1、1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tan .(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan 的变形公式sin cos tan ；cos .1.sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2.sin2cos21.()
2、提示在sin2cos21中，令可得sin2cos21.3.对任意的角，都有tan 成立.()提示当k，kZ时就不成立.4.若cos 0，则sin 1.()题型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A. B. C. D.答案D解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D.反思感悟同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.跟
3、踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解cos 0，是第一或第二象限角.当为第一象限角时，cos ，tan ；当为第二象限角时，cos ，tan .题型二三角函数式的化简与证明例3(1)化简：sin2tan 2sin cos .解原式sin2cos22sin cos .(2)求证：.证明左边右边，原等式成立.反思感悟(1)
4、三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简.证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).比较法：即证左边右边0或1(右边0).证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.跟踪训练3化简：.解原式1.题型三齐次式求值问题例4已知tan 2，求
5、下列代数式的值.(1)；(2)sin2sin cos cos2.解(1)原式.(2)原式.反思感悟(1)关于sin ，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2，转化为关于tan 的式子后再求值.(2)注意例4第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式.跟踪训练4已知2，计算下列各式的值.(1)；(2)sin22sin cos 1.解由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式.(2)原式111.同角三角函数基本关系式求值典例设是第三象限角，问是否存在这样的实数m
6、，使得sin ，cos 是关于x的方程8x26mx2m10的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，说明理由.解倘若存在这样的实数m满足条件，由题设得：36m232(2m1)0，是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos m0.又sin2cos21，(sin cos )22sin cos 1.把代入上式得221，即9m28m200，解得m12，m2.m12不满足条件，舍去，m2不满足条件，舍去.这样的实数m不存在.素养评析通过反设存在满足条件的m，列出所需限定条件.根据同角三角函数基本关系式运算推理求出并验证相应的值，这正是数学核心素养逻辑推理的具体体现.1.若sin ，且是第二象限角
7、，则tan 的值等于()A. B. C. D.答案A解析为第二象限角，sin ，cos ，tan .2.已知sin cos ，则sin cos 等于()A. B. C. D.答案C解析由题意得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选C.3.化简 的结果是()A.cos B.sin C.cos D.sin 答案C解析，cos 0，cos ，即cos ，故选C.4.若tan 2，则sin cos .答案解析sin cos .5.求证：.证明方法一(比较法作差)0，.方法二(比较法作商)若0，则1.若0，则sin
8、 x1，cos x0，不合题意，舍去，.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.
