1、（5 分）在ABC 中，已知 a ，则角 A 的值为（ ）A60或 120 B120 C60 D30或 1502 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 3S3S 2+S4，a 12，则 a5（ ）A12 B10 C10 D123 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4 （5 分）已知：sin（ +）+3cos（ ）
2、sin （ ） ，则 sincos+cos2（ ）A B C D5 （5 分）在ABC 中，cos ，BC1，AC 5，则 AB（ ）A4 B C D26 （5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1， a） ，B （ 2，b） ，且 cos2 ，则| ab|（ ）A B C D17 （5 分）已知 ， 满足：| |3，| |2，则| + |4，则| |（ ）A B C3 D8 （5 分）数列a n的前 n 项和 Snn 2+n+1；b n（1） nan（nN *） ；则数列 bn的前 50项和为（ &nb
3、sp;）A49 B50 C99 D1009 （5 分）若曲线 C1：x 2+y22x0 与曲线 C2：y （ymxm ）0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ，0）（0， ）第 2 页（共 18 页）C ， D （， ）（ ，+）10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 且，则ABC 不可能是（ ）A等腰三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形11 （5 分）已知函数 f（x ）cos （x+） （0，0）满足 ，对任意 xR恒有 ，且 f（x ）在 上不单调，则 的最小值为（ &nb
4、sp;）A4 B8 C6 D1012 （5 分）已知ABC 的面积为 ，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b14， （a+2c ）cosB +bcosA0，则 a+c（ ）A16 B12 C8 D4二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13 （5 分）等差数列a n中，a 15，a 3 是 4 与 49 的等比中项，且 a30，则 a5 等于 14 （5 分）如图在平面四边形 ABCD 中，A 45，B60，D 150，AB 2BC4，则四边形 ABCD 的面积为 &nb
5、sp; 15 （5 分）函数 的单调递增区间为 16 （5 分）已知三角形的三条边成公差为 2 的等差数列，且它的最大角的正弦值为 ，则这个三角形的面积为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写文字说明，证明过程或演算步骤 ）17已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c向量 （a， b）与（cos A ，sin B）平行（）求 A；（）若 a ，b2，求ABC 的面积18已知数列a n满足递推式 an2a n1 +1（n2） ，其中 a37第 3 页（共 18 页）（1）求数列a n的通项公式
6、；（2）已知数列（b n满足 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn19已知：向量 （sin ，1） ，向量 ， ，（1）若 ，求： 的值； （2）求： 的最大值20已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C：（xa） 2+（yb） 2r 2 及其内部所覆盖（1）试求圆 C 的方程（2）若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A，B 满足 CACB，求直线 l 的方程21等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 S545，S 660（1）求a n的通项公式 an；（2）若数列b n满足 bn+1 bna n（nN *）且 b13，求 的前 n 项和 Tn22已知向量 （mR）
7、，且 设yf（x ） （1）求 f（x）的表达式，并求函数 f（x）在 上图象最低点 M 的坐标（2）若对任意 ，f（x ）t9x+1 恒成立，求实数 t 的范围第 4 页（共 18 页）2018-2019 学年广西南宁市宾阳中学高一（下）5 月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）1 （5 分）在ABC 中，已知 a ，则角 A 的值为（ ）A60或 120 B120 C60 D30或 150【分析】由 B 的度数求出 sinB 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinA
8、的值，根据 a 大于 b，得到 A 大于 B，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数【解答】解：a ，b ，B45，由正弦定理 得：sinA ，ba，BA，即 A45，A60或 120故选：A【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键2 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 3S3S 2+S4，a 12，则 a5（ ）A12 B10 C10 D12【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程，能求出 a5 的值【解答】解：S n 为等差数列a n的前 n 项和，3S 3S 2+S4，a 12， a 1+a1+d
9、+4a1+ d，把 a12，代入得 d3a 52+4（3）10故选：B【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，第 5 页（共 18 页）且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【分析】设塔的顶层共有 a1 盏灯，则数列a n公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n项和公式能求出
10、结果【解答】解：设塔的顶层共有 a1 盏灯，则数列a n公比为 2 的等比数列，S 7 381，解得 a13故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分）已知：sin（ +）+3cos（ ）sin （ ） ，则 sincos+cos2（ ）A B C D【分析】由条件利用诱导公式求得 tan2，再利用同角三角函数的基本关系求得sincos+cos2 的值【解答】解：sin（ +） +3cos（ ）cos3cos2cos sin（）sin，tan 2，则 sincos+cos2 ，故选：D【点评】本题主要考查应用诱导公式、同
11、角三角函数的基本关系化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题5 （5 分）在ABC 中，cos ，BC1，AC 5，则 AB（ ）A4 B C D2【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC 中，cos ，cosC2 ，第 6 页（共 18 页）BC1，AC5，则 AB 4故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力6 （5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1， a） ，B （ 2，b） ，且 cos2 ，则| ab|（ ）A B
12、 C D1【分析】推导出 cos22cos 21 ，从而|cos | ，进而|tan| |ab| 由此能求出结果【解答】解：角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a） ，B（2，b） ，且 cos2 ，cos22cos 21 ，解得 cos2 ，|cos | ，|sin | ，|tan| |ab| 故选：B【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7 （5 分）已知 ， 满足：| |3，| |2，则| + |4，则| |（ ）A B C3 D【分析】由题意可得 ，而|
13、 | ，代值计算可得【解答】解：| |3，| | 2，且| + |4，| + |213+2 16， ，第 7 页（共 18 页）| | 故选：D【点评】本题考查向量的模长公式，属基础题8 （5 分）数列a n的前 n 项和 Snn 2+n+1；b n（1） nan（nN *） ；则数列 bn的前 50项和为（ ）A49 B50 C99 D100【分析】根据 a1s 13，当 n2 时，a nS ns n1 ，求出数列 an的通项公式，再由 bn（1） nan，求出数列b n的通项公式，进而求得数列 bn的前 50 项和【解答】解：数列a n的前 n 项和 Snn 2+n+1，a 1
14、s 13，当 n2 时，a nS ns n1 n 2+n+1（n1） 2+（n1）+12n，故 an b n（1） nan ，数列b n的前 50 项和为（3+4）+（6+8）+ （10+12）+（98+100）1+24249，故选：A【点评】题主要考查根据数列的前 n 项的和求数列的通项公式，利用了数列的前 n 项的和与第 n 项的关系 n2 时，a nS ns n1 ，属于中档题9 （5 分）若曲线 C1：x 2+y22x0 与曲线 C2：y （ymxm ）0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ，0）（0， ）C ， D （， ）（ ，+
15、）【分析】由题意可知曲线 C1：x 2+y22x0 表示一个圆，曲线 C2：y（ymxm ）0表示两条直线 y0 和 ymxm0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与 y0 有两交点，由两曲线要有 4 个交点可知，圆与 ymx m0 要有第 8 页（共 18 页）2 个交点，根据直线 ymxm0 过定点，先求出直线与圆相切时 m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的 m 的范围【解答】解：由题意可知曲线 C1：x 2+y22x0 表示一个圆，化为标准方程得：（x1） 2+y2 1，所以圆心坐标为（1，0） ，半径 r1；C2：y（ ymxm）0 表示两条直线 y0 和 ym
16、x m0，由直线 ymxm0 可知：此直线过定点（1，0） ，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线 y0 和圆交于点（0，0）和（2，0） ，因此直线 ymx m0 与圆相交即可满足条件当直线 ymxm0 与圆相切时，圆心到直线的距离 d r1，化简得：m 2 ，解得 m ，而 m0 时，直线方程为 y0，即为 x 轴，不合题意，则直线 ymxm0 与圆相交时，m（ ，0）（0， ） 故选：B【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题本题的突破点是理解曲线 C2：y （ymxm ）0 表示两条直线10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
17、分别为 a，b，c，若 且，则ABC 不可能是（ ）A等腰三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形【分析】运用余弦定理可得 cosA，求得 A，再由正弦定理，可得 B，C，进而判断三角第 9 页（共 18 页）形的形状，即可得到结论【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 且 ，可得 cosA ，由 0A，可得 A ，可得 sinB sinA，即有 sinB ，可得 B 或 ，即有 C ，或 C ，可得ABC 为直角三角形或钝角三角形或等腰三角形，不可能是锐角三角形，故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理、余弦定理的运用，考
18、查判断、化简运算能力，属于中档题11 （5 分）已知函数 f（x ）cos （x+） （0，0）满足 ，对任意 xR恒有 ，且 f（x ）在 上不单调，则 的最小值为（ ）A4 B8 C6 D10【分析】由题意，x 是函数的一个零点，对任意 xR 恒有 ，可得x 是取得最小值，f（x）在 上不单调，要使 的最小值，则周期 T最大值，即可求解；【解答】解：由题意，x 是函数的一个零点，对任意 xR 恒有 ，可得 x 是取得最小值，f（x）在 上不单调，要使 的最小值，第 10 页（共 18 页）则周期 T 最大值， ；可得 T ； ；故选：C【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的综
19、合应用属于基中档题12 （5 分）已知ABC 的面积为 ，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b14， （a+2c ）cosB +bcosA0，则 a+c（ ）A16 B12 C8 D4【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB ，即可得解 B 的值，利用三角形的面积公式可求 ac 的值，根据余弦定理即可求解 a+c 的值【解答】解：（a+2c）cosB+bcos A0，（sinA+2sinC）cosB +sinBcosA0，可得：（sinAcosB+sin BcosA）+2sinC cosB0，可得：sin（A+B）+2cosBsinC0，可得
20、：sin（A+B）sinC ，cosB ，B b14，ABC 的面积为 ac ，可得：ac60，由余弦定理可得：196a 2+c2+ac（a+c） 2ac（a+c） 260，解得：a+c16故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13 （5 分）等差数列a n中，a 15，a 3 是 4 与 49 的等比中项，且 a30，则 a5 等于 23 【分析】由已知结合等比数列的性质求得 a3，再由已知结合等差数列的性质求得 a5
21、【解答】解：由题意， ，第 11 页（共 18 页）a 30，a 314，又 a15，a 52a 3a 128（5）23故答案为：23【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，是基础的计算题14 （5 分）如图在平面四边形 ABCD 中，A 45，B60，D 150，AB 2BC4，则四边形 ABCD 的面积为 6 【分析】采用分割法对三角形进行分割，进一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积公式求出结果【解答】解：连接 AC，在ABC 中，AB 2BC4， B60，利用余弦定理得：AC 2BC 2+AB22BCAB cosB，解得：AC2 ，所以：AB 2A
22、C 2+BC2，则： 是直角三角形所以：DACDCA15，过点 D 作 DEAC，则：AE AC ，所以：DEtan15AE（2 2 3则： ，63 +2 ，6 第 12 页（共 18 页）故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用15 （5 分）函数 的单调递增区间为 【分析】先利用辅助角公式对函数化简 ，由，kZ 可求【解答】解：函数 由 ，kZ可得 ，kZ所以函数的单调递增区间为 ，k Z故答案为： ，k Z【点评】本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用，正弦型函数的单调区间的求解，解题的关键是灵活利用正弦函数
23、的性质16 （5 分）已知三角形的三条边成公差为 2 的等差数列，且它的最大角的正弦值为 ，则这个三角形的面积为 【分析】由题意可设三边为 a2，a，a+2（a0） ，由最大角的正弦值为 ，可知最大角为 120，结合余弦定理可得，cos120 可求 a，进而可求【解答】解：由题意可设三边为 a2，a，a+2（a0）则 a+2 为最大边，根据三角形的大边对大角可知其对的角为最大角最大角的正弦值为 ，则最大角为 120由余弦定理可得，cos120 整理可得，a 25a0a0第 13 页（共 18 页）解可得 a5，即三角形的三边为 3，5，7代入三角形的面积公式可得 S
24、故答案为：【点评】本题主要综合考查了三角形的面积公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，求解的关键是余弦定理的应用三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写文字说明，证明过程或演算步骤 ）17已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c向量 （a， b）与（cos A ，sin B）平行（）求 A；（）若 a ，b2，求ABC 的面积【分析】 （1）利用向量平行得到坐标的等式，求出 A；（2）利用余弦定理得到关于 c 的等式，求出 c，然后由三角形的面积公式求面积【解答】解：（1）因为 m n，所以 asin B bcos A0，由正弦定理，
25、得 sin Asin B sin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A ，由于 0A，所以A （6 分）（2）由余弦定理 a2b 2+c22bccos A，及 a ，b2，A ，得 74+c 22c ，即 c22c30，因为 c0，所以 c3故ABC 的面积为 bcsin A （12 分）【点评】本题考查了平面向量的平行以及解三角形；正确求出 A 是解答的关键18已知数列a n满足递推式 an2a n1 +1（n2） ，其中 a37（1）求数列a n的通项公式；第 14 页（共 18 页）（2）已知数列（b n满足 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn【分析】 （1）a n2
26、a n1 +1 两边同时加上 1，构造出数列a n+1是以 2 为公比的等比数列，通过数列a n+1的通项公式求出an的通项公式（2）由（1）求得 bn ，利用错位相消法求和即可【解答】解：（1）由已知，a 32a 2+1，得 a23，同理得 a11 在 an2a n1 +1 两边同时加上 1，得出 an+12（a n1 +1） ，所以数列a n+1是以 2 为公比的等比数列，首项为 a1+12 故 an+122 n1 2 n化简得数列a n的通项公式为 an2 n1（2）b n Sn Sn 得 Sn故 Sn2【点评】本题考查数列的递推公式和通项公式，错位相消法求和计算，考查转化计算，构造能力
27、19已知：向量 （sin ，1） ，向量 ， ，（1）若 ，求： 的值； （2）求： 的最大值【分析】 （1）利用两个向量垂直的性质，两个向量垂直，数量积等于 0，得到 sin（+）0，求出 （2）由 ，及 + ，可得当 sin（+）1 时， 有最大值【解答】解：（1） ， 0，第 15 页（共 18 页）sin+cos sin（ + ）0 ， （2） |（sin +1，cos +1）| ， + ，当 sin（+ ）1 时， 有最大值，此时， ，最大值为 +1【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法2
28、0已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C：（xa） 2+（yb） 2r 2 及其内部所覆盖（1）试求圆 C 的方程（2）若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A，B 满足 CACB，求直线 l 的方程【分析】 （1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且OPQ 是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得（2）设直线 l 的方程是：y x+b根据 CACB ，可知圆心 C 到直线 l 的距离，进而求得 b，则直线方程可得【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0） ，P（4，0） ，Q（0，2）构成的三角形及其内
29、部，且OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1） ，半径是 ，所以圆 C 的方程是（x 2） 2+（y 1） 25第 16 页（共 18 页）（2）设直线 l 的方程是：y x+b因为 ，所以圆心 C 到直线 l 的距离是 ，即 解得：b1 所以直线 l 的方程是：y x1 【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用考查了数形结合的思想，转化和化归的思想21等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 S545，S 660（1）求a n的通项公式 an；（2）若数列b n满足 bn+1 bna n（nN *）且 b13，求 的前 n 项和 Tn【分析】 （1）利用
30、等差数列的前 n 项和公式即可得出；（2）利用“累加求和” 、裂项求和、等差数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，S 545 ，S 660，解得 a n5+（n1）22n+3（2）b n+1b na n2n+3， b13，b n（b nb n1 ）+（b n1 b n2 ）+ （b 2b 1）+b 12（n1）+3+2（n2） +3+（21+3）+3n 2+2n T n + 第 17 页（共 18 页）【点评】熟练掌握等差数列的前 n 项和公式、 “累加求和” 、裂项求和等是解题的关键22已知向量 （mR） ，且 设yf（x ） （1）求 f（x）的表达
31、式，并求函数 f（x）在 上图象最低点 M 的坐标（2）若对任意 ，f（x ）t9x+1 恒成立，求实数 t 的范围【分析】 （1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可【解答】解：（1） ，即 ，消去 m，得 ，即 ，时， ， ，即 f（x）的最小值为 1，此时函数 f（x）的图象上最低点 M 的坐标是（2）f（x） t9x +1，即 ，当 时，函数 单调递增，y9x 单调递增， 在 上单调递增， 的最小值为 1，为要 恒成立，只要 t+11，t0 为所求【点评】本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现
