1、2019-2020学年河南省驻马店市新蔡县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1式子有意义，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba2Ca1且a2Da22下列根式中是最简二次根式的是（）ABC（a0）D3若关于x的方程kx23x0有实数根，则实数k的取值范围是（）Ak0Bk1且k0Ck1Dk14若关于x的一元二次方程x22xk+10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxk的大致图象是（）ABCD5如图，ABC中，ABAC12，ADBC于点D，点E在AD上且DE2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A4B3C2.4D26下列结论中，错误的有：（）所有的菱形都
2、相似； 放大镜下的图形与原图形不一定相似； 等边三角形都相似；有一个角为110度的两个等腰三角形； 所有的矩形不一定相似A1个B2个C3个D4个7如图，ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（）A4.5B5C5.5D68在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把ABC放大得到A1B1C1，使它们的相似比为1：2，若点A的坐标为（2，2），则它的对应点A1的坐标一定是（）A（2，2）B（1，1）C（4，4）D（4，4）或（4，4）9如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）ABCD10如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，
3、BEAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个二、填空题（本大题共5小题，共15分）11计算6的结果是 12一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为 13如图，在平行四边形ABCD中，AB3，AD4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF1，则CE的长为 14如图，已知AON40，OA6，点P是射线ON上一动点，当AOP为直角三角形时，A 15已知a，b为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长是 三、解答题（本大题
4、共8小题，共75分）16（8分）（1）计算：（）2+（4）cos45（2）解方程：2x2+5x317（9分）已知关于x的方程x2+mx+m30（1）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根；（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根18（9分）阅读下列材料，并解决相应问题：应用：用上述类似的方法化简下列各式：（1）（2）若a是的小数部分，求的值19（9分）已知：如图ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）如果，AB3，EC，求DC的长20（9分）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪
5、掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积21（10分）如图，点C在ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，12，（1）试说明：ABCADE；（2）试说明：AFDFBFCF22（10分）如图，在RtABC中，B90，点D为AC的中点，以AB为一边向外作等边三角形ABE，连结DE（1）证明：DECB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形23（11分）已知：如图，ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各
6、问题：（1）经过秒时，求PBQ的面积；（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由2019-2020学年河南省驻马店市新蔡县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1式子有意义，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba2Ca1且a2Da2【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案【解答】解：式子有意义，则a+10，且a20，解得：a1且a2故选：C【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键2下列根式中是最简二次
7、根式的是（）ABC（a0）D【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案【解答】解：（A）原式，故A不是最简二次根式；（C）原式a，故C不是最简二次根式；（D）原式2，故D不是最简二次根式；故选：B【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型3若关于x的方程kx23x0有实数根，则实数k的取值范围是（）Ak0Bk1且k0Ck1Dk1【分析】讨论：当k0时，方程化为3x0，方程有一个实数解；当k0时，（3）24k（）0，然后求出两个种情况下的k的公共部分即可【解答】解：当k0时，方程化为3x0，解得x；当k0时，（3）24k（）0，解得k1，所以k的范围为
8、k1故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根4若关于x的一元二次方程x22xk+10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxk的大致图象是（）ABCD【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置【解答】解：关于x的一元二次方程x22xk+10有两个不相等的实数根，（2）24（k+1）0，即k0，k0，一次函数ykxk的图象位于一、三、四象限，故选：B【点评】本题考查了根的判别式及一次函数的
9、图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大5如图，ABC中，ABAC12，ADBC于点D，点E在AD上且DE2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A4B3C2.4D2【分析】作DHBF交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BDDC，得到FHHC，根据平行线分线段成比例定理得到2，计算即可【解答】解：作DHBF交AC于H，ABAC，ADBC，BDDC，FHHC，DHBF，2，AFAC2.4，故选：C【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、平行线分线段成比例定理是解题的关键6下列结论中，错误的有：（）
10、所有的菱形都相似； 放大镜下的图形与原图形不一定相似； 等边三角形都相似；有一个角为110度的两个等腰三角形； 所有的矩形不一定相似A1个B2个C3个D4个【分析】利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定【解答】解：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项错误：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项错误：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项正确：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似因为它们的顶角均为110，两锐角均为35，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定故：选项正确：只有长
11、与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项正确故选：B【点评】本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法7如图，ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（）A4.5B5C5.5D6【分析】根据中线的性质，可得AEF的面积ABE的面积ABD的面积ABC的面积，AEG的面积，根据三角形中位线的性质可得EFG的面积BCE的面积，进而得到AFG的面积【解答】解：点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，AD是ABC的中线，BE是ABD的中线，CE是ACD的中线，AF是ABE的中线，AG是ACE的中线，AEF的面积ABE的面积
12、ABD的面积ABC的面积，同理可得AEG的面积，BCE的面积ABC的面积6，又FG是BCE的中位线，EFG的面积BCE的面积，AFG的面积是3，故选：A【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分8在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把ABC放大得到A1B1C1，使它们的相似比为1：2，若点A的坐标为（2，2），则它的对应点A1的坐标一定是（）A（2，2）B（1，1）C（4，4）D（4，4）或（4，4）【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k进行解答【解答】解：以原点O为位似中心，把
13、ABC放大得到A1B1C1，使它们的相似比为1：2，则点A（2，2）的对应点A1的坐标为（4，4）或（4，4），故选：D【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k9如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）ABCD【分析】直接连接DC，得出CDAB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案【解答】解：连接DC，由网格可得：CDAB，则DC，AC，故sinA故选：B【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键10如图，在矩形ABCD中，E是AD边的
14、中点，BEAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【分析】四边形ABCD是矩形，BEAC，则ABCAFB90，又BAFCAB，于是AEFCAB，故正确；由AEADBC，又ADBC，所以，故正确；过D作DMBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BMDEBC，得到CNNF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；CD与AD的大小不知道，于是tanCAD的值无法判断，故错误【解答】解：过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，ADBC，BEAC于点F，EAC
15、ACB，ABCAFE90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEADBC，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；设AEa，ABb，则AD2a，由BAEADC，有，即tanCAD，故错误，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键二、填空题（本大题共5小题，共15分）11计算6的结果是【分析】先将二次根式化简即可求出答案【解答】解：原式3632故答案为：【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二
16、次根式的运算法则，本题属于基础题型12一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为24cm2【分析】复印前后的多边形按照比例放大或缩小，因此它们是相似多边形，按照相似多边形的性质求解即可【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比相似比1：2，面积之比（1：2）21：4，它的面积会由原来的6cm2变为：6424cm2，故答案为24cm2【点评】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方13如图，在平行四边形ABCD中，AB3，AD4，AF交BC于E，交DC的延长线于F
17、，且CF1，则CE的长为【分析】由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD3，BCAD，E为BC上一点，CEAD，FECFAD，FCED，FCEFDA，又CD3，CF1，AD4，CE，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是相似三角形对应边成比例14如图，已知AON40，OA6，点P是射线ON上一动点，当AOP为直角三角形时，A50或90【分析】分别从若APON与若PAOA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案【解答】解：当APON时，APO90，则A50，
18、当PAOA时，A90，即当AOP为直角三角形时，A50或90故答案为：50或90【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用15已知a，b为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长是或或【分析】由非负数的性质以及绝对值的性质可求出a和b的值，已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：a，b为直角三角形两边的长，满足，a2，b2或3，b2，a3或a2当b2，a2时，第三边应为斜边，第三边为2；当a2，b3时，
19、则第三边可能是直角边，也可能是斜边，若为直角边，其长为：若为斜边，其长为：，故答案为：或或【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解三、解答题（本大题共8小题，共75分）16（8分）（1）计算：（）2+（4）cos45（2）解方程：2x2+5x3【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）利用公式法求解可得【解答】解：（1）原式43+1211（2）2x2+5x30，这里a2，b5，c3，b24ac490，x，则x1，x23【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常
20、用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键17（9分）已知关于x的方程x2+mx+m30（1）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根；（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【分析】（1）把x2代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可【解答】解：（1）将x2代入方程x2+mx+m30得4+2m+m30，解得m，方程为x2x0，即3x2x100，解得x1，x22（2）m24（m3）m24m+12（m2）2+80，不论m取何实数，该方程都有两个
21、不相等的实数根【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的解的定义18（9分）阅读下列材料，并解决相应问题：应用：用上述类似的方法化简下列各式：（1）（2）若a是的小数部分，求的值【分析】（1）直接找出分母有理化因式进而化简求出答案；（2）直接表示出a的值，进而化简求出答案【解答】解：（1）；（2）由题意可得：a1，3+3【点评】此题主要考查了分母有理化，正确表示出有理化因式是解题关键19（9分）已知：如图ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，
22、ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）如果，AB3，EC，求DC的长【分析】（1）ABC是等边三角形，得到BC60，ABAC，推出BADCDE，得到ABDDCE；（2）由ABDDCE，得到，然后代入数值求得结果【解答】解：（1）ABC是等边三角形，BC60，ABAC，B+BADADE+CDE，BADE60，BADCDEABDDCE；（2）由（1）证得ABDDCE，设CDx，则BD3x，x1或x2，DC1或DC2【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用20（9分）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，
23、制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积【分析】根据大正方形的面积求出边长，根据剪掉的小正方形的面积求出边长，然后得到盒子的底面边长与高，再根据正方体的体积公式列式进行计算即可得解【解答】解：大正方形面积为48cm2，边长为4cm，小正方形面积为3cm2，边长为cm，长方体盒子的体积（42）212cm3【点评】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积求出边长是解题的关键21（10分）如图，点C在ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，12，（1）试说明：ABCADE；（2）试说明：AFDFBFCF【分析】（1）求出BACDAE，根据有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形
24、相似推出即可；（2）根据相似三角形的性质推出BD，根据相似三角形的判定推出ABFCDF，推出比例式，即可得出答案【解答】（1）证明：12，1+DAC2+DAC，BACDAE，ABCADE；（2）证明：ABCADE，BD，BFADFC，ABFCDF，AFDFBFCF【点评】本题主要考查了相似的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等；有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似22（10分）如图，在RtABC中，B90，点D为AC的中点，以AB为一边向外作等边三角形ABE，连结DE（1）证明：DECB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形【分
25、析】（1）连结BD，根据直角三角形的性质可得BDACAD，利用等边三角形的性质可得AEBE，然后证明ADEBDE，进而可求出AEDBED30，然后再证明BED+EBC180，从而可得结论；（2）当ABAC或AC2AB时，四边形DCBE是平行四边形，首先利用三角函数求出C30，然后证明DCBE，再有DEBC，可得四边形DCBE是平行四边形【解答】（1）证明：连结BD点D为RtABC的斜边AC的中点，BDACAD，ABE是等边三角形，AEBE，在ADE与BDE中，ADEBDE（SSS），AEDBED30，CBE150，BED+EBC180，DECB；（2）解：当ABAC或AC2AB时，四边形DCB
26、E是平行四边形 理由：ABAC，ABC90，C30，EBC150，EBC+C180，DCBE，又DEBC，四边形DCBE是平行四边形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形23（11分）已知：如图，ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求PBQ的面积；（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC
27、的面积是ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由【分析】（1）根据路程速度时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；（2）BPQ90；BQP90然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和B的度数进行求解即可（3）本题可先用ABC的面积PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可【解答】解：（1）经过秒时，APcm，BQcm，ABC是边长为3cm的等边三角形，ABBC3cm，B6
28、0，BP3cm，PBQ的面积BPBQsinB；（2）设经过t秒PBQ是直角三角形，则APtcm，BQtcm，ABC中，ABBC3cm，B60，BP（3t）cm，PBQ中，BP（3t）cm，BQtcm，若PBQ是直角三角形，则BQP90或BPQ90，当BQP90时，BQBP，即t（3t），t1（秒），当BPQ90时，BPBQ，3tt，t2（秒），答：当t1秒或t2秒时，PBQ是直角三角形（3）过P作PMBC于M，BPM中，sinB，PMPBsinB（3t），SPBQBQPMt（3t），ySABCSPBQ32t（3t）t2t+，y与t的关系式为yt2t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是ABC面积的，则S四边形APQCSABC，t2t+32，t23t+30，（3）24130，方程无解，无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键
