2018-2019学年广西贺州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019学年广西贺州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题。(本题共12题,共60分,每题5分)1(5分)已知集合A1,0,1,Bx|x|1,则AB()A1,1B1,0,1Cx|1x1Dx|x12(5分)已知数列an中,ann2+n+1,则a3()A4B9C12D133(5分)已知椭圆C:+1(ab0)中,a210,c2,则该椭圆标准方程为()A+1B+1C+1D+14(5分)若向量,则()ABC3D5(5分)设a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6(5分)若x,y满足,则xy的最小值为()A5B3C2D

2、17(5分)设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是()A1B2C3D48(5分)设Sn是等差数列an的前n项和,若a12017,S62S318,则S2019()A2017B2017C2018D20199(5分)下列各组两个向量中,平行的一组向量是()A(1,2,3),(1,2,1)B(0,3,3),(0,1,1)C(0,3,2),(0,1,)D(1,3),(2,1,)10(5分)ABC的内角A,B,C的对边分別为a,b,c,已知bcosA(2ca)cosB,c2,a1,则ABC的面积是()ABC1D11(5分)设F1,F2是双曲线C:1(a0b0)的左,右焦点,

3、O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|OP|,则C的离心率为()AB2CD12(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若P点在正方体的内部,且满足,则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为()ABCD二、填空题。(本题共4题,共20分,每题5分)13(5分)已知等比数列an中,a127,a4a3a5,则a7   14(5分)已知x0,y0,x+2y1,则的最小值为   15(5分)已知(1,1,2),(1,1,1),则cos,   16(5分)设aR,若x0时均有(x2+ax5)(ax1)0成立,则a   三

4、、解答题。(本题共6题,共70分)17(10分)解关于x的不等式ax2(a+1)x+10(a0)18(12分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),直线l交椭圆于A,B两个不同点(1)求椭圆的方程;   (2)求m的取值范围19(12分)设数列an的前n项和为Sn,且Sn满足2Sn3n2n,(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)若bn,求数列bn的前n项和Tn20(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c3a cosB,b4a cosC(1)求A的大小;(2)若a,求S

5、ABC21(12分)如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E为PD的中点()证明:CE平面PAB;()求直线CE与平面PBC所成角的正弦值22(12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围2018-2019学年广西贺州市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题。(本题共12题,共60分,每题5分)1(5分)已知集合A1,0,1,Bx|x|1,则AB()A1,1B1,0,1Cx|1x1D

6、x|x1【分析】可求出B,然后进行并集的运算即可【解答】解:Bx|1x1;ABx|1x1故选:C【点评】考查描述法、列举法的定义,绝对值不等式的解法,以及并集的运算2(5分)已知数列an中,ann2+n+1,则a3()A4B9C12D13【分析】利用通项公式即可得出【解答】解:数列an中,ann2+n+1,则a332+3+113故选:D【点评】本题考查了数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(5分)已知椭圆C:+1(ab0)中,a210,c2,则该椭圆标准方程为()A+1B+1C+1D+1【分析】根据题意,分析椭圆的焦点位置,由椭圆的几何性质可得b的值,代入椭圆的方程即可得答案

7、【解答】解:根据题意,椭圆C:+1(ab0),其焦点在x轴上,若a210,c2,则b2a2c21046,则椭圆的方程为+1;故选:A【点评】本题考查椭圆的标准方程,注意掌握椭圆标准方程的形式,属于基础题4(5分)若向量,则()ABC3D【分析】利用向量坐标运算法则求解(3,0,1),由此能求出的值【解答】解:向量,(3,0,1),故选:D【点评】本题考查向量的模的求法,考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,是基础题5(5分)设a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据不等

8、式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解:若ab,ab0,不等式a|a|b|b|等价为aabb,此时成立0ab,不等式a|a|b|b|等价为aabb,即a2b2,此时成立a0b,不等式a|a|b|b|等价为aabb,即a2b2,此时成立,即充分性成立若a|a|b|b|,当a0,b0时,a|a|b|b|去掉绝对值得,(ab)(a+b)0,因为a+b0,所以ab0,即ab当a0,b0时,ab当a0,b0时,a|a|b|b|去掉绝对值得,(ab)(a+b)0,因为a+b0,所以ab0,即ab即必要性成立,综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件,故选:C【点评】本题主

9、要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键6(5分)若x,y满足,则xy的最小值为()A5B3C2D1【分析】画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解:x,y满足的区域如图:设zxy,则yxz,当此直线经过A(0,3)时z最小,所以z 的最小值为033;故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键,比较基础7(5分)设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是()A1B2C3D4【分析】由题意可得点P的横坐标为2,抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x1的距离,由此求得结果

10、【解答】解:由于抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2,故点P的横坐标为2再由抛物线y24x的准线为x1,以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是2(1)3,故选:C【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题8(5分)设Sn是等差数列an的前n项和,若a12017,S62S318,则S2019()A2017B2017C2018D2019【分析】设等差数列an的公差为d,根据a12017,S62S318,利用求和公式可得d,即可得出【解答】解:设等差数列an的公差为d,a12017,S62S318,6a1+d6

11、a12d18,化为:9d18,解得d2则S20192019(2017)+22019故选:D【点评】本题考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9(5分)下列各组两个向量中,平行的一组向量是()A(1,2,3),(1,2,1)B(0,3,3),(0,1,1)C(0,3,2),(0,1,)D(1,3),(2,1,)【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解:在A中,(1,2,3),(1,2,1),故A中两个向量不平行,故A错误;在B中,(0,3,3),(0,1,1),3,故B中两个向量平行,故B正确;在C中,(0,3,2),(0,1,),故C中两个向量不平行,故C错误;在D

12、中,(1,3),(2,1,),故D中两个向量不平行,故D错误故选:B【点评】本题考查平行向量的判断,考查向量与向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题10(5分)ABC的内角A,B,C的对边分別为a,b,c,已知bcosA(2ca)cosB,c2,a1,则ABC的面积是()ABC1D【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值,进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解:ABC的内角A,B,C的对边分別为a,b,c,已知bcosA(2ca)cosB,利用正弦定理得:sinBcosA2sinCcosBsinAcosB,整理得:sin(A+B)si

13、nC2sinCcosB,由于:sinC0,所以:cosB,由于:0B,则:B由于:c2,a1,则:故选:B【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和三角形面积公式的应用11(5分)设F1,F2是双曲线C:1(a0b0)的左,右焦点,O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|OP|,则C的离心率为()AB2CD【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b,再求出|OP|a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2O,代值化简整理可得ac,问题得以解决【解答】解:双曲线C:1(a0b0

14、)的一条渐近线方程为yx,点F2到渐近线的距离db,即|PF2|b,|OP|a,cosPF2O,|PF1|OP|,|PF1|a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O,6a2b2+4c22b2c4c23b24c23(c2a2),即3a2c2,即ac,e,故选:C【点评】本题考查了双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,余弦定理,离心率,属于中档题12(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若P点在正方体的内部,且满足,则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为()ABCD【分析】以A为坐标原点,AB,AD

15、,AA1分别为x,y,z轴,求得P、A、B的坐标,可得向量AP,向量AB的坐标,设平面PAB的法向量为(x,y,z),由向量数量积为0,可得平面PAB的一个法向量,再由平面ABCD的法向量为(0,0,1),运用两个向量的夹角公式计算可得所求值【解答】解:以A为坐标原点,AB,AD,AA1分别为x,y,z轴,由,可得P(,),A(0,0,0),B(0,1,0),则(,),(1,0,0),设平面PAB的法向量为(x,y,z),由0,且0,可得x+y+z0,且x0,可取(0,3,2),而平面ABCD的法向量为(0,0,1),则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为故选:B【点评】本题考查平面和

16、平面所成角的求法,注意运用坐标法和平面的法向量,考查化简整理的运算能力,属于中档题二、填空题。(本题共4题,共20分,每题5分)13(5分)已知等比数列an中,a127,a4a3a5,则a7【分析】由等比数列an中,a127,a4a3a5,得到q3,由此能求出a7【解答】解:等比数列an中,a127,a4a3a5,27q327q227q4,解得q3,a727q6故答案为:【点评】本题考查等比数列的第7项的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)已知x0,y0,x+2y1,则的最小值为8【分析】先变形:+(x+2y)(+)4+,然后根据基本不等式可求得最小值【解

17、答】解:+(x+2y)(+)4+4+28(当且仅当x,y时取等)故答案为:8【点评】本题考查了基本不等式及其应用,属基础题15(5分)已知(1,1,2),(1,1,1),则cos,【分析】利用空间向量夹角公式直接求解【解答】解:(1,1,2),(1,1,1),cos,故答案为:【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法,考查空间向量夹角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题16(5分)设aR,若x0时均有(x2+ax5)(ax1)0成立,则a【分析】通过讨论a的范围以及函数恒成立问题,求出a0,进而得到x是方程x2+ax50的实数根,求出a的值即可【解答】解:若a0,则当x

18、0时,ax10,由二次函数的性质可知,不等式x2+ax50不可能在x0时恒成立,故当x0时不可能都有(x2+ax5)(ax1)0成立,故a0,故当0x时,ax10,当x时,ax10,当x0时均有(x2+ax5)(ax1)0成立,故当0x时,x2+ax50,当x时,x2+ax50,故x是方程x2+ax50的实数根,故+150,解得:a(舍)或a,综上:a,故答案为:【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查分类讨论思想,转化思想,是一道中档题三、解答题。(本题共6题,共70分)17(10分)解关于x的不等式ax2(a+1)x+10(a0)【分析】根据a的范围,分a等于0和a大于0两种情况考虑:当a0

19、时,把a0代入不等式得到一个一元一次不等式,求出不等式的解集;当a大于0时,把原不等式的左边分解因式,再根据a大于1,a1及a大于0小于1分三种情况取解集,当a大于1时,根据小于1,利用不等式取解集的方法求出解集;当a1时,根据完全平方式大于0,得到x不等于1;当a大于0小于1时,根据大于1,利用不等式取解集的方法即可求出解集,综上,写出a不同取值时,各自的解集即可【解答】解:当a0时,不等式化为x+10,x1;(2分)当a0时,原不等式化为(x1)(x)0,当a1时,不等式的解为x或x1;当a1时,不等式的解为x1;当0a1时,不等式的解为x1或;(10分)综上所述,得原不等式的解集为:当a

20、0时,解集为x|x1;当0a1时,解集为|x1或x;当a1时,解集为x|x1;当a1时,解集为x|x或x1【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值,灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键18(12分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),直线l交椭圆于A,B两个不同点(1)求椭圆的方程;   (2)求m的取值范围【分析】(1)设出椭圆的方程,利用长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),建立方程,求出a,b,即可求椭圆的方程; &n

21、bsp; (2)由直线方程代入椭圆方程,利用根的判别式,即可求m的取值范围【解答】解:(1)设椭圆方程为1(ab0)则(2分)  解得a28,b22(5分)椭圆方程为1;(6分)(2)直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m又KOM,l的方程为:yx+m                   由直线方程代入椭圆方程x2+2mx+2m240,(8分)直线l与椭圆交于A、B两个不同点,(2m)24(2m24)0,(10分)解得2m2,且m0  (12分)【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查直

22、线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题19(12分)设数列an的前n项和为Sn,且Sn满足2Sn3n2n,(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)若bn,求数列bn的前n项和Tn【分析】(1)由anSnSn1(n2)求得an,验证n1成立后得数列an的通项公式;(2)把数列an的通项公式代入bn,然后利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解:(1)3n2n2Sn,当n2时,3(n1)2(n1)2Sn1,得6n42an,an3n2,n1时,得31212a1,a11,符合上式数列an的通项公式为an3n2;(2),得【点评】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式,训练了错

23、位相减法求数列的和,是中档题20(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c3a cosB,b4a cosC(1)求A的大小;(2)若a,求SABC【分析】(1)由已知利用余弦定理可求3b23a2+c2,b22c22a2,联立解得c,b,利用余弦定理可求cosA的值,结合范围A(0,),可求A的值(2)由已知及(1)可得:c3,b2,由三角形的面积公式即可计算得解【解答】解:(1)c3acosB3a,可得:3b23a2+c2,b4acosC4a可得:b22c22a2,解得:c,b,cosA,A(0,),A(2)a,A由(1)可得:c3,b2,由三角形的面积公式可得:SABCbc

24、sinA3【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算了和转化思想,属于中档题21(12分)如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E为PD的中点()证明:CE平面PAB;()求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【分析】()取AD的中点F,连结EF,CF,推导出EFPA,CFAB,从而平面EFC平面ABP,由此能证明EC平面PAB()连结BF,过F作FMPB于M,连结PF,推导出四边形BCDF为矩形,从而BFAD,进而AD平面PBF,由ADBC,得BCPB,再求出BCMF,由此能求出sin

25、【解答】证明:()取AD的中点F,连结EF,CF,E为PD的中点,EFPA,在四边形ABCD中,BCAD,AD2DC2CB,F为中点,CFAB,平面EFC平面ABP,EC平面EFC,EC平面PAB解:()连结BF,过F作FMPB于M,连结PF,PAPD,PFAD,推导出四边形BCDF为矩形,BFAD,AD平面PBF,又ADBC,BC平面PBF,BCPB,设DCCB1,由PCAD2DC2CB,得ADPC2,PB,BFPF1,MF,又BC平面PBF,BCMF,MF平面PBC,即点F到平面PBC的距离为,MF,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等,为,E为PD中点,E到平面PBC的垂足也为垂足所

26、在线段的中点,即中位线,E到平面PBC的距离为,在,由余弦定理得CE,设直线CE与平面PBC所成角为,则sin【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题22(12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围【分析】根据中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点,利用待定系数法,求出几何量,可得椭圆的方程设直线l的方程为ykx+m(m0),代入椭圆方程,利用韦达定理,结合直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求出k的值,表示出OPQ面积,即可求出OPQ面积的取值范围

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