1、2018-2019学年广西贺州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题。（本题共12题，共60分，每题5分)1（5分）已知集合A1，0，1，Bx|x|1，则AB（）A1，1B1，0，1Cx|1x1Dx|x12（5分）已知数列an中，ann2+n+1，则a3（）A4B9C12D133（5分）已知椭圆C：+1（ab0）中，a210，c2，则该椭圆标准方程为（）A+1B+1C+1D+14（5分）若向量，则（）ABC3D5（5分）设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6（5分）若x，y满足，则xy的最小值为（）A5B3C2D
2、17（5分）设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A1B2C3D48（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a12017，S62S318，则S2019（）A2017B2017C2018D20199（5分）下列各组两个向量中，平行的一组向量是（）A（1，2，3），（1，2，1）B（0，3，3），（0，1，1）C（0，3，2），（0，1，）D（1，3），（2，1，）10（5分）ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，c2，a1，则ABC的面积是（）ABC1D11（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，
3、O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为（）ABCD二、填空题。（本题共4题，共20分，每题5分)13（5分）已知等比数列an中，a127，a4a3a5，则a7 14（5分）已知x0，y0，x+2y1，则的最小值为 15（5分）已知（1，1，2），（1，1，1），则cos， 16（5分）设aR，若x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，则a 三
4、、解答题。（本题共6题，共70分)17（10分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）18（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），直线l交椭圆于A，B两个不同点（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围19（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2Sn3n2n，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c3a cosB，b4a cosC（1）求A的大小；（2）若a，求S
5、ABC21（12分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点（）证明：CE平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值22（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围2018-2019学年广西贺州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题。（本题共12题，共60分，每题5分)1（5分）已知集合A1，0，1，Bx|x|1，则AB（）A1，1B1，0，1Cx|1x1D
6、x|x1【分析】可求出B，然后进行并集的运算即可【解答】解：Bx|1x1；ABx|1x1故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算2（5分）已知数列an中，ann2+n+1，则a3（）A4B9C12D13【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：数列an中，ann2+n+1，则a332+3+113故选：D【点评】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知椭圆C：+1（ab0）中，a210，c2，则该椭圆标准方程为（）A+1B+1C+1D+1【分析】根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案
7、【解答】解：根据题意，椭圆C：+1（ab0），其焦点在x轴上，若a210，c2，则b2a2c21046，则椭圆的方程为+1；故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题4（5分）若向量，则（）ABC3D【分析】利用向量坐标运算法则求解（3，0，1），由此能求出的值【解答】解：向量，（3，0，1），故选：D【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题5（5分）设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据不等
8、式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C【点评】本题主
9、要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键6（5分）若x，y满足，则xy的最小值为（）A5B3C2D1【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的区域如图：设zxy，则yxz，当此直线经过A（0，3）时z最小，所以z 的最小值为033；故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础7（5分）设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A1B2C3D4【分析】由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x1的距离，由此求得结果
10、【解答】解：由于抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2再由抛物线y24x的准线为x1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2（1）3，故选：C【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题8（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a12017，S62S318，则S2019（）A2017B2017C2018D2019【分析】设等差数列an的公差为d，根据a12017，S62S318，利用求和公式可得d，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a12017，S62S318，6a1+d6
11、a12d18，化为：9d18，解得d2则S20192019（2017）+22019故选：D【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）下列各组两个向量中，平行的一组向量是（）A（1，2，3），（1，2，1）B（0，3，3），（0，1，1）C（0，3，2），（0，1，）D（1，3），（2，1，）【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：在A中，（1，2，3），（1，2，1），故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，（0，3，3），（0，1，1），3，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，（0，3，2），（0，1，），故C中两个向量不平行，故C错误；在D
12、中，（1，3），（2，1，），故D中两个向量不平行，故D错误故选：B【点评】本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题10（5分）ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，c2，a1，则ABC的面积是（）ABC1D【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，利用正弦定理得：sinBcosA2sinCcosBsinAcosB，整理得：sin（A+B）si
13、nC2sinCcosB，由于：sinC0，所以：cosB，由于：0B，则：B由于：c2，a1，则：故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用11（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b，再求出|OP|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2O，代值化简整理可得ac，问题得以解决【解答】解：双曲线C：1（a0b0
14、）的一条渐近线方程为yx，点F2到渐近线的距离db，即|PF2|b，|OP|a，cosPF2O，|PF1|OP|，|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2b2+4c22b2c4c23b24c23（c2a2），即3a2c2，即ac，e，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为（）ABCD【分析】以A为坐标原点，AB，AD
15、，AA1分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为（x，y，z），由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为（0，0，1），运用两个向量的夹角公式计算可得所求值【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，由，可得P（，），A（0，0，0），B（0，1，0），则（，），（1，0，0），设平面PAB的法向量为（x，y，z），由0，且0，可得x+y+z0，且x0，可取（0，3，2），而平面ABCD的法向量为（0，0，1），则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为故选：B【点评】本题考查平面和
16、平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题。（本题共4题，共20分，每题5分)13（5分）已知等比数列an中，a127，a4a3a5，则a7【分析】由等比数列an中，a127，a4a3a5，得到q3，由此能求出a7【解答】解：等比数列an中，a127，a4a3a5，27q327q227q4，解得q3，a727q6故答案为：【点评】本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知x0，y0，x+2y1，则的最小值为8【分析】先变形：+（x+2y）（+）4+，然后根据基本不等式可求得最小值【解
17、答】解：+（x+2y）（+）4+4+28（当且仅当x，y时取等）故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题15（5分）已知（1，1，2），（1，1，1），则cos，【分析】利用空间向量夹角公式直接求解【解答】解：（1，1，2），（1，1，1），cos，故答案为：【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题16（5分）设aR，若x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，则a【分析】通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出a0，进而得到x是方程x2+ax50的实数根，求出a的值即可【解答】解：若a0，则当x
18、0时，ax10，由二次函数的性质可知，不等式x2+ax50不可能在x0时恒成立，故当x0时不可能都有（x2+ax5）（ax1）0成立，故a0，故当0x时，ax10，当x时，ax10，当x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，故当0x时，x2+ax50，当x时，x2+ax50，故x是方程x2+ax50的实数根，故+150，解得：a（舍）或a，综上：a，故答案为：【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题三、解答题。（本题共6题，共70分)17（10分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）【分析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当a0
19、时，把a0代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，a1及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当a1时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可【解答】解：当a0时，不等式化为x+10，x1；（2分）当a0时，原不等式化为（x1）（x）0，当a1时，不等式的解为x或x1；当a1时，不等式的解为x1；当0a1时，不等式的解为x1或；（10分）综上所述，得原不等式的解集为：当a
20、0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为|x1或x；当a1时，解集为x|x1；当a1时，解集为x|x或x1【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键18（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），直线l交椭圆于A，B两个不同点（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围【分析】（1）设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程； &n
21、bsp; （2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围【解答】解：（1）设椭圆方程为1（ab0）则（2分） 解得a28，b22（5分）椭圆方程为1；（6分）（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM，l的方程为：yx+m 由直线方程代入椭圆方程x2+2mx+2m240，（8分）直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（2m）24（2m24）0，（10分）解得2m2，且m0 （12分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直
22、线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2Sn3n2n，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由anSnSn1（n2）求得an，验证n1成立后得数列an的通项公式；（2）把数列an的通项公式代入bn，然后利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）3n2n2Sn，当n2时，3（n1）2（n1）2Sn1，得6n42an，an3n2，n1时，得31212a1，a11，符合上式数列an的通项公式为an3n2；（2），得【点评】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错
23、位相减法求数列的和，是中档题20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c3a cosB，b4a cosC（1）求A的大小；（2）若a，求SABC【分析】（1）由已知利用余弦定理可求3b23a2+c2，b22c22a2，联立解得c，b，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围A（0，），可求A的值（2）由已知及（1）可得：c3，b2，由三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）c3acosB3a，可得：3b23a2+c2，b4acosC4a可得：b22c22a2，解得：c，b，cosA，A（0，），A（2）a，A由（1）可得：c3，b2，由三角形的面积公式可得：SABCbc
24、sinA3【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题21（12分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点（）证明：CE平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【分析】（）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EFPA，CFAB，从而平面EFC平面ABP，由此能证明EC平面PAB（）连结BF，过F作FMPB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BFAD，进而AD平面PBF，由ADBC，得BCPB，再求出BCMF，由此能求出sin
25、【解答】证明：（）取AD的中点F，连结EF，CF，E为PD的中点，EFPA，在四边形ABCD中，BCAD，AD2DC2CB，F为中点，CFAB，平面EFC平面ABP，EC平面EFC，EC平面PAB解：（）连结BF，过F作FMPB于M，连结PF，PAPD，PFAD，推导出四边形BCDF为矩形，BFAD，AD平面PBF，又ADBC，BC平面PBF，BCPB，设DCCB1，由PCAD2DC2CB，得ADPC2，PB，BFPF1，MF，又BC平面PBF，BCMF，MF平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，MF，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所
26、在线段的中点，即中位线，E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE，设直线CE与平面PBC所成角为，则sin【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题22（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围【分析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为ykx+m（m0），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出OPQ面积，即可求出OPQ面积的取值范围