1、6.3.2 随机变量及其分布,-2-,考向一,考向二,考向三,考向四,依据频率求概率的综合问题 例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可
2、);,-3-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,-4-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图.通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,-5-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或
3、非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得对于求由几个简单事件组合而成的复杂事件的概率,一般有两种解题方法: 1.直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几
4、个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解. 2.间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况比较少,则可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1(2019北京卷,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:,-8-,考向一,考向二,考向
5、三,考向四,(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率; (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人
6、,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为 =0.4.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)X的所有可能值为0,1,2. 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,离散型随机变量的分布列(多维探究) 类型1 相互独立
7、事件、互斥事件的概率及分布列 例2某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其他都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所买的衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A,B,C三位顾客各买了一件衣服. (1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服打6折的概率; (2)A,B两位顾客都选了定价为2 000元的一件衣服,设X为打
8、折后两位顾客的消费总额,求X的分布列和数学期望.,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得字母表示事件法:使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评 的部数与该类电影的部数的比值.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,假设所有电影是否获得好评相互
9、独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,类型2 超几何分布 例3(2
10、019北京东城一模,理16)改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)从2007年至2016年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率; (2)从2007年至2016年随机选择3年,设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求X的分布列与数学期望; (3)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产
11、业年增加值方差最大?(结论不要求证明),-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大. 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)= ,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3(2019河南郑州一月质检,理19)2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发
12、布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量. (1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值; (2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布,11月份仅有一天AQI在170,180)内.,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,
13、郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,如果AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日进行社会实践活动的概率; 在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)设重度污染区AQI的平均值为x,则742+1145+2x=1189,解得x=172.即重度污染区AQI平均值为172. (2)由题意知,AQI在170,180)内的天数为1,由表可知,AQI
14、在50,170)内的天数为17天,故11月份AQI小于180的天数为1+17=18,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,类型3 二项分布 例4(2019山东济宁一模,理19)某学校为了了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,结果这100人的体重全部介于45 kg到75 kg之间,现将结果按如下方式分为6组:第一组45,50),第二组50,55),第六组70,75),得到如图(1)所示的频率分布直方图,并发现这100人中,其体重低于55 kg的有15人,这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示,以样本的频率作为总体的概率.,
15、-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)求频率分布直方图中a,b,c的值; (2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在55,65)的人数,求X的概率分布列和数学期望; (3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布N(,2),其中=60,2=25.若P(-20.954 5,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)用样本的频率估计总体的概率,可知从全体学生中随机抽取一人,体重在55,65)的概率为0.0710=0.7,随机抽取3人,相当于三次独立重复试验,随机变量X服从二项分布B(3,
16、0.7),则 所以,X的概率分布列为: E(X)=30.7=2.1. (3)由N(60,25)得=5,得P(-20.954 5.所以可以认为该校学生的体重是正常的.,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4(2019山西晋城二模,理18)一年之计在于
17、春,一天之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端,某种植户对一块地的n(nN*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种. (1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? (2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,样本的均值、方差与正态分布的综合 例5为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该
18、生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性; 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,-39-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)抽取的
19、一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1- P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的数学期望为E(X)=160.002 7=0.043 2. (2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的
20、方法是合理的.由 =9.97,s0.212,得的估计值为,-40-,考向一,考向二,考向三,考向四,-41-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.,-42-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练5某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84). (1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否
21、有道理,并说明判断的依据; (2)如果钢管的直径X满足60.6 mm69.4 mm为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望. (参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6;P(-2X+2)=0.954 4;P(-3X+3)=0.997 4.),-43-,考向一,考向二,考向三,考向四,-44-,考向一,考向二,考向三,考向四,-45-,考向一,考向二,考向三,考向四,概率与函数或数列的综合 例6(2019全国卷1,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每
22、一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.,-46-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,
23、pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8. 证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列; 求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.,-47-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即pi+1-pi=4(pi-pi-1)
24、. 又因为p1-p0=p10, 所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.,-48-,考向一,考向二,考向三,考向四,-49-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得解决概率与函数或数列的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题转化为函数或数列的问题,在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,使之与求证的结论建立联系,从而解决问题.,-50-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练6某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决
25、定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,-51-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由(1)知,p=0.1.令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX400,故应该对余下的产品作检验.,
