1、一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB2（5分）已知命题：“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（）A0B1C2D43（5分）设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件4（5分）已知p：|x1|2，q：xZ，若pq，q同时为假命题，则满足条件的x的集合为（）Ax|x1或x3，xZBx|1x3，xZCx|x1或x3，xZDx|1x3，xZ5（5分）已
2、知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD6（5分）F1、F2分别是椭圆C：+1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若PF1F2的面积为16，则b（）A1B2C3D47（5分）设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为（）A13B14C15D168（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆C的离心率为（）ABCD9（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左焦点为F，过点F的直线xy+0与椭圆C相交于
3、不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A+1B+1C+1D+110（5分）已知椭圆与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e2111（5分）过双曲线1（a0，b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C若，则双曲线的离心率是（）ABCD12（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y21的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A+1B+1C+1D
4、+1二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：1，命题q：（x+a）（x1）0若p是q的充要条件，则a的值是 14（5分）已知F为双曲线C：x2my23m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 15（5分）双曲线的两条渐近线的方程为yx，且经过点（3，2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|的值为 16（5分）如果AB是椭圆的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，M为AB的中点，则kABkOM的值为 三、解答证明题（共70分）17（10分）已知命题p：关于x的方程x2ax+
5、40有实根；命题q：关于x的函数y2x2+ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围18（12分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程19（12分）已知椭圆方程为x2+1，过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B（1）求直线l的斜率k的取值范围；（2）当k时，求（O为坐标系原点）的值20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy+0相切，过点P（4，0）且
6、不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由22（12分）设圆x2+y2+2x150的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（）证明|EA|
7、+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围2019-2020学年广西南宁市宾阳中学高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB 的否定是：p：xA，2x
8、B故选：C【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”2（5分）已知命题：“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（）A0B1C2D4【分析】根据命题的等价关系，可先判断原命题与逆命题的真假【解答】解：若ab，c20，则ac2bc2原命题若ab，则ac2bc2为假；逆否命题与原命题等价，逆否命题也为假原命
9、题的逆命题是：若ac2bc2，则c20且c20，则ab逆命题为真；又逆命题与否命题等价，否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2故选：C【点评】本题考查命题的真假判断，根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个3（5分）设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a21得a1或a1，即“a1”是“a21”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键
10、，比较基础4（5分）已知p：|x1|2，q：xZ，若pq，q同时为假命题，则满足条件的x的集合为（）Ax|x1或x3，xZBx|1x3，xZCx|x1或x3，xZDx|1x3，xZ【分析】对于命题p：|x1|2，解得x3或x1由于pq，q同时为假命题，可得q真p假【解答】解：对于命题p：|x1|2，解得x3或x1q：xZ，pq，q同时为假命题，q真p假，解得x0，1，2则满足条件的x的集合为0，1，2故选：D【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于基础题5（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD【分析】
11、利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程【解答】解：双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，a2+b225，1，b，a2双曲线的方程为故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）F1、F2分别是椭圆C：+1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若PF1F2的面积为16，则b（）A1B2C3D4【分析】设|PF1|m，|PF2|n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|PF2|2b2，结合PF1F2的面积为16，求得
12、b的值【解答】解：如图，设|PF1|m，|PF2|n，PF1PF2，得F1PF290，m2+n24（a2b2），m+n2a，则有（m+n）2m2+n2+2mn，即mn2b2，|PF1|PF2|2b2PF1F2的面积S|PF1|PF2|2b216，解得b4故选：D【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识7（5分）设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为（）A13B14C15D16【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|2a+|PM|PF2|10+|PM
13、|PF2|10+|MF2|，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，由此能求出|PM|+|PF1|的最大值【解答】解：F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，由题意F2（3，0），点M的坐标为（6，4），|MF2|5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|2a+|PM|PF2|10+|PM|PF2|10+|MF2|15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，|PM|+|PF1|的最大值为15故选：C【点评】本题考查线段和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义及性质的合理运用8（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若P
14、F1F230，则椭圆C的离心率为（）ABCD【分析】由已知条件推导出PF2x轴，PF2，PF2，从而得到，由此能求出椭圆的离心率【解答】解：线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（c，0），c+x0，xc；P与F2的横坐标相等，PF2x轴，PF1F230，PF2，PF1+PF22a，PF2，tanPF1F2，e故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用9（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左焦点为F，过点F的直线xy+0与椭圆C相交于不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A+
15、1B+1C+1D+1【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得a22b2，再根据a2b2c23，解得即可【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，+1，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）+（y1y2）（y1+y2）0，P为线段AB的中点，2xpx1+x2，2ypy1+y2，又kAB1kOP，a22b2，由椭圆的左焦点F（c，0）在直线xy+0上，c，即a2b2c23，由可得b23，a26，椭圆C的方程为+1，故选：D【点评】本题考查了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题10（5分）已知椭圆与双曲线C2
16、：y21（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e21【分析】由题意可得m21n2+1，即m2n2+2，由条件可得mn，再由离心率公式，即可得到结论【解答】解：由题意可得m21n2+1，即m2n2+2，又m1，n0，则mn，由e12e221+1，则e1e21故选：A【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题11（5分）过双曲线1（a0，b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C若，则双曲线的离心率是（）AB
17、CD【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据c2a2b2，求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：直线l：yx+a与渐近线l1：bxay0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay0交于C（，），A（a，0），（，），（，），b2a，c2a24a2，e25，e，故选：C【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用12（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y21的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A+1B+1
18、C+1D+1【分析】由题意，双曲线x2y21的渐近线方程为yx，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+1利用，即可求得椭圆方程【解答】解：由题意，双曲线x2y21的渐近线方程为yx以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，（2，2）在椭圆C：+1（ab0）上又a24b2a220，b25椭圆方程为：+1故选：D【点评】本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：1，命题q：（x+a）（x1）0若p是q的充要条件，则a的值是1【分析】命题p：1x1，命题q：（x+a）（
19、x1）0由p是q的充要条件，能求出a【解答】解：命题p：1，即1x1，命题q：（x+a）（x1）0p是q的充要条件，a1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查充要条件、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知F为双曲线C：x2my23m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出焦点，以及一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式，计算即可得到【解答】解：双曲线C：x2my23m即为1，则设F（，0），一条渐近线方程为yx，则F到渐近线的距离为d故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点
20、到直线的距离的公式，考查运算能力，属于基础题15（5分）双曲线的两条渐近线的方程为yx，且经过点（3，2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|的值为【分析】由双曲线的两条渐近线的方程为yx，可设双曲线的方程为2x2y2（0），然后根据双曲线过点（3，2），代入求，可得双曲线方程，设A（x1、y1）、B（x2、y2），写出过F且倾斜角为60的直线方程，与双曲线的方程联立，利用弦长公式求|AB|的值【解答】解：（1）双曲线的两条渐近线方程的方程为yx，可设双曲线的方程为2x2y2（0），又双曲线经过点（3，2），代入方程可得6，所求双曲线的方程为，右焦点F（3，0
21、）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60的直线方程为y（x3），联立，得x218x+330，则x1+x218，x1x233，则弦长|AB|16故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题16（5分）如果AB是椭圆的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，M为AB的中点，则kABkOM的值为【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kABkOM中求得结果【解答
22、】解：设直线为：ykx+t，联立椭圆和直线消去y得：（4k2+1）x2+8ktx+4t2160，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）0，所以：x1+x2所以，M点的横坐标为：Mx（x1+x2）又：y1kx1+t，y2kx2+t，所以y1+y2k（x1+x2）+2t所以，点M的纵坐标My（y1+y2），所以：kOM，所以：kABkOM故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便三、解答证明题（共70分）17（10分）已知命题p：关于x的方程x2ax+40有实根；命题q：关于x的函数y2x2+
23、ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2ax+40有实根；命题q：关于x的函数y2x2+ax+4在3，+）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围【解答】解：若p真：则a2440a4或a4（4分）若q真：，a12（8分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假（10分）当p真q假时：a12；当p假q真时：4a4（12分）综上，a的取值范围为（，12）（4，4）（
24、14分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键18（12分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程【分析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可【解答】解：焦点在x轴上，椭圆方程为 +1
25、，c设双曲线为 1，ma4，（5分），易得a7，m3（7分）椭圆和双曲线的焦距为2 ，b236，n24椭圆方程为 +1，双曲线方程为 1（9分）焦点在y轴上，椭圆方程为 +1，双曲线方程为 1（12分）【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题19（12分）已知椭圆方程为x2+1，过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B（1）求直线l的斜率k的取值范围；（2）当k时，求（O为坐标系原点）的值【分析】（1）显然直线x0不满足题设条件，设直线l：ykx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式求解即可（2）利用
26、x1x2+y1y2结合（1）韦达定理，化简数量积，求解即可【解答】解：（1）显然直线x0不满足题设条件，故设直线l：ykx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y并整理，得（k2+2）x2+4kx+20所以x1+x2，x1x2由（4k）28（k2+2）8k2160，得k 或k所以直线l的斜率k的取值范围为：k 或k（2）因为x1x2+y1y2又y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4+4，当k时，x1x2+y1y2+0【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的
27、离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy+0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点【分析】（1）由题意知，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为yk（x4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由0可求k的范围，然后代入x1x2+y1y2中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，y
28、2），写出AE的方程，令y0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，即b又a2b2+c2a2，b故椭圆的方程为（2分）（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk（x4）由可得：（3+4k2）x232k2x+64k2120（4分）设A（x1，y1），B （x2，y2），则322k44（3+4k2）（64k212）0（6分）x1+x2，x1x2x1x2+y1y2）（3）证明：B，E关于x轴对称可设E（x2，y2）直线AE的方程为令y0可得xy1k（x14），y2k（x24）1直线AE与x轴交于定点（1，0）【点评】本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆相交关系的应用
29、，方程思想的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）由，得xx1+2x2，yy1+2y2，由M，N都在椭圆1上，设，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标【解答】解：（）椭圆C：+1（ab0）经过
30、点（，1），且离心率为，解得a2，b，椭圆C的方程为1（）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得xx1+2x2，yy1+2y2，M，N都在椭圆1上，（）（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）20+4（x1x2+2y1y2），设，x1x2+2y1y20，x2+2y220，点P是椭圆上的点，由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|24为定值，又|F1F2|22，F1，F2的坐标分别为F1（，0），F2（，0）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用22（12分）设圆x2+
31、y2+2x150的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【分析】（）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EBED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（）设直线l：xmy+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQl，设PQ：ym（x1），求得
32、A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（）证明：圆x2+y2+2x150即为（x+1）2+y216，可得圆心A（1，0），半径r4，由BEAC，可得CEBD，由ACAD，可得DC，即为DEBD，即有EBED，则|EA|+|EB|EA|+|ED|AD|4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a4，即a2，c1，b，则点E的轨迹方程为+1（y0）；（）椭圆C1：+1，设直线l：xmy+1，由PQl，设PQ：ym（x1），由可得（3m2+4）y2+6my90，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，则|MN|y1y2|12，A到PQ的距离为d，|PQ|22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|MN|122424，当m0时，S取得最小值12，又0，可得S248，即有四边形MPNQ面积的取值范围是12，8）【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题
