1、2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1要使式子有意义，则a的取值范围是（）Aa0Ba2且 a0Ca2或 a0Da2且 a02关于x的一元二次方程2x23xa2+10的一个根为2，则a的值是（）A1BCD3一元二次方程x25x+60的两根分别是x1，x2，则x1+x2等于（）A5B6C5D64抛物线yx22x+1的顶点坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）5抛物线y（x+2）23可以由抛物线yx2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A
2、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的余弦值（）A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变7在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（）ABCD8已知：如图，OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为（）A45B35C25D209二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量
3、x的取值范围是（）A1x3Bx1Cx3Dx1或x310已知矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD（）ABCD211如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D100（）米12如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130x140
4、00Bx2+65x3500Cx2130x14000Dx265x3500二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）13的平方根是 14随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 15已知两圆相离，半径分别为2cm、3cm，则两圆圆心距d范围为 16如图为二次函数yax2+bx+c的图象，在下列说法中：ac0；方程ax2+bx+c0的根是x1，x2，则x1+x20；a+b+c0；当x1时，y随x的增大而增大正确的说法有 （把正确的答案的序号都填在横线上）17如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8把AB
5、C绕AB边上的点D顺时针旋转90得到ABC，AC交AB于点E若ADBE，则ADE的面积是 三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18如图，在ABC中，ABAC13，BC10，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，求DE的长19计算：20先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x6021如图是一片等边三角形形状的草地，为方便人们休闲，现决定在草地内部修建一座小亭，小亭离三个出口即三角形三个顶点A、B、C的距离相等（1）用尺规作图的方法确定小亭的位置（2）若草地的边长50m，求小亭到出口的距离22甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中
6、的三张卡片上所标有的三个数值为7，1，3乙袋中的三张卡片所标的数值为2，1，6先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况（2）求点A落在第三象限的概率23如图，ABC中，ACB90，D是边AB上一点，且A2DCBE是BC边上的一点，以EC为直径的O经过点D（1）求证：AB是O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BEEO，求BD的长24某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在550之间，每张薄板的成本价
7、y1（单位：元）与它的边长x（单位：cm）满足关系式y1x2，每张薄板的出厂价y2（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据（1）求一张薄板的出厂价y2与边长x之间满足的函数关系式；（2）已知：利润出厂价成本价求一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式；当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）507025ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转
8、过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9时BC的长26如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1要使式子有意义，则a的取值范围是（）Aa0Ba2且 a0Ca2或 a
9、0Da2且 a0【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，a+20，a0，解得，a2且 a0，故选：D2关于x的一元二次方程2x23xa2+10的一个根为2，则a的值是（）A1BCD【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把x2代入方程2x23xa2+10，得86a2+10，解得a故选：D3一元二次方程x25x+60的两根分别是x1，x2，则x1+x2等于（）A5B6C5D6【分析】根据根与系数的关系即可求得两根的和【解答】解：一元二次方程x25x
10、+60的两根分别是x1，x2，x1+x25；故选A4抛物线yx22x+1的顶点坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）【分析】将原抛物线方程yx22x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标【解答】解：由原方程，得y（x1）2，该抛物线的顶点坐标是：（1，0）故选：A5抛物线y（x+2）23可以由抛物线yx2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：抛
11、物线yx2向左平移2个单位可得到抛物线y（x+2）2，抛物线y（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y（x+2）23故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位故选：B6在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的余弦值（）A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变【分析】根据余弦为邻边比斜边，可得答案【解答】解：在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的余弦值不变故选：D7在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（）ABCD【分
12、析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案注意此题属于放回实验【解答】解：画树状图得：共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，两次都摸到黑球的概率是故选：A8已知：如图，OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为（）A45B35C25D20【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可【解答】解：OAOB，AOB90，ACBAOB45故选：A9二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是（）A1x3Bx1Cx3Dx1或x3【分析】求出函数图象与x轴的交点坐标，再根据函数图象的特
13、征判断出y0时，自变量x的取值范围【解答】解：当y0时，x22x30，解得x11，x23结合图象可见，x1或x3时，y0故选：D10已知矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD（）ABCD2【分析】可设ADx，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可【解答】解：沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，四边形ABEF是正方形，AB1，设ADx，则FDx1，FE1，四边形EFDC与矩形ABCD相似，解得x1，x2（负值舍去），经检验x1是原方程的解故选：B11如图，从热气球C处测得
14、地面A、B两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D100（）米【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可【解答】解：由已知，得A30，B45，CD100，CDAB于点D在RtACD中，CDA90，tanA，AD100在RtBCD中，CDB90，B45DBCD100米，ABAD+DB100+100100（+1）米故选：D12如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如果要使整幅挂图的面积是5400c
15、m2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130x14000Bx2+65x3500Cx2130x14000Dx265x3500【分析】根据矩形的面积长宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）（风景画的宽+2个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）5400，整理，得x2+65x3500故选：B二填空题（共5小题）13的平方根是【分析】由3，再根据平方根定义求解即可【解答】解：3，的平方根是故答案为：14随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑
16、色方格中的概率是【分析】根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答【解答】解：共有12个方格，其中黑色方格占4个，这粒豆子停在黑色方格中的概率是15已知两圆相离，半径分别为2cm、3cm，则两圆圆心距d范围为d5或0d1【分析】根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得它们的圆心距【解答】解：两圆半径分别为2cm和3cm，两圆相离，它们的圆心距d满足：d5或0d1，故答案为：d5或0d116如图为二次函数yax2+bx+c的图象，在下列说法中：ac0；方程ax2+bx+c0的根是x1，x2，则x1+x20；a+b+c0；当x1时，y随x的增大而增大正确
17、的说法有（把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由抛物线开口方向及与y轴的交点位置可判断；根据对称轴为直线x1可判断；由图象可判断；由图象的对称轴，结合图象的开口方向，则可判断；则可求得答案【解答】解：抛物线开口向上、与y轴的交点在x轴的下方，a0，c0，ac0，故正确；方程ax2+bx+c0的根是x1，x2，则对称轴为直线x1，x1+x220，故不正确；由图象可知当x1时，y0，a+b+c0，故不正确；抛物线对称轴为直线x1，且抛物线开口向上，当x1时，y随x的增大而增大，故正确；综上可知说法正确的有，故答案为17如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8把ABC绕AB边上的点D顺时针旋
18、转90得到ABC，AC交AB于点E若ADBE，则ADE的面积是6【分析】在RtABC中，由勾股定理求得AB10，由旋转的性质可知ADAD，设ADADBEx，则DE102x，根据旋转90可证ADEACB，利用相似比求x，再求ADE的面积【解答】解：RtABC中，由勾股定理求AB10，由旋转的性质，设ADADBEx，则DE102x，ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90得到ABC，AA，ADEC90，ADEACB，即，解得x3，SADEDEAD（1023）36，故答案为：6三解答题（共9小题）18如图，在ABC中，ABAC13，BC10，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，求DE的长【分析】首先
19、连接AD，由ABC中，ABAC13，BC10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：ADBC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长【解答】解：连接AD，ABC中，ABAC13，BC10，D为BC中点，ADBC，BDBC5，AD12，又DEAB，BDADABED，ED，解得：DE19计算：【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和绝对值的运算法则求出各项的值，然后根据四则运算求出结果即可【解答】解：原式620先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x60【分析】将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，
20、然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出x满足方程的解，将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值【解答】解：（x+1），x满足方程x2+x60，（x2）（x+3）0，解得：x12，x23，当x2时，原式的分母为0，故舍去；当x3时，原式21如图是一片等边三角形形状的草地，为方便人们休闲，现决定在草地内部修建一座小亭，小亭离三个出口即三角形三个顶点A、B、C的距离相等（1）用尺规作图的方法确定小亭的位置（2）若草地的边长50m，求小亭到出口的距离【分析】（1）直接作出三角形任意两边垂直平分线其交点即
21、为所求；（2）利用等边三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案【解答】解：（1）如图所示：点P即为所求；（2）由题意可得：PBE30，在RtPBE中，BEEC25m，cos30，则，解得：BP，答：小亭到出口的距离为m22甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为7，1，3乙袋中的三张卡片所标的数值为2，1，6先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况（2）求点A落在第三象限的概率【分析】（1）直接利
22、用表格列举即可解答；（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可【解答】解：（1）如下表， 713 2（7，2）（1，2）（3，2） 1（7，1）（1，1）（3，1） 6（7，6）（1，6） （3，6）点A（x，y）共9种情况；（2）点A落在第三象限共有（7，2）（1，2）两种情况，点A落在第三象限的概率是23如图，ABC中，ACB90，D是边AB上一点，且A2DCBE是BC边上的一点，以EC为直径的O经过点D（1）求证：AB是O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BEEO，求BD的长【分析】（1）连接OD，如图1所示，由ODOC，根据等边对等角得到一对角相
23、等，再由DOB为COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出DOB2DCB，又A2DCB，可得出ADOB，又ACB90，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出B与ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BEOEOD，得到OD等于OB的一半，可得出B30，进而确定出DOB60，又ODOC，利用等边对等角得到一对角相等，再由DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出DCB30，在三角形CMO中，根据30角
24、所对的直角边等于斜边的一半得到OC2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BEOE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：ODOC，DCBODC，又DOB为COD的外角，DOBDCB+ODC2
25、DCB，又A2DCB，ADOB，ACB90，A+B90，DOB+B90，BDO90，ODAB，又D在O上，AB是O的切线；（2）解法一：过点O作OMCD于点M，如图1，ODOEBEBO，BDO90，B30，DOB60，ODOC，DCBODC，又DOB为ODC的外角，DOBDCB+ODC2DCB，DCB30，在RtOCM中，DCB30，OM1，OC2OM2，OD2，BOBE+OE2OE4，在RtBDO中，根据勾股定理得：BD2；解法二：过点O作OMCD于点M，连接DE，如图2，OMCD，CMDM，又O为EC的中点，OM为DCE的中位线，且OM1，DE2OM2，在RtOCM中，DCB30，OM1，
26、OC2OM2，RtBDO中，OEBE，DEBO，BOBE+OE2OE4，ODOE2，在RtBDO中，根据勾股定理得BD224某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在550之间，每张薄板的成本价y1（单位：元）与它的边长x（单位：cm）满足关系式y1x2，每张薄板的出厂价y2（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据（1）求一张薄板的出厂价y2与边长x之间满足的函数关系式；（2）已知：利润出厂价成本价求一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式；当
27、边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意得，yy2y1，将y2和y1由的表达式代入，从而可得关于x的二次函数；将中的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）根据题意，出厂价y2与边长x之间满足一次函数关系式，设y2kx+b由表中数据可得：解得：y22x+10；（2）由题意得，yy2y1（2x+10）+2x+10一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式为y+2x+10；y+2x+10当x25时，y最大值35又x25时，满足5x50当边长为2
28、5cm时，出厂一张薄板利润最大，最大利润为35元25ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9时BC的长【分析】（1）由ABC是等腰直角三角形，易得BC45，ABAC，又由APAQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：BPECQE；（2）由ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得BCDEF45
29、，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEPEQC，则可证得：BPECEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，BC45，ABAC，APAQ，BPCQ，E是BC的中点，BECE，在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45EQC+45，BEPEQC，BPECEQ，BP2，CQ9，BECE，BE218，BECE3，BC626如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求
30、点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】方法一：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出OPB三边的边长表达式，然后分OPOB、OPBP、OBBP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点方法二：（3
31、）用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解（4）列出点M的参数坐标，利用MOMB求解此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点【解答】解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO90，AOB120，BOC60，又OAOB4，OCOB42，BCOBsin6042，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为yax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得：，解得，此抛物线的解析式为yx2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x2，直线x2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OBOP，则22+|y|242，解
32、得y2，当y2时，在RtPOD中，PDO90，sinPOD，POD60，POBPOD+AOB60+120180，即P、O、B三点在同一直线上，y2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OBPB，则42+|y+2|242，解得y2，故点P的坐标为（2，2），若OPBP，则22+|y|242+|y+2|2，解得y2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2）方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（2，2），POB为等腰三角形，POPB，POOB，PBOB，（20）2+（t0）2（2+2）2+（t+2）2，t2，（20）2+（t0）2（0+2）2+（0+2）2，t2或2，当t2时，P（2，2），O（0，0）B（2，2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2（0+2）2+（0+2）2，t2，符合条件的点P只有一个，P（2，2）方法二追加第（4）问：在（3）的条件下，M为OBP的外接圆，求出圆心M的坐标（4）点B，点P关于y轴对称，点M在y轴上，设M（0，m），M为OBF的外接圆，MOMB，（00）2+（m0）2（0+2）2+（m+2）2，m，M（0，）
