1、2018-2019学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）下列叙述正确的是（）A1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B0，1，0，1，是常数列C数列0，1，2，3的通项annD数列2n+1是递增数列2（5分）若抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为（）Ax228yBx228yCy228xDy228x3（5分）命题“xR，x20”的否定为（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x204（5分）已知等差数列an满足a2+a44，a3+a510，则它的前10项
2、的和S10（）A138B135C95D235（5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（5分）抛物线y28x的焦点到双曲线x21的一条渐近线的距离为（）A1B2CD7（5分）在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC（）A1B2C3D48（5分）若x，y满足约束条件，则2xy的最小值为（）A1B1C5D79（5分）若ab0，1，则a+b的最小值是（）A4B7C8D710（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，若a，b2，sinB+cosB，则A（）ABCD11（5分）设双曲线的一个焦点为F，
3、虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD12（5分）若数列an的通项公式是an（1）n（3n2），则a1+a2+a2018（）A1009B3027C5217D6106二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的定义域是 14（5分）已知命题p：若xy，则xy，命题q：若，则xy，在命题pq；pq；p（q）；（p）q中，其中的真命题是 15（5分）已知ABC的一内角为120，并且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC的面积为 16（5分）若关于x方程k（x2）+1有两个不相等的实数根，则实数的k的取值范围是 三、解答题：
4、本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在等比数列an中a23，a581（1）求an；（2）设bnlog3an，求数列bn的前n项和Sn18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列（1）求cosB的值；（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值19（12分）已知直线l：yx+b与抛物线C：y24x只有一个公共点A（1）求直线l的方程；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程20（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1t30，tN）的旅游人数f（t） （万人）近似
5、地满足f（t）4+，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）120|t20|（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t30，tN）的函数关系式；（2）求该城市旅游日收益的最小值21（12分）已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a22（），a4+a5128（）（1）求an的通项公式；（2）设bn（an）2，求数列bn的前n项和Tn22（12分）设椭圆C1：1（ab0），抛物线C2：x2+byb2（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程
6、2018-2019学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）下列叙述正确的是（）A1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B0，1，0，1，是常数列C数列0，1，2，3的通项annD数列2n+1是递增数列【分析】根据题意，结合数列的定义，依次分析选项，即可得答案【解答】解：对于A，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A错误，对于B，数列0，1，0，1，是摆动数列，故B错误，对于C，数列0，1，2，3，ann1，故C错误，对于D，数列2n+1是递增
7、数列，故D正确，故选：D【点评】本题考查了数列的概念和数列的通项公式，属于基础题2（5分）若抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为（）Ax228yBx228yCy228xDy228x【分析】利用抛物线的准线方程，求解抛物线的标准方程即可【解答】解：抛物线的准线方程为x7，可得P14，所以抛物线的标准方程为y228x故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力3（5分）命题“xR，x20”的否定为（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x20【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“x
8、R，x20”的否定为：xR，x20故选：A【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4（5分）已知等差数列an满足a2+a44，a3+a510，则它的前10项的和S10（）A138B135C95D23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a44，a3+a510我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）2d6，d3，a14，S1010a1+95故选：C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可
9、以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式5（5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解【解答】解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（2）2（3）2，所以“ab”是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab
10、”是“a2b2”的不必要条件故选：D【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法6（5分）抛物线y28x的焦点到双曲线x21的一条渐近线的距离为（）A1B2CD【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再
11、由点到直线的距离公式计算即可得到所求【解答】解：抛物线y28x的焦点为（2，0），双曲线x21的一条渐近线为yx，则焦点到渐近线的距离为d故选：C【点评】本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键7（5分）在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC（）A1B2C3D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB，BC3，C120，AB2BC2+AC22ACBCcosC，可得：139+AC2+3AC，解得AC1或AC4（舍去）故选：A【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力8（5分）若x，y满足约束条件，则
12、2xy的最小值为（）A1B1C5D7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z2xy为y2xz，由图可得，当直线y2xz过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题9（5分）若ab0，1，则a+b的最小值是（）A4B7C8D7【分析】利用乘“1”，展开，再根据基本不等式即可求出【解答】解：ab0，a+b（a+b）（+）3+4+7+27+4，当且仅当时取等号，故则a
13、+b的最小值是7+4，故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了基本不等式应用的条件，属于基础题10（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，若a，b2，sinB+cosB，则A（）ABCD【分析】先利用辅助角公式求出角B，然后利用正弦定理求出角A即可，注意三角形的内角和为180【解答】解：sinB+cosB，即（sinB+cosB），sin（B+），解得sin（B+）1，结合B的范围可得：B，则sinB，根据正弦定理，解得sinA，解得A或（舍去），故选：B【点评】本题主要考查了辅助角公式，以及正弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题11（5分）设双曲线的一
14、个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cybc0与渐近线y垂直，所以，即b2ac所以c2a2ac，即e2e10，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想12（5分）若数列an的通项公式是an（
15、1）n（3n2），则a1+a2+a2018（）A1009B3027C5217D6106【分析】由数列的通项公式，可将该数列中依次每隔两项求和，即可得到所求和【解答】解：an（1）n（3n2），则a1+a2+a2018（1+4）+（7+10）+（13+16）+（6051+6054）3+3+3310093027故选：B【点评】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查运算能力，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的定义域是（3，2）【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的定义域【解
16、答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6xx20即x2+x60解得：3x2故函数的定义域是（3，2）故答案为：（3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键14（5分）已知命题p：若xy，则xy，命题q：若，则xy，在命题pq；pq；p（q）；（p）q中，其中的真命题是【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：命题p：若xy，则xy，则命题p是真命题，若，则xy不一定成立，比如x1，y1，满足条件，但结论不成立，即命题q是假命题则pq为假命题；pq为真命题；p（q）为
17、真命题；（p）q为假命题，故真命题的是，故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键15（5分）已知ABC的一内角为120，并且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC的面积为【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+2，最小的边为x2，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：设三角形的三边分别为x2，x，x+2，则cos120，解得x5，所以三角形的三边分别为：3，5，7则ABC的面积
18、S35sin120故答案为：【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题16（5分）若关于x方程k（x2）+1有两个不相等的实数根，则实数的k的取值范围是（0，【分析】将方程进行转化，结合函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系，利用数形结合转化为直线和圆的位置关系进行求解即可【解答】解：方程等价为2k（x2）+2，设y2k（x2）+2，y，则由y得x2+y24，（y0），对应的曲线为半径为2的圆的上半部分，y2k（x2）+2对应的曲线为过定点A（2，2）的直线，由图象知，若k（x2）+1有两个不相等的实数根，则直线和上半圆有两个交点，当
19、直线经过B（2，0）时，满足条件，此时AB的斜率kAB，当直线过C（0，2）时，AB的斜率kAC0，此时直线的斜率2k满足02k，即0k，即实数k的取值范围是（0，故答案为：（0，【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件转化为两个图象之间的关系，利用数形结合以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在等比数列an中a23，a581（1）求an；（2）设bnlog3an，求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）求出公比和首项，代入通项公式得出答案；（2）计算bn得出bn是等差数列，代入求和公式计算即可【解答】
20、解：（1）设an的公比为q，则q327，q3，a11，an3n1（2）bnlog33n1n1，bn是以0为首项，以1为公差的等差数列【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列（1）求cosB的值；（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值【分析】（1）根据等差数列与三角形内角和定理求出B的值，再计算cosB的值；（2）由等比数列与正弦定理，利用同角的三角函数关系，即可求得sinAsinC的值【解答】解：（1）ABC中，由A、B、C成等差数列知，2BA+C，又A+B+C180，
21、B60，cosB；6分（2）由a、b、c成等比数列，知b2ac，根据正弦定理得sin2BsinAsinC，又cosB，sinAsinC1cos2B12分【点评】本题考查了等差、等比数列的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题19（12分）已知直线l：yx+b与抛物线C：y24x只有一个公共点A（1）求直线l的方程；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程【分析】（1）将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去y，利用0求出b的值，从而可得出直线l的方程；（2）由（1）中的b值，求出直线l与抛物线C的切点A的坐标，然后利用圆心A到抛物线C的准线的距离得出圆A的半径，即可
22、得出圆A的方程【解答】解：（1）由，得x2+（2b4）x+b20，由于直线l与抛物线只有一个公共点，则（2b4）24b20，得b1因此，直线l的方程为yx+1；（2）由（1）知b1，方程即为x22x+10，解得x1将其代入yx+1，得y2，故点A（1，2）又圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线准线x1的距离，即r|1（1）|2，因此，圆A的方程为（x1）2+（y2）24【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中等题20（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1t30，tN）的旅
23、游人数f（t） （万人）近似地满足f（t）4+，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）120|t20|（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t30，tN）的函数关系式；（2）求该城市旅游日收益的最小值【分析】（1）根据该城市的旅游日收益日旅游人数人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，化简得W（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的函数求出最值比较即可【解答】解：（1）由题意，根据该城市的旅游日收益日旅游人数人均消费的钱数可得W（t）f（t）g（t）（4+）（120|t20|）（2）当t1，20时，40
24、1+4t+401+2441（t5时取最小值）当t（20，30时，因为W（t）559+递减，所以t30时，W（t）有最小值W（30）443443441t1，30时，W（t）的最小值为441万元【点评】本题考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力，属于中档题21（12分）已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a22（），a4+a5128（）（1）求an的通项公式；（2）设bn（an）2，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）根据（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）数列an是各项均为正数的等
25、比数列，且a1+a22（），则：，由a4+a5128（）整理的：由得：a11，q2，所以：（2）由于，所以：bn（an）2，则：+（）+2n，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型22（12分）设椭圆C1：1（ab0），抛物线C2：x2+byb2（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程【分析】（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2b2，由a2b2+c2，求
26、得C1的离心率；（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（x1，y1），N（x1，y1）（x10），由AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得QMN的重心，代入抛物线C2：x2+byb2，即可求得椭圆C和抛物线C2的方程【解答】解：（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2b2，由（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（x1，y1），N（x1，y1）（x10），由AMN的垂心为B，有由点N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1b2，解得：故，得QMN重心坐标由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y4【点评】此题是个中档题考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程考查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强