1、9.2 不等式选讲(选修45),-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,-8-,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (3)|x-a|+|x-b|c(c
2、0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.,-9-,3.基本不等式 定理1:设a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.,-10-,4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法. 求差比较法:由于aba-b0,ab,只要证明a-b0即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已
3、成立的不等式(已知条件、定理等). (3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.,-11-,5.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立. (3)柯西不等式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3R,则 (4)柯西不等式的一般形式:设a1,a2,a3,an,b1,b2,
4、b3,bn是实数,则 (a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.,-12-,考向一,考向二,考向三,解不等式,求参数范围 例1(2019全国卷2,文23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时,f(x)0,求a的取值范围.,解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x1时,f(x)=-2(x-1)20; 当x1时,f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0
5、,所以a1. 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0. 所以,a的取值范围是1,+).,-13-,考向一,考向二,考向三,关键点拨(1)当a=1时,分x1和x0,即ax,x(-,1)时恒成立,则a1. 解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.,-14-,考向一,考向二,考向三
6、,对点训练1(2019山东烟台、菏泽高三5月高考适应性练习)已知函数f(x)=|2x+m-1|+|2x-3|. (1)当m=2时,求不等式f(x)6的解集;,-15-,考向一,考向二,考向三,-16-,考向一,考向二,考向三,例2(2019安徽定远中学预测卷一)已知函数f(x)=|x|+|x-a|. (1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集; (2)若f(x)1对任意xR成立,求实数a的取值范围.,-17-,考向一,考向二,考向三,解 (1)当a=2时,不等式f(x)-1,所以-12时,x+(x-2)4,所以x3,所以2x3. 综上,当a=2时,不等式f(x)4的解集为x|-1x3. (2)
7、因为|x-(x-a)|x|+|x-a|, 所以|x|+|x-a|a|. 又因为f(x)=|x|+|x-a|,f(x)1对任意xR成立, 所以1|a|.所以a-1或a1. 故实数a的取值范围为(-,-11,+).,-18-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.,-19-,考向一,考向二,考向三,对点训
8、练2(2019河南八市重点高中联盟“领军考试”高三压轴)已知函数f(x)=|2x+3|-|x-a|(aR). (1)当a=1时,解不等式f(x)2; (2)若关于x的不等式f(x)|x-3|的解集包含3,5,求a的取值范围.,-20-,考向一,考向二,考向三,解 (1)当a=1时,不等式f(x)2,即|2x+3|-|x-1|2, 所以不等式f(x)2的解集为(-,-60,+). (2)关于x的不等式f(x)|x-3|的解集包含3,5,即|2x+3|-|x-3|x-a|在3,5恒成立,即x+6|x-a|在3,5恒成立,即-6a2x+6在x3,5恒成立,解得-6a12. a的取值范围是-6,12.
9、,-21-,考向一,考向二,考向三,例3设函数f(x)=|x+2|+|x-a|,xR. (1)若a=1,试求f(x)4的解集; (2)若a0,且关于x的不等式f(x) x有解,求实数a的取值范围.,-22-,考向一,考向二,考向三,-23-,考向一,考向二,考向三,解题心得在不等式f(x)g(x)有解或恒成立时,求不等式中所含参数的取值范围或最值,可分别作出函数f(x)和g(x)的图象,根据图象找到不等式f(x)g(x)有解或恒成立的条件,从而得出参数的取值范围或最值.,-24-,考向一,考向二,考向三,对点训练3设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2
10、)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.,-25-,考向一,考向二,考向三,-26-,考向一,考向二,考向三,(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.,-27-,考向一,考向二,考向三,例4已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,-28-,考向一,考向二,考向三,解题心得在不等式f(x)g(x)成立下,求不等式中所含参数的取值范围,可对参数
11、进行讨论,看参数在哪些范围内不等式能成立,然后把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可.,-29-,考向一,考向二,考向三,对点训练4已知f(x)=|x-a|+3x,其中aR. (1)当a=1时,求不等式f(x)3x+|2x+1|的解集; (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.,-30-,考向一,考向二,考向三,不等式的证明 例5(2019全国卷1,文23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,-31-,考向一,考向二,考向三,-32-,考向一,考向二,考向三,关键点拨(1)利用a2+b22ab,b2+c22bc,
12、c2+a22ca三式相加,然后利用整体思想将分母“1”换为“abc”;(2)先利用三项基本不等式转化,再利用二项基本不等式求解.,解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.,-33-,考向一,考向二,考向三,对点训练5(2019山东安丘、诸城、五莲高三5月校级联合考试)设函数f(x)=|x-m|+|x+n|,其中m0,n0. (1)当m=1,n=1时,求关于x的不等式f(x)4的解集; (2)若m+n
13、=mn,证明:f(x)4.,-34-,考向一,考向二,考向三,-35-,考向一,考向二,考向三,求不等式的最值 例6(2019全国卷3,文23)设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.,-36-,考向一,考向二,考向三,-37-,考向一,考向二,考向三,关键点拨多元代数式求最值与不等式恒成立问题可利用消元或构造均值不等式成立的条件进行求解. 解题心得若题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.,-38-,考向一,考向二,考向三,对点训练6(2019辽宁葫芦岛普通高中高三第二次模拟)已知函数f(x)=|x-3|. (1)若f(x)1,求实数x的取值范围;,解 (1)由已知得,|x-3|1, 即-1x-31,即2x4. 即实数x的取值范围为2,4.,
