1、2.4.2 应用导数求参数的值或范围,-2-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求参数的值 例1已知函数f(x)=ex-ax2. (1)略. (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,解 (1)略. (2)设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点. (i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.,-3-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-4-,考向一,考向二,考向三
2、,考向四,考向五,解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.,-5-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练1(2019河北唐山一模,理21)已知函数f(x)=ax- ,aR. (1)若f(x)0,求a的取值范围; (2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的值.,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,显然h(t)在(0,+)上单调递减,且h(1)=0, 所以当00,h(t)单调递增; 当t1时,h(t)0,h(t)单调递减, 所以当且仅当t=
3、1时h(t)=0. 故a=1.,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,已知函数极值、最值情况求参数范围 例2已知函数f(x)= -a(x-ln x). (1)当a0时,试求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.,当a0时,对于x(0,+),ex-ax0恒成立, f(x)0x1,f(x)00x1. f(x)单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1).,-8-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值
4、且唯一. 当ae时,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,f(x)单调递增,f(x)在(0,1)内无极值. 综上,a的取值范围为(e,+).,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得f(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)=0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验证f(x)在(0,1)内有极值.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练2(2019河南名校联盟压轴卷四,理21)设f(x)是函数f(x)的导函数
5、,我们把使f(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)= ae2x+(a-2)ex. (1)若1是函数f(x)的好点,求a; (2)若函数f(x)存在两个好点,求实数a的取值范围.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解 (1)f(x)=ae2x+(a-2)ex,由f(x)=x,得ae2x+(a-2)ex=x,即ae2x+(a-2)ex-x=0, 1是函数f(x)的好点,ae2+(a-2)e1-1=0, (2)f(x)=ae2x+(a-2)ex, 由f(x)=x,得ae2x+(a-2)ex=x, 即ae2x+(a-2)ex-x=0. 令g(x)=ae2x+(a
6、-2)ex-x,问题转化为讨论函数g(x)的零点问题. g(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). 当a0时,g(x)=(aex-1)(2ex+1)0恒成立, 故函数递减,g(x)不可能有两个零点;,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,在不等式恒成立中求参数范围 例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x). (1)略; (2)若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解 (1)略. (2)f(x
7、)=ln(x+1)+a(x2-x), 令g(x)=2ax2+ax+1-a(x0), 当a=0时,g(x)=1,则f(x)0在(0,+)上恒成立, 则f(x)在(0,+)上单调递增, f(0)=0,x(0,+)时,f(x)0,符合题意.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,又f(0)=0,x(0,+)时,f(x)0,符合题意. 当a1时,由g(0)=1-a0,x(0,x2)时,f(x)单调递减, 又f(0)=0,x(0,x2)时,f(x)0,可知x20,x(x2,+)时,g(x)0,则f(x)0,f(x)单调递减,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,当x+时,f(x)
8、-,x(0,+)时,f(x)0不恒成立, 当a1- 时,ax2+(1-a)x0,此时f(x)0,不符合题意,舍去. 综上所述a的取值范围为0,1.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得1.在f(x)0的情况下,讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)min0得a的范围合并a的范围. 2.若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.即求当x0,f(x)0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围,当x0,f(x)0,或者能够说明a取什么范围f(x)0,为此还是研究f(x)在(0,+)上的单调性.,-20-,考向一,考向二,考向三,
9、考向四,考向五,对点训练3(2019四川宜宾二模,理21)已知函数f(x)= . (1)略; (2)若f(x)x+1,求a的取值范围.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,当a2时,由h(x)=0,得x2-ax+1=0, 且=a2-40; 设x2-ax+1=0两根为x1,x2(x10,x1x2=1, 00,得x2-ax+12不合题意. 综上,a的取值范围是(-,2.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,在两变量不等式恒成立中求参数范围 例4(2019河北衡水中学下学期四调,文21)已知函数f(x)=axln x-bx
10、2-ax.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什么范围不等式成立,从而求出参数范围.,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练4(2019河南郑州一月质检,理21)已知函数f(
11、x)=x2-8x+aln x(aR). (1)略; (2)当函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1t(4+3x1- )成立,求t的取值范围.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,当t0时,h(x)0,则h(x)在(0,2)上为增函数且h(1)=0,*式在区间(1,2)上不成立. 当t0时,=4-4t2,若0,即t-1时,h(x)0,所以h(x)在区间(0,2)上为减函数且h(1)=0,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,已知函数零点情况求参数范围 例5(2019山西
12、晋城二模,理21)已知函数f(x)=ln x,g(x)= x3+2(1-a)x2-8x+8a+7. (1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2)处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在0,3上的值域; (2)当x0时,记函数 若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值范围.,解 (1)因为g(x)= x3+2(1-a)x2-8x+8a+7, 所以g(x)=2ax2+4(1-a)x-8,所以g(2)=0, 所以a=0,即g(x)=2x2-8x+7. g(0)=7,g(3)=1,g(2)=-1, 所以g(x)在0,3上的值域为-1,7.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-33
13、-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)分类讨论法:分类讨论就是将所有可能出现的情况进行分类,然后逐个论证,它属于完全归纳. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练5(2019安徽“江南十校”二模,理21)已知函数f(x)=ax2ln x+xln x- x(aR). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,
