1、2018-2019学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1（5分）若集合A2，1，2，3，Bx|x2n，nN，则AB（）A2B2C2，2D2（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）ABCD3（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ayx2By|x|CysinxDy4（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）AB2C3D45（5分）已知函数f（x）cosx，下列结论不正确的
2、是（）A函数yf（x）的最小正周期为2B函数yf（x）在区间（0，）内单调递减C函数yf（x）的图象关于y轴对称D把函数yf（x）的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象6（5分）已知直线l是平面的斜线，则内不存在与l（）A相交的直线B平行的直线C异面的直线D垂直的直线7（5分）若a0，且a1，则“a”是“函数f（x）logaxx有零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）如图，ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A+B+C+D+9（5分）英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，16851731）建立了如
3、下正、余弦公式：sinxx+（1）n1+，cosx1+（1）n+其中xR，nN*，n！1234n，例如：1!1，2！2，3！6试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A0.99B0.98C0.97D0.9610（5分）已知函数f（x）m2x+x+m22，若存在实数x，满足f（x）f（x），则实数m的取值范围为（）A（，2（0，1B2，0）（0，1C2，0）1，+）D（，21，+）二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11（5分）设i为虚数单位，复数zi（4+3i）的模为 12（5分）已知（2，4
4、），（1，3），则 13（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为 14（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有 人15（6分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图，其中A0，0，0，则 ；tan 16（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥AA1BC（如图2
5、），则a ；h 三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ac，且2csin Aa（1）求角C的大小；（2）若c4，ABC的面积为，求ABC的周长18（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q（a，b）（1）当时，求ab的值：（2）设，求ba的取值范围19（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称
6、“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者
7、核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？20（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点（1）求证：平面EFC平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑21（14分）己知函数f（x）其中aR（1）当al时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2x12，求a的取值范围2018-2019学年广东省深圳市高
8、一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1（5分）若集合A2，1，2，3，Bx|x2n，nN，则AB（）A2B2C2，2D【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合A2，1，2，3，Bx|x2n，nN，AB2故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）ABCD【分析】利用n次独立重复试验中事件A愉好发生k次的概率计算公式直接求解【解答】解：连续两次抛掷一枚质地均匀的
9、硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率：P故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A愉好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ayx2By|x|CysinxDy【分析】根据函数奇偶性和单调性可判断【解答】解：对于Ayx2，是偶函数，在区间（0，+）上单调递增，不符合题意；对于By|x|，是偶函数，在区间（0，+）上单调递增，不符合题意；对于Cysinx，奇函数，不满足题意，对于Dy，是偶函数，在区间（0，+）上单调递减，符合题意故选：D【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，属于基础题
10、4（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）AB2C3D4【分析】该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，由此能求出该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积【解答】解：如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积：S3故选：C【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查旋转体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）已知函数f（x）cosx，下列结论不正确的是（）A函数yf（x）的最
11、小正周期为2B函数yf（x）在区间（0，）内单调递减C函数yf（x）的图象关于y轴对称D把函数yf（x）的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象【分析】直接利用余弦函数的性质判断选项的错误即可【解答】解：由余弦函数f（x）cosx的性质可知，函数的周期是2A正确余弦函数f（x）cosx在区间（0，）内单调递减，所以B正确；余弦函数是偶函数，所以C正确；函数的图象把函数yf（x）的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象，所以D不正确故选：D【点评】本题考查余弦函数的简单性质的应用，命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查6（5分）已知直线l是平面的斜线，则内不存在与l（）A相交的直线
12、B平行的直线C异面的直线D垂直的直线【分析】直接利用直线与平面位置关系，判断即可【解答】解：直线l是平面的斜线，则内不存在与l平行的直线，故选：B【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断7（5分）若a0，且a1，则“a”是“函数f（x）logaxx有零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据零点定义和充分条件必要条件的定义，和函数单调性可进行判断，【解答】解：当a时，函数f（x）logaxx在（0，+）是单调递减函数，f（）0，f（1）10，f（）f（1）0，f（x）在（0，+）上存在零点，即充分性满足；又当a时，同理可推出函数
13、f（x）存在零点，即必要性不满足；故“a”是“函数f（x）logaxx有零点”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查函数零点定义，函数单调性的应用，充分条件必要条件的定义，属于基础题8（5分）如图，ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A+B+C+D+【分析】根据题意即可知道，G为ABC的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出【解答】解：据题意得，G为ABC的重心；故选：C【点评】考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义9（5分）英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，16851731）建立了
14、如下正、余弦公式：sinxx+（1）n1+，cosx1+（1）n+其中xR，nN*，n！1234n，例如：1!1，2！2，3！6试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A0.99B0.98C0.97D0.96【分析】本题根据题目要求应用泰勒余弦展开公式，由于只需要精确到0.01，所以只需选择前面省略后面【解答】解：由题意，只需要精确到0.01即可，cos0.2110.020.98故选：B【点评】本题主要考查对新定义的理解应用能力本题属基础题10（5分）已知函数f（x）m2x+x+m22，若存在实数x，满足f（x）f（x），则实数m的取值范围为（）A（，2（0，1B2，0）（
15、0，1C2，0）1，+）D（，21，+）【分析】分离参数，由基本不等式即可求得实数m的取值范围【解答】解：由题意，m2x+x+m22+m2xx+m220有解，即，又，当且仅当“2x1”时取等号，解得m2或0m1故选：A【点评】本题考查了基本不等式的运用，同时也考查了不等式的解法及分离变量思想，考查运算求解能力，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11（5分）设i为虚数单位，复数zi（4+3i）的模为5【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由zi（4+3i）3+4i，
16、得|z|故答案为：5【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题12（5分）已知（2，4），（1，3），则6【分析】求出向量的坐标表达式，然后利用向量的数量积求解即可【解答】解：（2，4），（1，3），可得（1，3）（2，4）（1，1）则246故答案为：6【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查计算能力13（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为0.56【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解【解答】解：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7现两人各
17、自独立射击一次，均中靶的概率为p0.80.70.56故答案为：0.56【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有16人【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解：某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，则抽到的家长有：6416故答案为：16【点评】本题考查抽到的家长数量的求法，考
18、查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（6分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图，其中A0，0，0，则2；tan【分析】由函数图象可得A，T的值，利用周期公式可求的值，又f（）2sin（2+），可得：sin，根据同角三角函数基本关系式可求tan的值【解答】解：A0，0，由函数图象可得：A2，T，可得：T，2；f（x）2sin（2x+），又f（）2sin（2+），可得：sin，0，cos，可得：tan故答案为：2，【点评】本题考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，求得sin是难点，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题16（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明
19、封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥AA1BC（如图2），则a；h【分析】在图2中计算V得出水的体积a，根据水的体积不变列方程求出四边形ABDE的面积，再利用相似三角形的相似比求出h【解答】解：在图2中，水的体积为VSABCAA11，即a在图1中，水的体积为VSABEDAA1，SABED，故，又ABC的高为，CDE的高为h，（）2，解得h故答案为：，【点评】本题考查了棱柱、棱锥的体积计算，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过
20、程或演算步骤.17（12分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ac，且2csin Aa（1）求角C的大小；（2）若c4，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2sinCsinAsinA，结合sinA0，可求得sinC，利用大边对大角可得C为锐角，可得C的值（2）利用三角形的面积公式可求ab4，由余弦定理可得a+b的值，即可得解三角形的周长【解答】解：（1）2csinAa由正弦定理可得：2sinCsinAsinA，sinA0，解得sinC，ac，C为锐角，可得C（2）C，c4，ABC的面积为，absinC，解得：ab4，由余弦定理c2a2+b2
21、2abcosC，可得：c2a2+b2ab（a+b）23ab，可得：（a+b）242+3428，解得a+b2，ABC的周长a+b+c2+4【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q（a，b）（1）当时，求ab的值：（2）设，求ba的取值范围【分析】（1）由三角函数的正弦、余弦的定义可得a，b的值；（2）由三角函数的定义和辅助角公式，以及正弦函数的单调性，可得所求范
22、围【解答】解：（1）由题意可得P（cos，sin）即为（，），acos（+）cos，bsin，可得absincossin；（2）由题意可得acos（+），bsin（+），即有basin（+）cos（+）sin，由，可得sin，1，则ba的范围是1，【点评】本题考查任意角三角函数的定义和三角函数的恒等变换，以及三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题19（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50
23、）50，55）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【分析】（1）根据频率
24、与频率之间的关系计算即可（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论（3）根据频率分布直方图分别求出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，进而求出平均值【解答】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）中位数的估计值为：50.02+50.024+50.0260.350.50.35+50.0360.530.5中位数位于区间25，30）中，设中位数为x，则0.35+（x25）0.0360.5，解得x29.228.529.2估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数（3）依题意可知，休闲跑者共有（50.02+50.024）100
25、0220人，核心跑者：（50.026+50.036+50.044+50.030）1000680人，精英跑者1000220680100人，该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要：3720元【点评】本题考查平均数、中位数的求法，考查频率分布直图的性质等相关知识考查运算化简能力、推理计算能力、数形结合思想和化归转化思想20（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点（1）求证：平面EFC平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔
26、描黑【分析】（1）推导出BB1平面ABCD，从而BB1EC，推导出DBCBEC，从而CEBD，进而EC平面BB1D，由此能证明平面EFC平面BB1D（2）设BDCEM，在平面BB1D内过点M作BB1的平行线，交BD1于点O，2【解答】解：（1）证明：长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点BB1平面ABCD，BB1EC，在RtDCB中，tan，在RtEBC中，tanBEC，DBCBEC，在RtEBC中，BEC+ECB90，DBC+ECB90，CEBD，BB1BDB，EC平面BB1D，EC平面BB1D，平面EFC平面BB1D（2）设BDCEM，在平面BB1D
27、内过点M作BB1的平行线，交BD1于点O，则O即为直线DB1与平面EFC的交点O，2【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点的作法，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（14分）己知函数f（x）其中aR（1）当al时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2x12，求a的取值范围【分析】（1）当a1时，分类讨论得解；（2）按x1时y2xa不能取零点及x1时y2xa能取零点讨论即可得到结论【解答】解：（1）a1时，则当x1时，f（x）在（，1上单调递增，f（x）1且无最小值，当x1时，由二次函
28、数g（x）x28x+2（x4）214知，f（x）在（1，4单调递减，在（4，+）单调递增，故f（x）minf（4）14（2）当x1，y2xa不能取零点时，即2xa0恒成立，则a0，当a0时，由二次函数g（x）ax28x+2a的对称轴知 0，则二次函数g（x）不能满足在x1有两个零点，故不符合题意；当a0时，亦不符合题意当x1，y2xa能取零点时，则0a2，由二次函数g（x）ax28x+2a知，对称轴，由，且g（1）3a80，根据对称性g（x）在（1，+）上，满足648a20，即，其必有一零点大于3，故0a2符合题意当2时，在x1上，y2xa亦无零点，根据题意，在x1时，g（x）有两零点，且满足g（1）0，即3a80，有a，又因x2x12知 得，故，综上所述，a的取值范围为0a【点评】本题属于数形结合的题，对二次函数的性质要熟练，充分利用其性质进行讨论，属于中档题
