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山西省晋城市高平市2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷含解析

1、2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题2分,共24分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)1要使式子有意义,则a的取值范围是()Aa0Ba2且 a0Ca2或 a0Da2且 a02关于x的一元二次方程2x23xa2+10的一个根为2,则a的值是()A1BCD3一元二次方程x25x+60的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于()A5B6C5D64抛物线yx22x+1的顶点坐标是()A(1,0)B(1,0)C(2,1)D(2,1)5抛物线y(x+2)23可以由抛物线yx2平移得到,则下列平移过程正确的是()A

2、先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D先向右平移2个单位,再向上平移3个单位6在RtABC中,C90,若将各边长度都扩大为原来的2倍,则A的余弦值()A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变7在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黑球的概率是()ABCD8已知:如图,OA,OB是O的两条半径,且OAOB,点C在O上,则ACB的度数为()A45B35C25D209二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时,自变量

3、x的取值范围是()A1x3Bx1Cx3Dx1或x310已知矩形ABCD中,AB1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD()ABCD211如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()A200米B200米C220米D100()米12如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图如果要使整幅挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()Ax2+130x140

4、00Bx2+65x3500Cx2130x14000Dx265x3500二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,把答案写在题中横线上)13的平方根是 14随意地抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样),那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 15已知两圆相离,半径分别为2cm、3cm,则两圆圆心距d范围为 16如图为二次函数yax2+bx+c的图象,在下列说法中:ac0;方程ax2+bx+c0的根是x1,x2,则x1+x20;a+b+c0;当x1时,y随x的增大而增大正确的说法有 (把正确的答案的序号都填在横线上)17如图,在RtABC中,C90,AC6,BC8把AB

5、C绕AB边上的点D顺时针旋转90得到ABC,AC交AB于点E若ADBE,则ADE的面积是 三、解答题(本大题共8个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18如图,在ABC中,ABAC13,BC10,点D为BC的中点,DEAB,垂足为点E,求DE的长19计算:20先化简,再求值:,其中x满足方程:x2+x6021如图是一片等边三角形形状的草地,为方便人们休闲,现决定在草地内部修建一座小亭,小亭离三个出口即三角形三个顶点A、B、C的距离相等(1)用尺规作图的方法确定小亭的位置(2)若草地的边长50m,求小亭到出口的距离22甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中

6、的三张卡片上所标有的三个数值为7,1,3乙袋中的三张卡片所标的数值为2,1,6先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出卡片上的数值,把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况(2)求点A落在第三象限的概率23如图,ABC中,ACB90,D是边AB上一点,且A2DCBE是BC边上的一点,以EC为直径的O经过点D(1)求证:AB是O的切线;(2)若CD的弦心距为1,BEEO,求BD的长24某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在550之间,每张薄板的成本价

7、y1(单位:元)与它的边长x(单位:cm)满足关系式y1x2,每张薄板的出厂价y2(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长x成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据(1)求一张薄板的出厂价y2与边长x之间满足的函数关系式;(2)已知:利润出厂价成本价求一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式;当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)507025ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BACEDF90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转

8、过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q(1)如图,当点Q在线段AC上,且APAQ时,求证:BPECQE;(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP2,CQ9时BC的长26如图,点A在x轴上,OA4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置(1)求点B的坐标;(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由参考答案与试题解析一选择题(共12小题)1要使式子有意义,则a的取值范围是()Aa0Ba2且 a0Ca2或 a

9、0Da2且 a0【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可【解答】解:由题意得,a+20,a0,解得,a2且 a0,故选:D2关于x的一元二次方程2x23xa2+10的一个根为2,则a的值是()A1BCD【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解:把x2代入方程2x23xa2+10,得86a2+10,解得a故选:D3一元二次方程x25x+60的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于()A5B6C5D6【分析】根据根与系数的关系即可求得两根的和【解答】解:一元二次方程x25x

10、+60的两根分别是x1,x2,x1+x25;故选A4抛物线yx22x+1的顶点坐标是()A(1,0)B(1,0)C(2,1)D(2,1)【分析】将原抛物线方程yx22x+1转化为顶点式方程,然后根据顶点式方程找顶点坐标【解答】解:由原方程,得y(x1)2,该抛物线的顶点坐标是:(1,0)故选:A5抛物线y(x+2)23可以由抛物线yx2平移得到,则下列平移过程正确的是()A先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可【解答】解:抛

11、物线yx2向左平移2个单位可得到抛物线y(x+2)2,抛物线y(x+2)2,再向下平移3个单位即可得到抛物线y(x+2)23故平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位故选:B6在RtABC中,C90,若将各边长度都扩大为原来的2倍,则A的余弦值()A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变【分析】根据余弦为邻边比斜边,可得答案【解答】解:在RtABC中,C90,若将各边长度都扩大为原来的2倍,则A的余弦值不变故选:D7在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黑球的概率是()ABCD【分

12、析】首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案注意此题属于放回实验【解答】解:画树状图得:共有4种等可能的结果,两次都摸到黑球的只有1种情况,两次都摸到黑球的概率是故选:A8已知:如图,OA,OB是O的两条半径,且OAOB,点C在O上,则ACB的度数为()A45B35C25D20【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可【解答】解:OAOB,AOB90,ACBAOB45故选:A9二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时,自变量x的取值范围是()A1x3Bx1Cx3Dx1或x3【分析】求出函数图象与x轴的交点坐标,再根据函数图象的特

13、征判断出y0时,自变量x的取值范围【解答】解:当y0时,x22x30,解得x11,x23结合图象可见,x1或x3时,y0故选:D10已知矩形ABCD中,AB1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD()ABCD2【分析】可设ADx,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可【解答】解:沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,四边形ABEF是正方形,AB1,设ADx,则FDx1,FE1,四边形EFDC与矩形ABCD相似,解得x1,x2(负值舍去),经检验x1是原方程的解故选:B11如图,从热气球C处测得

14、地面A、B两点的俯角分别是30、45,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()A200米B200米C220米D100()米【分析】图中两个直角三角形中,都是知道已知角和对边,根据正切函数求出邻边后,相加求和即可【解答】解:由已知,得A30,B45,CD100,CDAB于点D在RtACD中,CDA90,tanA,AD100在RtBCD中,CDB90,B45DBCD100米,ABAD+DB100+100100(+1)米故选:D12如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图如果要使整幅挂图的面积是5400c

15、m2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()Ax2+130x14000Bx2+65x3500Cx2130x14000Dx265x3500【分析】根据矩形的面积长宽,得出本题的等量关系是:(风景画的长+2个纸边的宽度)(风景画的宽+2个纸边的宽度)整个挂图的面积,由此可得出方程【解答】解:依题意,设金色纸边的宽为xcm,(80+2x)(50+2x)5400,整理,得x2+65x3500故选:B二填空题(共5小题)13的平方根是【分析】由3,再根据平方根定义求解即可【解答】解:3,的平方根是故答案为:14随意地抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样),那么这粒豆子停在黑

16、色方格中的概率是【分析】根据面积法:求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答【解答】解:共有12个方格,其中黑色方格占4个,这粒豆子停在黑色方格中的概率是15已知两圆相离,半径分别为2cm、3cm,则两圆圆心距d范围为d5或0d1【分析】根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可求得它们的圆心距【解答】解:两圆半径分别为2cm和3cm,两圆相离,它们的圆心距d满足:d5或0d1,故答案为:d5或0d116如图为二次函数yax2+bx+c的图象,在下列说法中:ac0;方程ax2+bx+c0的根是x1,x2,则x1+x20;a+b+c0;当x1时,y随x的增大而增大正确

17、的说法有(把正确的答案的序号都填在横线上)【分析】由抛物线开口方向及与y轴的交点位置可判断;根据对称轴为直线x1可判断;由图象可判断;由图象的对称轴,结合图象的开口方向,则可判断;则可求得答案【解答】解:抛物线开口向上、与y轴的交点在x轴的下方,a0,c0,ac0,故正确;方程ax2+bx+c0的根是x1,x2,则对称轴为直线x1,x1+x220,故不正确;由图象可知当x1时,y0,a+b+c0,故不正确;抛物线对称轴为直线x1,且抛物线开口向上,当x1时,y随x的增大而增大,故正确;综上可知说法正确的有,故答案为17如图,在RtABC中,C90,AC6,BC8把ABC绕AB边上的点D顺时针旋

18、转90得到ABC,AC交AB于点E若ADBE,则ADE的面积是6【分析】在RtABC中,由勾股定理求得AB10,由旋转的性质可知ADAD,设ADADBEx,则DE102x,根据旋转90可证ADEACB,利用相似比求x,再求ADE的面积【解答】解:RtABC中,由勾股定理求AB10,由旋转的性质,设ADADBEx,则DE102x,ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90得到ABC,AA,ADEC90,ADEACB,即,解得x3,SADEDEAD(1023)36,故答案为:6三解答题(共9小题)18如图,在ABC中,ABAC13,BC10,点D为BC的中点,DEAB,垂足为点E,求DE的长【分析】首先

19、连接AD,由ABC中,ABAC13,BC10,D为BC中点,利用等腰三角形的三线合一的性质,即可证得:ADBC,然后利用勾股定理,即可求得AD的长,然后利用面积法来求DE的长【解答】解:连接AD,ABC中,ABAC13,BC10,D为BC中点,ADBC,BDBC5,AD12,又DEAB,BDADABED,ED,解得:DE19计算:【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和绝对值的运算法则求出各项的值,然后根据四则运算求出结果即可【解答】解:原式620先化简,再求值:,其中x满足方程:x2+x60【分析】将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算,分子合并后利用平方差公式分解因式,

20、然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式,并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算,约分后得到最简结果,然后求出x满足方程的解,将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算,即可得到原式的值【解答】解:(x+1),x满足方程x2+x60,(x2)(x+3)0,解得:x12,x23,当x2时,原式的分母为0,故舍去;当x3时,原式21如图是一片等边三角形形状的草地,为方便人们休闲,现决定在草地内部修建一座小亭,小亭离三个出口即三角形三个顶点A、B、C的距离相等(1)用尺规作图的方法确定小亭的位置(2)若草地的边长50m,求小亭到出口的距离【分析】(1)直接作出三角形任意两边垂直平分线其交点即

21、为所求;(2)利用等边三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案【解答】解:(1)如图所示:点P即为所求;(2)由题意可得:PBE30,在RtPBE中,BEEC25m,cos30,则,解得:BP,答:小亭到出口的距离为m22甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为7,1,3乙袋中的三张卡片所标的数值为2,1,6先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出卡片上的数值,把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况(2)求点A落在第三象限的概率【分析】(1)直接利

22、用表格列举即可解答;(2)利用(1)中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况,再除以点A的所有情况即可【解答】解:(1)如下表, 713 2(7,2)(1,2)(3,2) 1(7,1)(1,1)(3,1) 6(7,6)(1,6) (3,6)点A(x,y)共9种情况;(2)点A落在第三象限共有(7,2)(1,2)两种情况,点A落在第三象限的概率是23如图,ABC中,ACB90,D是边AB上一点,且A2DCBE是BC边上的一点,以EC为直径的O经过点D(1)求证:AB是O的切线;(2)若CD的弦心距为1,BEEO,求BD的长【分析】(1)连接OD,如图1所示,由ODOC,根据等边对等角得到一对角相

23、等,再由DOB为COD的外角,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,等量代换可得出DOB2DCB,又A2DCB,可得出ADOB,又ACB90,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出B与ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线,得证;(2)法1:过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BEOEOD,得到OD等于OB的一半,可得出B30,进而确定出DOB60,又ODOC,利用等边对等角得到一对角相等,再由DOB为三角形DOC的外角,利用外角的性质及等量代换可得出DCB30,在三角形CMO中,根据30角

24、所对的直角边等于斜边的一半得到OC2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,进而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长;法2:过O作OM垂直于CD,连接ED,由垂径定理得到M为CD的中点,又O为EC的中点,得到OM为三角形EDC的中位线,利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的长求出ED的长,再由BEOE,得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由DE的长求出OB的长,再由OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长【解答】(1)证明:连接OD,如图1所示:ODOC,DCBODC,又DOB为COD的外角,DOBDCB+ODC2

25、DCB,又A2DCB,ADOB,ACB90,A+B90,DOB+B90,BDO90,ODAB,又D在O上,AB是O的切线;(2)解法一:过点O作OMCD于点M,如图1,ODOEBEBO,BDO90,B30,DOB60,ODOC,DCBODC,又DOB为ODC的外角,DOBDCB+ODC2DCB,DCB30,在RtOCM中,DCB30,OM1,OC2OM2,OD2,BOBE+OE2OE4,在RtBDO中,根据勾股定理得:BD2;解法二:过点O作OMCD于点M,连接DE,如图2,OMCD,CMDM,又O为EC的中点,OM为DCE的中位线,且OM1,DE2OM2,在RtOCM中,DCB30,OM1,

26、OC2OM2,RtBDO中,OEBE,DEBO,BOBE+OE2OE4,ODOE2,在RtBDO中,根据勾股定理得BD224某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在550之间,每张薄板的成本价y1(单位:元)与它的边长x(单位:cm)满足关系式y1x2,每张薄板的出厂价y2(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长x成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据(1)求一张薄板的出厂价y2与边长x之间满足的函数关系式;(2)已知:利润出厂价成本价求一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式;当

27、边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)5070【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可;(2)由题意得,yy2y1,将y2和y1由的表达式代入,从而可得关于x的二次函数;将中的二次函数写成顶点式,根据二次函数的性质可得答案【解答】解:(1)根据题意,出厂价y2与边长x之间满足一次函数关系式,设y2kx+b由表中数据可得:解得:y22x+10;(2)由题意得,yy2y1(2x+10)+2x+10一张薄板的利润y与边长x之间满足的函数关系式为y+2x+10;y+2x+10当x25时,y最大值35又x25时,满足5x50当边长为2

28、5cm时,出厂一张薄板利润最大,最大利润为35元25ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BACEDF90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q(1)如图,当点Q在线段AC上,且APAQ时,求证:BPECQE;(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP2,CQ9时BC的长【分析】(1)由ABC是等腰直角三角形,易得BC45,ABAC,又由APAQ,E是BC的中点,利用SAS,可证得:BPECQE;(2)由ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得BCDEF45

29、,然后利用三角形的外角的性质,即可得BEPEQC,则可证得:BPECEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,【解答】(1)证明:ABC是等腰直角三角形,BC45,ABAC,APAQ,BPCQ,E是BC的中点,BECE,在BPE和CQE中,BPECQE(SAS);(2)解:ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BCDEF45,BEQEQC+C,即BEP+DEFEQC+C,BEP+45EQC+45,BEPEQC,BPECEQ,BP2,CQ9,BECE,BE218,BECE3,BC626如图,点A在x轴上,OA4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置(1)求

30、点B的坐标;(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由【分析】方法一:(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出OPB三边的边长表达式,然后分OPOB、OPBP、OBBP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点方法二:(3

31、)用参数表示点M坐标,分类讨论三种情况,利用两点间距离公式便可求解(4)列出点M的参数坐标,利用MOMB求解此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点【解答】解:(1)如图,过B点作BCx轴,垂足为C,则BCO90,AOB120,BOC60,又OAOB4,OCOB42,BCOBsin6042,点B的坐标为(2,2);(2)抛物线过原点O和点A、B,可设抛物线解析式为yax2+bx,将A(4,0),B(22)代入,得:,解得,此抛物线的解析式为yx2+x;(3)存在;如图,抛物线的对称轴是直线x2,直线x2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),若OBOP,则22+|y|242,解

32、得y2,当y2时,在RtPOD中,PDO90,sinPOD,POD60,POBPOD+AOB60+120180,即P、O、B三点在同一直线上,y2不符合题意,舍去,点P的坐标为(2,2)若OBPB,则42+|y+2|242,解得y2,故点P的坐标为(2,2),若OPBP,则22+|y|242+|y+2|2,解得y2,故点P的坐标为(2,2),综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,2)方法二:(3)设P(2,t),O(0,0),B(2,2),POB为等腰三角形,POPB,POOB,PBOB,(20)2+(t0)2(2+2)2+(t+2)2,t2,(20)2+(t0)2(0+2)2+(0+2)2,t2或2,当t2时,P(2,2),O(0,0)B(2,2)三点共线故舍去,(2+2)2+(t+2)2(0+2)2+(0+2)2,t2,符合条件的点P只有一个,P(2,2)方法二追加第(4)问:在(3)的条件下,M为OBP的外接圆,求出圆心M的坐标(4)点B,点P关于y轴对称,点M在y轴上,设M(0,m),M为OBF的外接圆,MOMB,(00)2+(m0)2(0+2)2+(m+2)2,m,M(0,)