,则(e)0,所以在(1,e)上(x)0恒成立,即h(x)0恒成立,h(x)在(1,e)上单调递减,存在x0(1,e)使得h(x0)h(1)0,符合题意若2e2ea1,则(e)0,在(1,e)上一定存在实数m,使得(m)0,在(1,m)上(x)0恒成立,即h(x)0恒成立,h(x)在(1,m)上单调递减,存在x0(1,m)使得h(x0)h(1

29、)0,符合题意综上所述,当a1时,对任意的b1,2,都存在x(1,e),使得g(x)0成立【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,考查分类讨论思想,属于中档题四、选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系(1)求曲线C的普通方程及极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是,射线OT:与曲线C交于点A与直线l交于点B,求线段AB的长【分析】(1)曲线C的参数方程消去参数,能求出曲线C的普通方程,再由xcos,

30、ysin,能求出曲线C的极坐标方程(2)联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为(2,),射线OT与直线l的交点B的极坐标为(6,),由此能求出|AB|【解答】解:(1)因为曲线C的参数方程为(为参数),消去参数t得曲线C的普通方程为(x1)2+y23,又xcos,ysin,曲线C的极坐标方程为22cos20(2)联立,得220,由0解得2,射线OT与曲线C的交点A的极坐标为(2,),联立,得6,故射线OT与直线l的交点B的极坐标为(6,),|AB|BA|4【点评】本题考查曲线的极坐标的求法,考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转

31、化思想、函数与方程思想,是中档题选修4-5:不等式选讲23设函数f(x)|2xa|+|2x+1|(a0),g(x)x+2(1)当a1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围【分析】(1)当a1时,不等式等价于3个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求(2)由题意可得,|2xa|+|2x+1|x20 恒成立令h(x)|2xa|+|2x+1|x2,化简它的解析式,求得它的最小值,再令最小值大于或等于零,求得a的范围【解答】解:(1)当a1时,不等式f(x)g(x)即|2x1|+|2x+1|x+2,等价于 ,或 ,或解求得 x无解,解求得0x,解求得x,综上,不等式的解集为x|0x(2)由题意可得|2xa|+|2x+1|x+2恒成立,转化为|2xa|+|2x+1|x20 恒成立令h(x)|2xa|+|2x+1|x2 (a0),易得h(x)的最小值为 1,令 10,求得a2【点评】本题主要考查带有绝对值的函数,函数的恒成立问题,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题