1、 - 1 - 2020 届甘肃省张掖市第二中学高三 10 月月考 数学（理科）数学（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求） 1设集合 | 1Axx2,B=, 04| 2 Rxxxx,则)(BCA R = A.1,2 B.0,2 C. 1,4 D.0,4 2设12:, 10: x qxp，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 5 1 2x x 的展开式中 3 x 项的系数为 A. 80 B. -40 C. -80 D. 48 4已知tan3,tan5，则tan 2
2、的值为 A 4 7 B 4 7 C 1 8 D 1 8 5设等差数列 n a的前 n 项和为 Sn，若 a1=-15, a3+a5= -18,则当 Sn取最小值时 n 等于 A9 B8 C7 D6 6函数 1 lnf xxx的图象可能为 A B C D 7若变量x，y满足条件 0 0 2 x y xy ，则2zxy的最大值是 A-4 B-2 C0 D2 8已知 fx是定义在 R 上的偶函数，且 fx在0,内单调递减，则 A 32 0log 2log 3fff B 32 log 20log 3fff C 23 log 3log 20fff D 32 log 2log 30fff 9函数sinyA
3、x0,0,0A 的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为 - 2 - A3sinyx B3sinyx C3sinyx D3sinyx 10设函数 )2( 1) 2 1 ( )2()2( )( x xxa xf x 是 R 上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 A(-，2) B(-， 8 13 C(0,2) D 8 13 ,2) 11 已知 2 F、 1 F是双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的上、 下焦点， 点 2 F关于渐近线的对称点恰好落在以 1 F 为圆心， 1 OF为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A3 B3 C2 D2 12已知 fx是奇函数 f xxR的导函数，
4、20f，当0x 时， 2 fxf x x ，则不等式 10xf x的解集为 A, 20,2 B2,02, C, 21,2 D2,01,2U 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须做答第题为必考题，每个试题考生都必须做答第 2222 题题 第第 2323 题为选做题，考生根据要求做答题为选做题，考生根据要求做答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13 2 0 )sin(cos dxxx的值为 14已知平面向量 a，b满足
5、：2)(, 6, 1ababa，则ba与的夹角为 15 若 直 线220axby，(0,0)ab平 分 圆 22 2460xyxy, 则 12 ab 的 最 小 值 是 . 16已知函数( )ln(3)f xxx，则不等式(lg )0fx 的解集为_. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分）已知函数 ( )2cos (sincos )f xxxx ，xR （I）求函数 ( )f x的最小正周期 （II）求函数 ( )f x的单调递增区间 y x O 1 5 3 -3 - 3 - （III）求函数
6、( )f x在区间 , 4 4 上的最小值和最大值 18（本小题满分 12 分）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，侧棱AA1面ABC，D、E分别是 棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且 1 4 AFAB （）求证：EF平面BDC1； （）求二面角EBC1D的余弦值 19 （本小题满分 12 分）已知向量(cos , sin )mAA，(cos ,sin )nBB，cos2m nC，其中, ,A B C 为ABC的内角 （I）求角C的大小； （II）若2c ，求2ab的最大值 20. (本题满分 12 分)已知圆 G：022 22 yxyx经过椭圆1 2 2 2 2 b
7、 y a x (ab0)的右焦点 F 及上 顶点 B。 （1）求椭圆的方程 （2）过椭圆外一点 M(m,0) (ma)倾斜角为 6 5 的直线l与椭圆交于 C、D 两点，若右焦点 F 在以弦 CD 为直径的圆的外部，求实数 m 的范围。 21(本题满分 12 分)已知函数 2 ( )ln2()f xaxxxaR. （1）当1a 时，求函数 fx在点(1, (1)f处的切线方程； （2）若函数 fx有两个不同极值点，求实数a的取值范围； （3）当0a 时，求证：对任意1,)x， 2 ( )(2)1fxxax恒成立. - 4 - 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题做答，如果多做
8、，则按所做的第一题记分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. .答题时用答题时用 2B2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑上把所选题目的题号涂黑. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 设直线l的参数方程为 ty tx 2 2 (t 为参数） ，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴， 选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为 = 2 sin cos8 （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求AB. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不
9、等式选讲 设函数212)(xxxf （1）求 f(x)6 的解集 （2）若 f(x)m 对任意 xR 恒成立，求 m 的范围。 - 5 - 数学（理科）答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求） 1. B 2A 3. C 4. A 5B 6A 7D 8C 9A 10B 11.C 12D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 2 14 3 15223 16. 1,100 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题
10、（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （I） ( )f x的最小正周期 T ;（II） ( )f x的单调递增区间为 3 , () 88 kkk Z; （III） min ( )0 4 f xf ; max ( )21 8 f xf 【解析】 （I） 2cossincossin2cos212sin 21 4 f xxxxxxx 因此，函数 fx的最小正周期T （II）由 2 22 242 kxk得： 3 88 kxk 即函数 fx的单调递增区间为 3 , 88 kkkZ （III）因为 44 x 所以 3 2 444 x 所以 minmax 021 48 f xff xf 18(1
11、2 分)（1）证法一：设 O 为 AB 的中点，连结 A1O， AF= 4 1 AB ，O 为 AB 的中点 F 为 AO 的中点，又 E 为 AA1的中点 EFA1O 又D 为 A1B1的中点，O 为 AB 的中点 A1D=OB 又 A1DOB 四边形 A1DBO 为平行四边形 A1OBD 又 EFA1O EFBD 又 EF平面 DBC1 ， BD平面 DBC1 EF平面 DBC1 （6 分） 证法二：建立如图所示的坐标系。 （坐标系建立仅为参考） AB=BC=CA=AA1=2，D、E 分别为 A1B1、AA1的中点，AF= 4 1 AB - 6 - E（-1，0，1） ，F），（00 2
12、1 -，B（1，0，0） ，D（0，0，2） ，C1（0，）， 23） 设平面平面 DBC1的法向量为),(zyxn ）1- , 0 , 2 1 (EF,)2 , 0 , 1(BD,）2 , 3, 1( 1 BC 02 zxnBD 023 1 zyxBC 令 z=1,则 y=0,x=2 ）1 , 0 , 2(n 0) 1(10 2 1 2nEF nEF 又 EF平面 BDC1 EF平面 BDC1 （6 分） （2）设面 EBC1的法向量为),(zyxm ) 1 , 0 , 2(BE，)2 , 3, 1( 1 BC 02zxmBE 023 1 zyxmBC令 x=1,则 z=2，y=-3 )2
13、, 3, 1 ( m cosnm,= nm nm 5 10 225 21)3(012 由图知二面角EBC1D为锐二面角，所以二面角的余弦值为 5 10 （12 分） 19.（）由coscossinsincos()cosm nABABABC2 分 所以coscos2CC即 2 2coscos10CC 3 分 解得 1 coscos1 2 CC 或（舍)5 分 又0C，所以 3 C 6 分 （）,2 2 Cc ，由正弦定理可得： 4 3 sinsin3 sin 3 bac BA 4 34 3 sin,sin 33 aA bB， 4 34 34 34 32 2sin2sinsin2sin 33333
14、 abABAA 4 34 21 2sin3cossin 33 AAA， 23 0,arctan 32 A - 7 - sin1A，2ab的最大值为 4 21 3 20 （12 分） （1）解：022 22 yxyx 经过椭圆1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的右焦点 F 及上顶点 B 在圆方程中令 x=0 得 B（0，2） ，令 y=0 得 F（2，0） b=2 , c=2 , a=6 椭圆方程为：1 26 22 yx （5 分） （2）直线l的倾斜角为 6 5 直线l斜率 k=tan 3 3 - 6 5 直线l的方程为：y=) 3 3 -mx （ (m6) 代入1 26 22 y
15、x 得 2062 22 mmxx =mm)6(8)2 22 （0 解得m212 设 C（x1,y1）,D(x2,y2) 则 x1+x2=m, x1x2= 2 6 2 m (8 分) 右焦点 F 在以弦 CD 为直径的圆的外部 FDFC0，（x1-2）(x2-2)+y1y20 4x1x2-(m+6)(x1+x2)+m12 2 0 4 2 6 2 m -（m+6）m+12 2 m0 即：mm3 2 0 m3 或 m0 又 m6, m212 m）（32 , 3 （12 分） 21 【答案】【答案】 （1）3 0xy （2）, 2 （3）见解析 【详解】 （1）当1a 时， 2 ln20,f xx x
16、xx ln21fxxx 13 f ，又 13f 331yx，即3 0xy 函 数 fx在点 1,1f处的切线方程为3 0xy （2）由题意知，函数 fx的定义域为0,， ln2fxa xxa ， 令 0fx ，可得ln20a xxa， - 8 - 当0a 时，方程ln20a xxa仅有一解，0a ， 1ln1 0 2 x x ax 令 1 ln 0 2 x g xx x 则由题可知直线 1 y a 与函数 yg x的图像有两个不同的交点 2 2ln 4 x gx x 当0,1x时， 0gx ， g x为单调递减函数； 当1,x时， 0gx ， g x为单调递增函数 又 1 0g e ， 1 1
17、 2 g ，且当x 时， 0g x 11 0 2a ， 2a 实数a的取值范围为, 2 （3） ln2fxa xxa 要证对任意1,x， 2+ 21fxxax恒成立 即证 2 ln2+21a xxaxax成立 即证 2 ln10a xxaxa 成立 设 2 ln11h xa xxaxax 21 a h xxa x x 0a 时，易知 h x 在1,上为减函数 120h xh h x在1,上为减函数 120h xh 2 ln10a xxaxa 成立 即对任意1,x， 2+ 21fxxax恒成立 22 （10 分）解： （1）由 = 2 sin cos8 得 cos8sin 2 cos8sin 2
18、2 xy8 2 - 9 - 曲线 C 表示顶点在原点，焦点在 x 上的抛物线 （5 分） （2） 2 2 tx ty 化为 tx ty 5 5 2 5 52 代入xy8 2 得02052 2 tt 10)20(4)52(4)( 2 21 2 1212 ttttttAB （10 分） （或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可） 23 （10 分）解： （1）212xx6 不等式等价于： 2- 6)2()-12 x xx（ 或 12 62)- 12 x xx（或 1 62) 1(2 x xx 等价于 2- 2 x x 或 12 2 x x 或 1 10 x x 不等式的解集为-2，10 （5 分） （2）由（1）知 ） ） 2-(-4 1(4 ) 12(3 xx xx xx 容易求得函数最小值为-3 f(x)m 对任意 xR 恒成立 m-3 （10 分）
