2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的1(5分)下列叙述正确的是()A1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B0,1,0,1,是常数列C数列0,1,2,3的通项annD数列2n+1是递增数列2(5分)若抛物线的准线方程为x7,则抛物线的标准方程为()Ax228yBx228yCy228xDy228x3(5分)命题“xR,x20”的否定为()AxR,x20BxR,x20CxR,x20DxR,x204(5分)已知等差数列an满足a2+a44,a3+a510,则它的前10项

2、的和S10()A138B135C95D235(5分)设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6(5分)抛物线y28x的焦点到双曲线x21的一条渐近线的距离为()A1B2CD7(5分)在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC()A1B2C3D48(5分)若x,y满足约束条件,则2xy的最小值为()A1B1C5D79(5分)若ab0,1,则a+b的最小值是()A4B7C8D710(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边长为a,b,c,若a,b2,sinB+cosB,则A()ABCD11(5分)设双曲线的一个焦点为F,

3、虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()ABCD12(5分)若数列an的通项公式是an(1)n(3n2),则a1+a2+a2018()A1009B3027C5217D6106二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)函数的定义域是 14(5分)已知命题p:若xy,则xy,命题q:若,则xy,在命题pq;pq;p(q);(p)q中,其中的真命题是 15(5分)已知ABC的一内角为120,并且三边长构成公差为2的等差数列,则ABC的面积为 16(5分)若关于x方程k(x2)+1有两个不相等的实数根,则实数的k的取值范围是 三、解答题:

4、本大题共6小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在等比数列an中a23,a581(1)求an;(2)设bnlog3an,求数列bn的前n项和Sn18(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值19(12分)已知直线l:yx+b与抛物线C:y24x只有一个公共点A(1)求直线l的方程;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程20(12分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1t30,tN)的旅游人数f(t) (万人)近似

5、地满足f(t)4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1t30,tN)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值21(12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a22(),a4+a5128()(1)求an的通项公式;(2)设bn(an)2,求数列bn的前n项和Tn22(12分)设椭圆C1:1(ab0),抛物线C2:x2+byb2(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若AMN的垂心为,且QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程

6、2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的1(5分)下列叙述正确的是()A1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B0,1,0,1,是常数列C数列0,1,2,3的通项annD数列2n+1是递增数列【分析】根据题意,结合数列的定义,依次分析选项,即可得答案【解答】解:对于A,数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列,故A错误,对于B,数列0,1,0,1,是摆动数列,故B错误,对于C,数列0,1,2,3,ann1,故C错误,对于D,数列2n+1是递增

7、数列,故D正确,故选:D【点评】本题考查了数列的概念和数列的通项公式,属于基础题2(5分)若抛物线的准线方程为x7,则抛物线的标准方程为()Ax228yBx228yCy228xDy228x【分析】利用抛物线的准线方程,求解抛物线的标准方程即可【解答】解:抛物线的准线方程为x7,可得P14,所以抛物线的标准方程为y228x故选:C【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力3(5分)命题“xR,x20”的否定为()AxR,x20BxR,x20CxR,x20DxR,x20【分析】全称命题的否定是特称命题,写出结果即可【解答】解:全称命题的否定是特称命题,所以命题“x

8、R,x20”的否定为:xR,x20故选:A【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查4(5分)已知等差数列an满足a2+a44,a3+a510,则它的前10项的和S10()A138B135C95D23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a44,a3+a510我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解【解答】解:(a3+a5)(a2+a4)2d6,d3,a14,S1010a1+95故选:C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可

9、以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式5(5分)设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断,此题的关键是对不等式性质的理解【解答】解:因为a,b都是实数,由ab,不一定有a2b2,如23,但(2)2(3)2,所以“ab”是“a2b2”的不充分条件;反之,由a2b2也不一定得ab,如(3)2(2)2,但32,所以“ab

10、”是“a2b2”的不必要条件故选:D【点评】判断充要条件的方法是:若pq为真命题且qp为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;若pq为假命题且qp为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;若pq为真命题且qp为真命题,则命题p是命题q的充要条件;若pq为假命题且qp为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题,举反例不失为一种有效的方法6(5分)抛物线y28x的焦点到双曲线x21的一条渐近线的距离为()A1B2CD【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,再

11、由点到直线的距离公式计算即可得到所求【解答】解:抛物线y28x的焦点为(2,0),双曲线x21的一条渐近线为yx,则焦点到渐近线的距离为d故选:C【点评】本题考查抛物线和双曲线的性质,主要考查渐近线方程和焦点坐标,运用点到直线的距离公式是解题的关键7(5分)在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC()A1B2C3D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解:在ABC中,若AB,BC3,C120,AB2BC2+AC22ACBCcosC,可得:139+AC2+3AC,解得AC1或AC4(舍去)故选:A【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力8(5分)若x,y满足约束条件,则

12、2xy的最小值为()A1B1C5D7【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,1),化目标函数z2xy为y2xz,由图可得,当直线y2xz过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为1故选:A【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题9(5分)若ab0,1,则a+b的最小值是()A4B7C8D7【分析】利用乘“1”,展开,再根据基本不等式即可求出【解答】解:ab0,a+b(a+b)(+)3+4+7+27+4,当且仅当时取等号,故则a

13、+b的最小值是7+4,故选:B【点评】本题考查了基本不等式的应用,考查了基本不等式应用的条件,属于基础题10(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边长为a,b,c,若a,b2,sinB+cosB,则A()ABCD【分析】先利用辅助角公式求出角B,然后利用正弦定理求出角A即可,注意三角形的内角和为180【解答】解:sinB+cosB,即(sinB+cosB),sin(B+),解得sin(B+)1,结合B的范围可得:B,则sinB,根据正弦定理,解得sinA,解得A或(舍去),故选:B【点评】本题主要考查了辅助角公式,以及正弦定理的应用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题11(5分)设双曲线的一

14、个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()ABCD【分析】先设出双曲线方程,则F,B的坐标可得,根据直线FB与渐近线y垂直,得出其斜率的乘积为1,进而求得b和a,c的关系式,进而根据双曲线方程a,b和c的关系进而求得a和c的等式,则双曲线的离心率可得【解答】解:设双曲线方程为,则F(c,0),B(0,b)直线FB:bx+cybc0与渐近线y垂直,所以,即b2ac所以c2a2ac,即e2e10,所以或(舍去)【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想12(5分)若数列an的通项公式是an(

15、1)n(3n2),则a1+a2+a2018()A1009B3027C5217D6106【分析】由数列的通项公式,可将该数列中依次每隔两项求和,即可得到所求和【解答】解:an(1)n(3n2),则a1+a2+a2018(1+4)+(7+10)+(13+16)+(6051+6054)3+3+3310093027故选:B【点评】本题考查数列的求和,注意运用并项求和,考查运算能力,属于基础题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)函数的定义域是(3,2)【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围,由此可以构造一个关于x的不等式,解不等式即可求出函数的定义域【解

16、答】解:要使函数的解析式有意义自变量x须满足:6xx20即x2+x60解得:3x2故函数的定义域是(3,2)故答案为:(3,2)【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式,是解答本题的关键14(5分)已知命题p:若xy,则xy,命题q:若,则xy,在命题pq;pq;p(q);(p)q中,其中的真命题是【分析】根据条件判断命题p,q的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解:命题p:若xy,则xy,则命题p是真命题,若,则xy不一定成立,比如x1,y1,满足条件,但结论不成立,即命题q是假命题则pq为假命题;pq为真命题;p(q)为

17、真命题;(p)q为假命题,故真命题的是,故答案为:【点评】本题主要考查命题的真假判断,结合复合命题真假关系是解决本题的关键15(5分)已知ABC的一内角为120,并且三边长构成公差为2的等差数列,则ABC的面积为【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列,设中间的一条边为x,则最大的边为x+2,最小的边为x2,根据余弦定理表示出cos120的式子,将各自设出的值代入即可得到关于x的方程,求出方程的解即可得到三角形的边长,然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解:设三角形的三边分别为x2,x,x+2,则cos120,解得x5,所以三角形的三边分别为:3,5,7则ABC的面积

18、S35sin120故答案为:【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,是一道中档题16(5分)若关于x方程k(x2)+1有两个不相等的实数根,则实数的k的取值范围是(0,【分析】将方程进行转化,结合函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系,利用数形结合转化为直线和圆的位置关系进行求解即可【解答】解:方程等价为2k(x2)+2,设y2k(x2)+2,y,则由y得x2+y24,(y0),对应的曲线为半径为2的圆的上半部分,y2k(x2)+2对应的曲线为过定点A(2,2)的直线,由图象知,若k(x2)+1有两个不相等的实数根,则直线和上半圆有两个交点,当

19、直线经过B(2,0)时,满足条件,此时AB的斜率kAB,当直线过C(0,2)时,AB的斜率kAC0,此时直线的斜率2k满足02k,即0k,即实数k的取值范围是(0,故答案为:(0,【点评】本题主要考查函数与方程的应用,结合条件转化为两个图象之间的关系,利用数形结合以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在等比数列an中a23,a581(1)求an;(2)设bnlog3an,求数列bn的前n项和Sn【分析】(1)求出公比和首项,代入通项公式得出答案;(2)计算bn得出bn是等差数列,代入求和公式计算即可【解答】

20、解:(1)设an的公比为q,则q327,q3,a11,an3n1(2)bnlog33n1n1,bn是以0为首项,以1为公差的等差数列【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,属于基础题18(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值【分析】(1)根据等差数列与三角形内角和定理求出B的值,再计算cosB的值;(2)由等比数列与正弦定理,利用同角的三角函数关系,即可求得sinAsinC的值【解答】解:(1)ABC中,由A、B、C成等差数列知,2BA+C,又A+B+C180,

21、B60,cosB;6分(2)由a、b、c成等比数列,知b2ac,根据正弦定理得sin2BsinAsinC,又cosB,sinAsinC1cos2B12分【点评】本题考查了等差、等比数列的应用问题,也考查了正弦、余弦定理的应用问题,是基础题19(12分)已知直线l:yx+b与抛物线C:y24x只有一个公共点A(1)求直线l的方程;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程【分析】(1)将直线l的方程与抛物线C的方程联立,消去y,利用0求出b的值,从而可得出直线l的方程;(2)由(1)中的b值,求出直线l与抛物线C的切点A的坐标,然后利用圆心A到抛物线C的准线的距离得出圆A的半径,即可

22、得出圆A的方程【解答】解:(1)由,得x2+(2b4)x+b20,由于直线l与抛物线只有一个公共点,则(2b4)24b20,得b1因此,直线l的方程为yx+1;(2)由(1)知b1,方程即为x22x+10,解得x1将其代入yx+1,得y2,故点A(1,2)又圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线准线x1的距离,即r|1(1)|2,因此,圆A的方程为(x1)2+(y2)24【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题,考查抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系,考查计算能力,属于中等题20(12分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1t30,tN)的旅

23、游人数f(t) (万人)近似地满足f(t)4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1t30,tN)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值【分析】(1)根据该城市的旅游日收益日旅游人数人均消费的钱数得w(t)与t的解析式;(2)因为w(t)中有一个绝对值,讨论t的取值,化简得W(t)为分段函数,第一段运用基本不等式求出最值,第二段是一个递减的函数求出最值比较即可【解答】解:(1)由题意,根据该城市的旅游日收益日旅游人数人均消费的钱数可得W(t)f(t)g(t)(4+)(120|t20|)(2)当t1,20时,40

24、1+4t+401+2441(t5时取最小值)当t(20,30时,因为W(t)559+递减,所以t30时,W(t)有最小值W(30)443443441t1,30时,W(t)的最小值为441万元【点评】本题考查学生根据实际情况选择函数类型的能力,以及基本不等式在求函数最值中的应用能力,属于中档题21(12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a22(),a4+a5128()(1)求an的通项公式;(2)设bn(an)2,求数列bn的前n项和Tn【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式(2)根据(1)的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和【解答】解:(1)数列an是各项均为正数的等

25、比数列,且a1+a22(),则:,由a4+a5128()整理的:由得:a11,q2,所以:(2)由于,所以:bn(an)2,则:+()+2n,【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,分组法在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型22(12分)设椭圆C1:1(ab0),抛物线C2:x2+byb2(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若AMN的垂心为,且QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程【分析】(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:c2b2,由a2b2+c2,求

26、得C1的离心率;(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设M(x1,y1),N(x1,y1)(x10),由AMN的垂心为B,根据三角形的垂心是三条高线的交点,可知,再根据三角形的重心坐标公式求得QMN的重心,代入抛物线C2:x2+byb2,即可求得椭圆C和抛物线C2的方程【解答】解:(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:c2b2,由(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设M(x1,y1),N(x1,y1)(x10),由AMN的垂心为B,有由点N(x1,y1)在抛物线上,x12+by1b2,解得:故,得QMN重心坐标由重心在抛物线上得:,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为x2+2y4【点评】此题是个中档题考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程考查抛物线的定义和简单的几何性质,特别是问题(2)的设问形式,增加了题目的难度,同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式,综合性强

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