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2018-2019学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.1(5分)若集合A2,1,2,3,Bx|x2n,nN,则AB()A2B2C2,2D2(5分)连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上与反面向上各一次的概率是()ABCD3(5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()Ayx2By|x|CysinxDy4(5分)如图,扇形OAB的圆心角为90,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为()AB2C3D45(5分)已知函数f(x)cosx,下列结论不正确的

2、是()A函数yf(x)的最小正周期为2B函数yf(x)在区间(0,)内单调递减C函数yf(x)的图象关于y轴对称D把函数yf(x)的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象6(5分)已知直线l是平面的斜线,则内不存在与l()A相交的直线B平行的直线C异面的直线D垂直的直线7(5分)若a0,且a1,则“a”是“函数f(x)logaxx有零点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8(5分)如图,ABC中,E,F分别是BC,AC边的中点,AE与BF相交于点G,则()A+B+C+D+9(5分)英国数学家布鲁克泰勒(TaylorBrook,16851731)建立了如

3、下正、余弦公式:sinxx+(1)n1+,cosx1+(1)n+其中xR,nN*,n!1234n,例如:1!1,2!2,3!6试用上述公式估计cos0.2的近似值为(精确到0.01)()A0.99B0.98C0.97D0.9610(5分)已知函数f(x)m2x+x+m22,若存在实数x,满足f(x)f(x),则实数m的取值范围为()A(,2(0,1B2,0)(0,1C2,0)1,+)D(,21,+)二、填空题:本大题共6小题,共32分,其中第11-14题,每小题5分,第15、16小题,每小题都有两个空、每个空3分.11(5分)设i为虚数单位,复数zi(4+3i)的模为 12(5分)已知(2,4

4、),(1,3),则 13(5分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.7现两人各自独立射击一次,均中靶的概率为 14(5分)某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长有 人15(6分)函数f(x)Asin(x+)的部分图象如图,其中A0,0,0,则 ;tan 16(6分)棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水,当侧面AA1B1B水平放置时,液面高为hm(如图1);当转动容器至截面A1BC水平放置时,盛水恰好充满三棱锥AA1BC(如图2

5、),则a ;h 三、解答题:本大题共5小题,第17题12分,其余每小题12分,共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17(12分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,ac,且2csin Aa(1)求角C的大小;(2)若c4,ABC的面积为,求ABC的周长18(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点P为单位圆上的一点,且AOP,点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q(a,b)(1)当时,求ab的值:(2)设,求ba的取值范围19(14分)某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称

6、“周跑量”),得到如下的频数分布表:周跑量(km/周)10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)45,50)50,55)人数100120130180220150603010(1)在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:(2)根据以上图表数据,计算得样本的平均数为28.5km,试求样本的中位数(保留一位小数),并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点:(3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样,如表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者

7、核心跑者精英跑者装备价格(单位:元)250040004500根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元?20(14分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD,E,F分别为棱AB,A1D1的中点(1)求证:平面EFC平面BB1D;(2)请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O(保留必要的辅助线),写出画法,并计算的值(不必写出计算过程)注:请先用铅笔画,确定后再用黑色水笔描黑21(14分)己知函数f(x)其中aR(1)当al时,求f(x)的最小值;(2)设函数f(x)恰有两个零点x1,x2,且x2x12,求a的取值范围2018-2019学年广东省深圳市高

8、一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.1(5分)若集合A2,1,2,3,Bx|x2n,nN,则AB()A2B2C2,2D【分析】利用交集定义直接求解【解答】解:集合A2,1,2,3,Bx|x2n,nN,AB2故选:B【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上与反面向上各一次的概率是()ABCD【分析】利用n次独立重复试验中事件A愉好发生k次的概率计算公式直接求解【解答】解:连续两次抛掷一枚质地均匀的

9、硬币,出现正面向上与反面向上各一次的概率:P故选:C【点评】本题考查概率的求法,考查n次独立重复试验中事件A愉好发生k次的概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题3(5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()Ayx2By|x|CysinxDy【分析】根据函数奇偶性和单调性可判断【解答】解:对于Ayx2,是偶函数,在区间(0,+)上单调递增,不符合题意;对于By|x|,是偶函数,在区间(0,+)上单调递增,不符合题意;对于Cysinx,奇函数,不满足题意,对于Dy,是偶函数,在区间(0,+)上单调递减,符合题意故选:D【点评】本题考查函数奇偶性和单调性,属于基础题

10、4(5分)如图,扇形OAB的圆心角为90,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为()AB2C3D4【分析】该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体,由此能求出该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积【解答】解:如图,扇形OAB的圆心角为90,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体,该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积:S3故选:C【点评】本题考查几何体的表面积的求法,考查旋转体、球的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5(5分)已知函数f(x)cosx,下列结论不正确的是()A函数yf(x)的最

11、小正周期为2B函数yf(x)在区间(0,)内单调递减C函数yf(x)的图象关于y轴对称D把函数yf(x)的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象【分析】直接利用余弦函数的性质判断选项的错误即可【解答】解:由余弦函数f(x)cosx的性质可知,函数的周期是2A正确余弦函数f(x)cosx在区间(0,)内单调递减,所以B正确;余弦函数是偶函数,所以C正确;函数的图象把函数yf(x)的图象向左平移个单位长度可得到ysinx的图象,所以D不正确故选:D【点评】本题考查余弦函数的简单性质的应用,命题的真假的判断与应用,是基本知识的考查6(5分)已知直线l是平面的斜线,则内不存在与l()A相交的直线

12、B平行的直线C异面的直线D垂直的直线【分析】直接利用直线与平面位置关系,判断即可【解答】解:直线l是平面的斜线,则内不存在与l平行的直线,故选:B【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用,命题的真假的判断7(5分)若a0,且a1,则“a”是“函数f(x)logaxx有零点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据零点定义和充分条件必要条件的定义,和函数单调性可进行判断,【解答】解:当a时,函数f(x)logaxx在(0,+)是单调递减函数,f()0,f(1)10,f()f(1)0,f(x)在(0,+)上存在零点,即充分性满足;又当a时,同理可推出函数

13、f(x)存在零点,即必要性不满足;故“a”是“函数f(x)logaxx有零点”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查函数零点定义,函数单调性的应用,充分条件必要条件的定义,属于基础题8(5分)如图,ABC中,E,F分别是BC,AC边的中点,AE与BF相交于点G,则()A+B+C+D+【分析】根据题意即可知道,G为ABC的重心,根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出【解答】解:据题意得,G为ABC的重心;故选:C【点评】考查重心的性质,向量加法的平行四边形法则,以及向量数乘的几何意义9(5分)英国数学家布鲁克泰勒(TaylorBrook,16851731)建立了

14、如下正、余弦公式:sinxx+(1)n1+,cosx1+(1)n+其中xR,nN*,n!1234n,例如:1!1,2!2,3!6试用上述公式估计cos0.2的近似值为(精确到0.01)()A0.99B0.98C0.97D0.96【分析】本题根据题目要求应用泰勒余弦展开公式,由于只需要精确到0.01,所以只需选择前面省略后面【解答】解:由题意,只需要精确到0.01即可,cos0.2110.020.98故选:B【点评】本题主要考查对新定义的理解应用能力本题属基础题10(5分)已知函数f(x)m2x+x+m22,若存在实数x,满足f(x)f(x),则实数m的取值范围为()A(,2(0,1B2,0)(

15、0,1C2,0)1,+)D(,21,+)【分析】分离参数,由基本不等式即可求得实数m的取值范围【解答】解:由题意,m2x+x+m22+m2xx+m220有解,即,又,当且仅当“2x1”时取等号,解得m2或0m1故选:A【点评】本题考查了基本不等式的运用,同时也考查了不等式的解法及分离变量思想,考查运算求解能力,属于基础题二、填空题:本大题共6小题,共32分,其中第11-14题,每小题5分,第15、16小题,每小题都有两个空、每个空3分.11(5分)设i为虚数单位,复数zi(4+3i)的模为5【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解【解答】解:由zi(4+3i)3+4i,

16、得|z|故答案为:5【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题12(5分)已知(2,4),(1,3),则6【分析】求出向量的坐标表达式,然后利用向量的数量积求解即可【解答】解:(2,4),(1,3),可得(1,3)(2,4)(1,1)则246故答案为:6【点评】本题考查向量的数量积的求法,考查计算能力13(5分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.7现两人各自独立射击一次,均中靶的概率为0.56【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解【解答】解:甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.7现两人各

17、自独立射击一次,均中靶的概率为p0.80.70.56故答案为:0.56【点评】本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长有16人【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解:某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,则抽到的家长有:6416故答案为:16【点评】本题考查抽到的家长数量的求法,考

18、查分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题15(6分)函数f(x)Asin(x+)的部分图象如图,其中A0,0,0,则2;tan【分析】由函数图象可得A,T的值,利用周期公式可求的值,又f()2sin(2+),可得:sin,根据同角三角函数基本关系式可求tan的值【解答】解:A0,0,由函数图象可得:A2,T,可得:T,2;f(x)2sin(2x+),又f()2sin(2+),可得:sin,0,cos,可得:tan故答案为:2,【点评】本题考查由yAsin(x+)的部分图象确定其解析式,求得sin是难点,考查了计算能力和数形结合思想,属于中档题16(6分)棱长均为1m的正三棱柱透明

19、封闭容器盛有am3水,当侧面AA1B1B水平放置时,液面高为hm(如图1);当转动容器至截面A1BC水平放置时,盛水恰好充满三棱锥AA1BC(如图2),则a;h【分析】在图2中计算V得出水的体积a,根据水的体积不变列方程求出四边形ABDE的面积,再利用相似三角形的相似比求出h【解答】解:在图2中,水的体积为VSABCAA11,即a在图1中,水的体积为VSABEDAA1,SABED,故,又ABC的高为,CDE的高为h,()2,解得h故答案为:,【点评】本题考查了棱柱、棱锥的体积计算,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,第17题12分,其余每小题12分,共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过

20、程或演算步骤.17(12分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,ac,且2csin Aa(1)求角C的大小;(2)若c4,ABC的面积为,求ABC的周长【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得2sinCsinAsinA,结合sinA0,可求得sinC,利用大边对大角可得C为锐角,可得C的值(2)利用三角形的面积公式可求ab4,由余弦定理可得a+b的值,即可得解三角形的周长【解答】解:(1)2csinAa由正弦定理可得:2sinCsinAsinA,sinA0,解得sinC,ac,C为锐角,可得C(2)C,c4,ABC的面积为,absinC,解得:ab4,由余弦定理c2a2+b2

21、2abcosC,可得:c2a2+b2ab(a+b)23ab,可得:(a+b)242+3428,解得a+b2,ABC的周长a+b+c2+4【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点P为单位圆上的一点,且AOP,点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q(a,b)(1)当时,求ab的值:(2)设,求ba的取值范围【分析】(1)由三角函数的正弦、余弦的定义可得a,b的值;(2)由三角函数的定义和辅助角公式,以及正弦函数的单调性,可得所求范

22、围【解答】解:(1)由题意可得P(cos,sin)即为(,),acos(+)cos,bsin,可得absincossin;(2)由题意可得acos(+),bsin(+),即有basin(+)cos(+)sin,由,可得sin,1,则ba的范围是1,【点评】本题考查任意角三角函数的定义和三角函数的恒等变换,以及三角函数的求值,考查运算能力,属于基础题19(14分)某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到如下的频数分布表:周跑量(km/周)10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)45,50

23、)50,55)人数100120130180220150603010(1)在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:(2)根据以上图表数据,计算得样本的平均数为28.5km,试求样本的中位数(保留一位小数),并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点:(3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样,如表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格(单位:元)250040004500根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元?【分析】(1)根据频率

24、与频率之间的关系计算即可(2)根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等,列方程求出中位数的值,进而得出结论(3)根据频率分布直方图分别求出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数,进而求出平均值【解答】解:(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下:(2)中位数的估计值为:50.02+50.024+50.0260.350.50.35+50.0360.530.5中位数位于区间25,30)中,设中位数为x,则0.35+(x25)0.0360.5,解得x29.228.529.2估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数(3)依题意可知,休闲跑者共有(50.02+50.024)100

25、0220人,核心跑者:(50.026+50.036+50.044+50.030)1000680人,精英跑者1000220680100人,该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要:3720元【点评】本题考查平均数、中位数的求法,考查频率分布直图的性质等相关知识考查运算化简能力、推理计算能力、数形结合思想和化归转化思想20(14分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD,E,F分别为棱AB,A1D1的中点(1)求证:平面EFC平面BB1D;(2)请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O(保留必要的辅助线),写出画法,并计算的值(不必写出计算过程)注:请先用铅笔画,确定后再用黑色水笔

26、描黑【分析】(1)推导出BB1平面ABCD,从而BB1EC,推导出DBCBEC,从而CEBD,进而EC平面BB1D,由此能证明平面EFC平面BB1D(2)设BDCEM,在平面BB1D内过点M作BB1的平行线,交BD1于点O,2【解答】解:(1)证明:长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD,E,F分别为棱AB,A1D1的中点BB1平面ABCD,BB1EC,在RtDCB中,tan,在RtEBC中,tanBEC,DBCBEC,在RtEBC中,BEC+ECB90,DBC+ECB90,CEBD,BB1BDB,EC平面BB1D,EC平面BB1D,平面EFC平面BB1D(2)设BDCEM,在平面BB1D

27、内过点M作BB1的平行线,交BD1于点O,则O即为直线DB1与平面EFC的交点O,2【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足条件的点的作法,考查两线段比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题21(14分)己知函数f(x)其中aR(1)当al时,求f(x)的最小值;(2)设函数f(x)恰有两个零点x1,x2,且x2x12,求a的取值范围【分析】(1)当a1时,分类讨论得解;(2)按x1时y2xa不能取零点及x1时y2xa能取零点讨论即可得到结论【解答】解:(1)a1时,则当x1时,f(x)在(,1上单调递增,f(x)1且无最小值,当x1时,由二次函

28、数g(x)x28x+2(x4)214知,f(x)在(1,4单调递减,在(4,+)单调递增,故f(x)minf(4)14(2)当x1,y2xa不能取零点时,即2xa0恒成立,则a0,当a0时,由二次函数g(x)ax28x+2a的对称轴知 0,则二次函数g(x)不能满足在x1有两个零点,故不符合题意;当a0时,亦不符合题意当x1,y2xa能取零点时,则0a2,由二次函数g(x)ax28x+2a知,对称轴,由,且g(1)3a80,根据对称性g(x)在(1,+)上,满足648a20,即,其必有一零点大于3,故0a2符合题意当2时,在x1上,y2xa亦无零点,根据题意,在x1时,g(x)有两零点,且满足g(1)0,即3a80,有a,又因x2x12知 得,故,综上所述,a的取值范围为0a【点评】本题属于数形结合的题,对二次函数的性质要熟练,充分利用其性质进行讨论,属于中档题